2020-2021高中數(shù)學(xué)北師大版1學(xué)案：2.1 生活中的變量關(guān)系含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案：2.1生活中的變量關(guān)系含解析第二章函數(shù)§1生活中的變量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)變量關(guān)系[填一填]1．世界是變化的．變量及變量之間的依賴關(guān)系在生活中隨處可見(jiàn)，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)就描述了因變量隨自變量的變化而變化的依賴關(guān)系．2．并非有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量都有函數(shù)關(guān)系．只有滿足對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系．[答一答]1．如何正確理解常量與變量？提示：可結(jié)合生活中的實(shí)例，用辯證的觀點(diǎn)來(lái)理解常量與變量，常量是相對(duì)于某一過(guò)程或另一個(gè)變量而言的，絕對(duì)的常量是沒(méi)有的,因?yàn)槲镔|(zhì)的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的,所以物動(dòng)則變．在我們的生活中容易找出眾多的實(shí)例,如：（1)勻速直線運(yùn)動(dòng)中，速度是常量，時(shí)間和路程均為變量,但在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，絕對(duì)的勻速是沒(méi)有的,因?yàn)槿笋{駛汽車(chē)在行駛過(guò)程中，不可避免地要進(jìn)行加速、減速或剎車(chē)等操作．(2）電影院里，對(duì)某一場(chǎng)次和座位類別而言,票價(jià)是常量,而售票張數(shù)和收入均為變量．但相對(duì)于某個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間的間隔而言，由于演出的內(nèi)容、種類、檔次的不同,其票價(jià)仍是一個(gè)變量．由此可以看出，常量具有相對(duì)性，而變量是永恒的,是大量存在的．2．如何理解依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別?提示：函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系,具有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系．因此說(shuō)依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系一定是依賴關(guān)系．1．絕對(duì)的常量是不存在的．常量具有相對(duì)性．2．函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系,但有依賴關(guān)系的不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系一定為依賴關(guān)系.類型一常量、變量、函數(shù)關(guān)系的判斷【例1】某城市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：里程不超過(guò)3公里按起步價(jià)7元收費(fèi)，超過(guò)3公里的按每公里1.5元加收．乘客乘車(chē)后出租車(chē)行駛的路程為x公里，乘客該付的車(chē)費(fèi)為y元．（1)當(dāng)0<x≤3時(shí),x與y分別是什么量?x與y之間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系？(2)當(dāng)x〉0時(shí)，x與y分別是什么量?x與y之間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系？【思路探究】根據(jù)常量與變量的含義來(lái)判斷所給的量是常量還是變量．函數(shù)關(guān)系的判斷要根據(jù)兩個(gè)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)判斷．【解】（1）當(dāng)0<x≤3時(shí)，x可變,y＝7不變，所以x是變量，y是常量．在0〈x≤3范圍內(nèi)，對(duì)于x的每一個(gè)取值,y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以x與y之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．（2)當(dāng)x>0時(shí)，x與y都是可變的量，所以x與y都是變量，并且對(duì)于x的每一個(gè)取值,y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),所以x與y之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。規(guī)律方法常量是在某個(gè)范圍內(nèi)不變的量，不變是相對(duì)的．變量一般來(lái)說(shuō)是可變的量，有時(shí)也把常量視為變量，所以變量是永恒的．這里指的變量是指一般情況下的變量．“對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)"是判斷x與y之間存在函數(shù)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)，這里特別注意“唯一確定"的含義．