2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊學(xué)案：4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊學(xué)案：4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用含解析4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用[目標(biāo)］會根據(jù)所給數(shù)據(jù)選擇合適的函數(shù)模型進行擬合．［重點]根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實際問題．［難點］建立數(shù)學(xué)模型解答實際問題．知識點一應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題[填一填]解決應(yīng)用問題的基本步驟（1)審題:深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)．（2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：用數(shù)學(xué)知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題．（4）還原：回到題目本身，檢驗結(jié)果的實際意義，給出結(jié)論．[答一答]1．我們已學(xué)過的函數(shù)有哪些？提示：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)．2．建立函數(shù)模型解決問題的基本過程是什么？提示：①收集數(shù)據(jù)；②根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點圖；③根據(jù)點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數(shù)模型；④選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；⑤將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進行檢驗,看其是否符合實際，若不符合實際,則重復(fù)步驟③④⑤；若符合實際，則進入下一步；⑥用所得函數(shù)模型解釋實際問題．知識點二構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題［填一填](1）常見的8種函數(shù)模型①一次函數(shù)模型：f（x）＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0);②反比例函數(shù)模型：f(x）＝eq\f(k,x)＋b（k，b為常數(shù)，k≠0)；③二次函數(shù)模型:f(x）＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；④指數(shù)函數(shù)模型:f（x)＝abx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；⑤對數(shù)函數(shù)模型：f（x）＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a>0，a≠1，m≠0);⑥冪函數(shù)模型：f(x）＝axn＋b（a，b，n為常數(shù)，a≠0）；⑦“對勾”函數(shù)模型：f（x)＝ax＋eq\f(b,x)(a，b為常數(shù)，且a>0，b>0）；⑧分段函數(shù)模型．（2）幾類函數(shù)模型的增長差異在區(qū)間(0,＋∞）上，函數(shù)y＝ax(a〉1),y＝logax（a〉1)和y＝xn（n〉0)都是增函數(shù)，隨著x的增大，y＝ax（a〉1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn的增長速度，而y＝logax（a〉1）的增長速度則會越來越慢．因此,總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就有l(wèi)ogax<xn<ax。［答一答]3．哪些實際問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示?提示：人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題．4．哪些實際問題可以用對數(shù)函數(shù)模型來表示？提示：地震震級的變化規(guī)律、溶液pH的變化規(guī)律、航天問題等．類型一[解析]觀察函數(shù)圖象可得函數(shù)y＝f（t)在[0，a]上是增函數(shù)，即說明隨著直線l的右移，掃過圖形的面積不斷增大．再對圖象作進一步分析，圖象首先是向下凸的，說明此時掃過圖形的面積增加得越來越快，然后是向上凸的，說明此時掃過圖形的面積增加得越來越慢．根據(jù)這一點很容易判定C項不符合．這是因為在C項中直線l掃到矩形部分時，面積會呈直線上升．［答案］C判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象．（2)驗證法:當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案．[變式訓(xùn)練1］已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為S,則函數(shù)S＝f（x）的圖象是（D）解析:①當(dāng)點P在線段BC上運動時，點P到AB的距離為x，則S＝eq\f(1，2）×4×x＝2x(0≤x≤4），其函數(shù)圖象為過原點的一線段；②點P在邊CD上時，點P到AB的距離不變,為4，則S＝eq\f(1,2）×4×4＝8(4≤x≤8),其函數(shù)圖象是平行于x軸的一線段；③點P在邊DA上時，點P到AB的距離為（12－x)，則S＝eq\f（1，2)×4×（12－x)＝24－2x(8≤x≤12）,其圖象是一線段．縱觀各選項，只有D選項圖象符合．故選D。類型二應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題［例2]某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計年利潤低于10%時,則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個函數(shù)模型:①y＝kx＋b(k≠0）；②y＝abx（a≠0,b〉0，且b≠1）；③y＝loga(x＋b)（a>0，且a≠1）．（1)選擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；（2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型．[解］（1)將（3,1）,(5,2)代入y＝kx＋b（k≠0)，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝3k＋b,,2＝5k＋b，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝\f(1,2），,b＝－\f(1，2),)）∴y＝eq\f(1,2）x－eq\f（1，2）。