下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是(A)A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0），其中a，c是已知常數(shù)，b是自變量，因變量是這個(gè)函數(shù)的判別式Δ＝b2－4B．光照時(shí)間和果樹(shù)的畝產(chǎn)量C．降雪量和交通事故發(fā)生率D．每畝田的施肥量和糧食畝產(chǎn)量解析：B、C、D都是依賴關(guān)系．類型二利用圖像反映兩個(gè)變量之間的關(guān)系【例2】如圖所示為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖．（1）上午8時(shí)的氣溫是多少?全天的最高、最低氣溫分別是多少？(2）大約在什么時(shí)刻，氣溫為0℃?（3)大約在什么時(shí)刻內(nèi),氣溫在0℃以上？?jī)蓚€(gè)變量有什么特點(diǎn)，它們具有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？【思路探究】此題是一個(gè)通過(guò)圖像來(lái)反映兩變量關(guān)系的問(wèn)題，所以回答問(wèn)題時(shí)應(yīng)充分利用圖像所反映出的關(guān)系．【解】（1）上午8時(shí)氣溫是0℃，全天最高氣溫是9℃，在14時(shí)達(dá)到．全天最低氣溫是－2℃，在4時(shí)達(dá)到．(2)大約在0時(shí)、8時(shí)和22時(shí)，氣溫為0℃.(3)在8時(shí)到22時(shí)之間,氣溫在0℃以上,變量0≤t≤24，變量－2≤θ≤9，由于圖像是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時(shí)間的增加，氣溫先降再升再降的變化趨勢(shì),所以θ與t具有依賴關(guān)系,也具有函數(shù)關(guān)系．規(guī)律方法用圖像反映兩變量間的關(guān)系是一種常用的表示兩變量關(guān)系的方式．在解此類題時(shí)要能從圖中找到兩個(gè)變量，并能判斷它們之間的相互依賴關(guān)系是如何變化的．小明騎自行車(chē)上學(xué)，開(kāi)始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車(chē)出了故障,只好停下來(lái)修車(chē),車(chē)修好后，因怕耽誤上課，他比修車(chē)前加快了騎車(chē)速度繼續(xù)勻速行駛．則行駛路程s（米)關(guān)于時(shí)間t(分）的函數(shù)圖像大致是（C）解析：A表示小明行至中途后一直在停下來(lái)修車(chē),而沒(méi)繼續(xù)向前走；B表示小明沒(méi)有停下來(lái)修車(chē)，速度反而比原來(lái)的更快；D表示的不是小明修車(chē)，而是向回走了一段路后，又加快速度去學(xué)校．C符合要求．類型三通過(guò)表格反映兩個(gè)變量之間的關(guān)系【例3】口香糖的生產(chǎn)已有很長(zhǎng)的歷史，咀嚼口香糖有很多益處，但其殘留物也會(huì)帶來(lái)污染，為了研究口香糖的黏附力與溫度的關(guān)系，一位同學(xué)通過(guò)實(shí)驗(yàn)，測(cè)定了不同溫度下除去糖分的口香糖與瓷磚地面的黏附力，得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù)：次序項(xiàng)目12345678溫度（℃)1525303537404550黏附力(N）2.03.13。33.64。64.02.51。4(1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力F隨溫度t變化的圖像；（2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖像，你能得到怎樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)論呢？【思路探究】對(duì)表格題目，首先要分清自變量與因變量，把所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)利用坐標(biāo)系描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn),通過(guò)圖像分析，得出結(jié)論．【解】（1）口香糖黏附力F隨溫度t變化的圖像如下．(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論：①隨著溫度的升高，口香糖的黏附力先增大后減少；②當(dāng)溫度在37℃時(shí)，口香糖的黏附力最大；當(dāng)溫度在50℃時(shí)，黏附力最小,所以可通過(guò)加熱的方法除去瓷磚上的口香糖殘留物．規(guī)律方法兩變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)在表格中就是要求我們能從表格中找到因變量和自變量，并能判斷因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而說(shuō)明因變量如何隨自變量的變化而變化．從市場(chǎng)中了解到，飾用K金的含金量如下表：K數(shù)含金量（％）24K99以上22K91。721K87.518K7514K58.512K5010K41。669K37。58K33。346K25飾用K金的K數(shù)與含金量之間是函數(shù)關(guān)系，K數(shù)越大含金量越高．解析:通過(guò)表格可知，飾用K金的含金量隨著K數(shù)的減小而減小，對(duì)于K數(shù)的每一個(gè)取值，都有唯一的含金量與之對(duì)應(yīng),所以含金量是K數(shù)的函數(shù)，飾用K金的K數(shù)與含金量之間是函數(shù)關(guān)系,且K數(shù)越大含金量越高.——變量關(guān)系的分析——【例4】如圖是某條公共汽車(chē)線路收支差額y與乘客量x的圖像(收支差額＝車(chē)票收入－支出費(fèi)用），由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ)是不改變車(chē)票價(jià)格,減少支出費(fèi)用；建議(Ⅱ)是不改變支出費(fèi)用，提高車(chē)票價(jià)格．下面給出四個(gè)圖像：在這些圖像中(）A．①反映了建議(Ⅱ）；③反映了建議(Ⅰ）B．①反映了建議（Ⅰ）；③反映了建議(Ⅱ）C．②反映了建議（Ⅰ）；④反映了建議(Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ）；②反映了建議（Ⅱ）【思路點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)從y與x的關(guān)系出發(fā)，分析出票價(jià)與斜率的關(guān)系，然后就（Ⅰ)，(Ⅱ）兩種建議分別描出圖像，與題中①、②、③、④對(duì)應(yīng)便可求解．【解析】由題可知直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示支出，斜率表示票價(jià)，建議(Ⅰ）中票價(jià)不變，即直線的斜率不變；減少支出即直線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)變大,對(duì)應(yīng)①.建議（Ⅱ)中,直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，斜率變大，對(duì)應(yīng)③.【答案】B【小結(jié)】（1）解答此類題目的關(guān)鍵在于借助變量間的圖像分析實(shí)際問(wèn)題中所隱含的東西，然后結(jié)合已學(xué)知識(shí)加以綜合分析，從而把問(wèn)題解決．（2)判斷兩變量之間是否為函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看變量之間的關(guān)系是否為確定的關(guān)系，如③中收入與消費(fèi)支出的關(guān)系是一種趨勢(shì)而非確定關(guān)系，而其余均為確定關(guān)系．下列各組中兩個(gè)變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？①球的體積和它的半徑；②速度不變的情況下,汽車(chē)行駛的路程與行駛時(shí)間；③家庭收入愈多,其消費(fèi)支出也有增長(zhǎng)的趨勢(shì)；④正三角形的面積和它的邊長(zhǎng)．解：①②③④中兩個(gè)變量間都存在依賴關(guān)系，其中①②④是函數(shù)關(guān)系．一、選擇題1．有以下說(shuō)法：①商店里某段時(shí)間內(nèi)某種商品的標(biāo)價(jià)是常量②馬路上飛馳的汽車(chē)行駛的路程是變量③一天內(nèi)的氣溫是常量④公歷非閏年一年的天數(shù)是常量⑤2010年世博會(huì)期間每天游客的數(shù)量是常量其中正確的個(gè)數(shù)是(C）A．1B．2C．3D．4解析：①②④是正確的，一天內(nèi)的氣溫是變化的,2010年世博會(huì)期間每天游客的數(shù)量也是變化的，都是變量，故③⑤不正確．2．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(D）A．實(shí)數(shù)和它的平方B．正方形的邊長(zhǎng)和面積C．正n邊形的邊數(shù)和各內(nèi)角角度之和D．人的年齡和體重解析:在一定年齡段，人的體重隨年齡的增加而增加，是有一定的依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系．3．張大明種植了10畝小麥，每畝施肥x千克，小麥總產(chǎn)量y千克，則（A）A．x，y之間有依賴關(guān)系 B．x，y之間有函數(shù)關(guān)系C．y是x的函數(shù) D．x是y的函數(shù)解析：雖然小麥總產(chǎn)量y與每畝施肥量x之間存在依賴關(guān)系，但小麥總產(chǎn)量y還受氣候、管理等其他因素的影響，所以x，y之間無(wú)函數(shù)關(guān)系．二、填空題4．有下列關(guān)系：①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②立方體的棱長(zhǎng)與它的體積之間的關(guān)系；③蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣溫之間的關(guān)系;④森林中的同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；⑤學(xué)生與他(她）的學(xué)號(hào)之間的關(guān)系．其中有函數(shù)關(guān)系的是(填代號(hào))②⑤。解析：①③④中的兩個(gè)變量之間有一定的依賴關(guān)系，但不是確定性關(guān)系,所以不是函數(shù)關(guān)系．②⑤中兩個(gè)變量之間的關(guān)系具備函數(shù)關(guān)系．5．一輛汽車(chē)由南京駛往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/時(shí)，則汽車(chē)距上海的路程s（千米）與行駛時(shí)間t(時(shí)）的關(guān)系是s＝300－100t，在這里,常量是300，－100，變量是s，t。解析:判斷常量與變量的關(guān)鍵是看它是否發(fā)生了變化，在這里,常量是南京與上海的距離300千米和汽車(chē)行駛的平均速度100千米/時(shí)，變量是汽車(chē)在行駛過(guò)程中距上海的路程s和行駛時(shí)間t。三、解答題6．向平靜的湖面投一塊石子，便會(huì)形成以落水點(diǎn)為圓心的一系列同心圓．(1）在這個(gè)變化過(guò)程中，有哪些變量?（2)若圓的面積用S表示，半徑用R表示，則S和R的關(guān)系是什么?它們是常量還是變量？(3)若圓的周長(zhǎng)用C表示，半