當(dāng)x＝9時,y＝4,不符合題意；將(3,1），(5，2）代入y＝abx（a≠0，b〉0,且b≠1）,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ab3，，2＝ab5，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f（\r(2），4)，,b＝\r（2)，)）∴y＝eq\f(\r（2）,4）·(eq\r(2))x＝2eq\s\up15（eq\f（x－3,2）).當(dāng)x＝9時，y＝eq\f(\r（2）,4)·（eq\r(2))eq\s\up15（eq\f（9－3，2)）＝1,不符合題意；將（3，1），（5，2)代入y＝loga（x＋b）（a>0，且a≠1)，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1＝loga3＋b，,2＝loga5＋b,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，，b＝－1，））∴y＝log2(x－1)．當(dāng)x＝9時，y＝log28＝3；當(dāng)x＝17時，y＝log216＝4。故可用③來描述x，y之間的關(guān)系．（2)令log2（x－1)≥6,則x≥65。∵年利潤eq\f（6,65)<10％，∴該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型．求解已給函數(shù)模型，解決實際問題的關(guān)注點（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．提醒：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍．[變式訓(xùn)練2]據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5％，如果按此速度，設(shè)2018年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是(A)A．y＝0。95eq\s\up15（eq\f(x，50))·m B．y＝(1－0。05eq\s\up15（eq\f(x，50）））·mC．y＝0。9550－x·m D．y＝（1－0。0550－x）·m解析:設(shè)北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q％。由題意可知（q％)50＝0.95，所以q％＝0.9eq\s\up15（eq\f（1,50))，所以從2018年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝0。95eq\s\up15(eq\f(x，50))·m.類型三構(gòu)建指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題[例3]某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0。05,lg1.3≈0.11，lg2≈0。30)（)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年[分析]寫出第n(n∈N*）年該公司全年投入的研發(fā)資金與n的關(guān)系式，解不等式即可．[解析]設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12％）n>200，得1.12n〉eq\f(20，13)，兩邊取常用對數(shù),得n〉eq\f(lg2－lg1。3,lg1。12)≈eq\f（0。30—0.11,0。05)＝eq\f（19，5)，∴n≥4，∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B。[答案］B（1）求解與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題時，要學(xué)會合理選擇模型,在兩類模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型,與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)．［變式訓(xùn)練3］（1）世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)（C）A．1.5％ B．1.6%C．1。7％ D．1。8％（2)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,在過濾過程中，污染物的數(shù)量p（單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t（單位：小時)滿足p(t）＝p02eq\s\up15（－eq\f（t，30）),其中p0為t＝0時的污染物數(shù)量．又測得當(dāng)t＝30時，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，則p(60）＝(C)A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：(1）設(shè)每年世界人口平均增長率為x,則(1＋x）40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù),則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg（1＋x）＝eq\f(lg2,40)≈0。0075，所以100.0075＝1＋x,得1＋x＝1.017，所以x＝1。7％。故選C.(2）因為當(dāng)t＝30時，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f（1，2)p0－p0,30－0）,所以p0＝600ln2。因為p（t)＝p02eq\s\up15（－eq\f(t，30)），所以p（60)＝600ln2×2－2＝150ln2（毫克/升）．故選C。類型四構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實際問題[例4］今年春節(jié)期間某自駕游車隊,組織車友前往某地游玩．該車隊是由31輛車身長都約為5m(以5m計算）的同一車型組成的,行程中經(jīng)過一個長為2725m的隧道(通過該隧道的車速不能超過25m/s）．勻速通過該隧道時，設(shè)車隊的速度為xm/s。根據(jù)安全和車流的需要,當(dāng)0<x≤12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12<x≤25時，相鄰兩車之間保持eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，6)x2＋\f(1，3）x))m的距離．自第1輛車車頭進入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時間為y（s)．(1）將y表示為x的函數(shù)；(2)求該車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度．［解]由于不同路段，保持的距離不同，因此可用分段函數(shù)表示,分段函數(shù)的有關(guān)最值問題要分段求解．（1）當(dāng)0〈x≤12時，y＝eq\f（2725＋5×31＋20×31－1,x)＝eq\f(3480,x）；當(dāng)12〈x≤25時，y＝eq\f（2725＋5×31＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,6)x2＋\f(1,3）x）)×31－1，x)＝eq\f（5x2＋10x＋2880，x)＝5x＋eq\f(2880，x)＋10。所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（3480，x)0〈x≤12，，5x＋\f（2880，x)＋1012<x≤25。)）(2）當(dāng)0<x≤12時，在x＝12（m/s)時，ymin＝eq\f(3480,12)＝290(s）；當(dāng)12<x≤25時，y＝5x＋eq\f(2880，x）＋10≥2eq\r(5x·\f（2880，x）)＋10＝250（s)，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝eq\f(2880，x），即x＝24(m/s)時取等號．因為x＝24∈（12，25］，所以當(dāng)x＝24（m/s)時，ymin＝250(s）．因為290〉250,所以當(dāng)x＝24(m/s)時，ymin＝250(s）．即該車隊通過隧道時間y的最小值為250s及此時該車隊的速度為24m/s.分段函數(shù)模型問題的解答方法:實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解。構(gòu)造分段函數(shù)時,要力求準確、簡潔,做到分段合理、不重不漏.［變式訓(xùn)練4］首屆中國國際進口博覽會于2018年11月5日至10日在國家會展中心(上海）舉辦．一個更加開放和自信的中國，正用實際行動為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺，展現(xiàn)推動全球貿(mào)易與合作的中國方案．某跨國公司帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展，供購商洽談采購，并決定大量投放中國市場．已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬美元，每生產(chǎn)一臺需另投入90美元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為G（x）萬美元，G（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(240－3x，0〈x≤20，，80＋\f(3000,x＋1）－\f(6000，xx＋1）,x〉20.))（1）寫出年利潤S(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺)的函數(shù)解析式；（利潤＝銷售收入－成本）(2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大?并求出最大利潤．解：（1)當(dāng)0<x≤20時，S＝xG(x）－(90x＋30）＝－3x2＋150x－30;當(dāng)x>20時，S＝xG（x）－(90x＋30)＝－10x＋eq\f（3000x－2，x＋1）－30.則S＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－3x2＋150x－30，0〈x≤20，,－10x＋\f（3000x－2,x＋1)－30，x>20。))（2)由(1）知，當(dāng)0〈x≤20時,S＝－3x2＋150x－30＝－3（x－25）2＋1845。因為S＝－3(x－25）2＋1845在（0，20]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時，Smax＝S（20)＝1770。當(dāng)x〉20時，S＝－10x＋eq\f（3000x－2，x＋1）－30＝－10x－eq\f(9000，x＋1)＋2970＝－10(x＋1)－eq\f（9000，x＋1)＋2980≤－2eq\r(\f(9000，x＋1)·10x＋1）＋2980＝2380，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(9000，x＋1）＝10（x＋1）,即x＝29時等號成立．因為2380>1770，所以x＝29時，S取得最大值，最大值為2380萬美元．故當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺時，該公司在該產(chǎn)品中獲得的利潤最大,最大利潤為2380萬美元．1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝?”如圖給出了紅豆生長時間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點圖，那么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好(C)A．y＝t3 B．y＝log2tC．y＝2t D．y＝2t2解析：符合指數(shù)函數(shù)模型．2．某食品的保鮮時長y（單位：小時)與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b（e＝2。718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時長是192小時，在22℃的保鮮時長是48小時,則該食品在33℃的保鮮時長是（C)A．16小時B．20小時C．24小時D．28小時解析：由已知條件得，192＝eb，所以b＝ln192。又因為48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(48,192））)eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).設(shè)該食品在33℃的保鮮時長是t小時，則t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192（e11k)3＝192×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））3＝24.故選C.3．將進貨單價為8元的商品按10元/個銷售時，每天可賣出100個，若此商品的銷售單價漲1元，日銷售量就減少10個,為了獲取最大利潤，此商品的銷售單價應(yīng)定為14元．解析：設(shè)銷售單價應(yīng)漲x元,則實際銷售單價為（10＋x）元，此時日銷售量為(100－10x）個，每個商品的利潤為（10＋x）－8＝2＋x(元）,∴總利潤y＝（2＋x)（100－10x）＝－10x2＋80x＋200＝－10（x－4)2＋360（0<x<10，且x∈N*）．∴當(dāng)x＝4時y有最大值，此時單價為14元．4．在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外）的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln(1＋eq\f(M,m））．當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e6－1倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒．解析：當(dāng)v＝12000時，2000·ln(1＋eq\f（M,m）