上海市普陀區(qū)2023屆高三下學(xué)期4月二模試題-數(shù)學(xué)

上海市普陀區(qū)2023高三數(shù)學(xué)二模試卷一、填空題（每小題4分，共56分）1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是2．函數(shù)的最小正周期為．3．在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t．4．若，是直線的傾斜角，則=．（用的反正切表示）5．設(shè)（i為虛數(shù)單位），則．6．直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)A（2，1），B（0，2），將線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為．7.已知平面向量，若，則8．設(shè)，行列式中第3行第2列的代數(shù)余子式記作，函數(shù)的反函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則a=．9．某學(xué)生參加3門課程的考試。假設(shè)該學(xué)生第一門、第二門及第三門課程取得合格水平的概率依次為，，且不同課程是否取得合格水平相互獨(dú)立。則該生只取得一門課程合格的概率為．（第11題圖）結(jié)束開(kāi)始輸入nn≤5Tn←（第11題圖）結(jié)束開(kāi)始輸入nn≤5Tn←－n2＋9n輸出TnYN11．已知是等差數(shù)列，設(shè)．某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)求的算法框圖（如圖），圖中空白處理框中是用的表達(dá)式對(duì)賦值，則空白處理框中應(yīng)填入：←____________．12．不等式對(duì)一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的范圍為13．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為，已知點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．14．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，用表示的最大奇因數(shù)，如，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式為．二、選擇題（每小題5分，共20分）15．已知，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，以下命題正確的是（）（A）若,,則；（B）若,,則；（C）若,,則；（D）若,,則；16．以下是科學(xué)家與之相研究的領(lǐng)域不匹配的是（）（A）笛卡兒—解析幾何；（B）帕斯卡—概率論；（C）康托爾—集合論；（D）祖暅之—復(fù)數(shù)論；17．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列,定義向量，，.下列命題中真命題是（）(A)若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列(B)若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列(C)若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列(D)若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列18．方程的正根從小到大地依次排列為，則正確的結(jié)論為（）（A）（B）（C）（D）三、解答題（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量（為常數(shù)且），函數(shù)在上的最大值為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，求的最大值．20．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足（1）證明：；（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角的最大值的正切值。PPBNＣＡＭ21．近年來(lái)玉制小掛件備受人們的青睞，某玉制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬(wàn)件，每件小掛件的銷售價(jià)格平均為100元，生產(chǎn)成本為80元。從今年起工廠投入100萬(wàn)元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元科技成本，預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬(wàn)件。設(shè)第n年每件小掛件的生產(chǎn)成本元，若玉制產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n年的年利潤(rùn)為萬(wàn)元（今年為第1年）（1）求利潤(rùn)的表達(dá)式;（2）問(wèn)從今年算起第幾年的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？22．存在對(duì)稱中心的曲線叫做有心曲線．顯然圓、橢圓和雙曲線都是有心曲線．若有心曲線上兩點(diǎn)的連線段過(guò)中心，則該線段叫做有心曲線的直徑．（1）已知點(diǎn)，求使面積為時(shí)，橢圓的直徑所在的直線方程；（2）若過(guò)橢圓的中心作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，長(zhǎng)度為半徑作⊙，問(wèn)是否存在定圓⊙，使得⊙恒與⊙相切？若存在，求出⊙的方程。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）定理：若過(guò)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值．請(qǐng)對(duì)上述定理進(jìn)行推廣．說(shuō)明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給與不同的評(píng)分．23．已知數(shù)列中，，（1）試求的值，使數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列；（2）試求的取值范圍，使得數(shù)列是單調(diào)增數(shù)列；（3）若不為常數(shù)列，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，請(qǐng)你寫出的一個(gè)值，使得恒成立，并說(shuō)明理由。上海市普陀區(qū)2023高三數(shù)學(xué)二模試卷答案一、填空題（每小題4分，共56分）1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是2．函數(shù)的最小正周期為．3．在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t．4．若，是直線的傾斜角，則=．（用的反正切表示）5．設(shè)（i為虛數(shù)單位），則．6．直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)A（2，1），B（0，2），將線段繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為．7.已知平面向量，若，則8．設(shè)，行列式中第3行第2列的代數(shù)余子式記作，函數(shù)的反函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．（第11題圖）結(jié)束開(kāi)始輸入nn≤（第11題圖）結(jié)束開(kāi)始輸入nn≤5Tn←－n2＋9n輸出TnYN10．已知是橢圓上的一點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為．11．已知是等差數(shù)列，設(shè)．某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)求的算法框圖（如圖），圖中空白處理框中是用的表達(dá)式對(duì)賦值，則空白處理框中應(yīng)填入：←______．12．不等式對(duì)一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的范圍為13．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為，已知點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．14．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，用表示的最大奇因數(shù)，如，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式為．二、選擇題（每小題5分，共20分）15．已知，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，以下命題正確的是（）（A）若,,則；（B）若,,則；（C）若,,則；（D）若,,則；16．以下是科學(xué)家與之相研究的領(lǐng)域不匹配的是（）（A）笛卡兒—解析幾何；（B）帕斯卡—概率論；（C）康托爾—集合論；（D）祖暅之—復(fù)數(shù)論；17．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列,定義向量，，.下列命題中真命題是（）(A)若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列(B)若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列(C)若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列(D)若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列18．方程的正根從小到大地依次排列為，則正確的結(jié)論為（）（A）（B）（C）（D）三、解答題（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量（為常數(shù)且），函數(shù)在上的最大值為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，求的最大值．20．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足（1）證明：；（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角的最大值的正切值。21．近年來(lái)玉制小掛件備受人們的青睞，某玉制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬(wàn)件，每件小掛件的銷售價(jià)格平均為100元，生產(chǎn)成本為80元。從今年起工廠投入100萬(wàn)元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元科技成本，預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬(wàn)件。設(shè)第n年每件小掛件的生產(chǎn)成本元，若玉制產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n年的年利潤(rùn)為萬(wàn)元（今年為第1年）（1）求利潤(rùn)的表達(dá)式;（2）問(wèn)從今年算起第幾年的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？22．存在對(duì)稱中心的曲線叫做有心曲線．顯然圓、橢圓和雙曲線都是有心曲線．若有心曲線上兩點(diǎn)的連線段過(guò)中心，則該線段叫做有心曲線的直徑．（1）已知點(diǎn)，求使面積為時(shí)，橢圓的直徑所在的直線方程；（2）若過(guò)橢圓的中心作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，長(zhǎng)度為半徑作⊙，問(wèn)是否存在定圓⊙，使得⊙恒與⊙相切？若存在，求出⊙的方程。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）定理：若過(guò)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值．請(qǐng)對(duì)上述定理進(jìn)行推廣．說(shuō)明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給與不同的評(píng)分．23．已知數(shù)列中，，（1）試求的值，使數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列；（2）試求的取值范圍，使得數(shù)列是單調(diào)增數(shù)列；（3）若不為常數(shù)列，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，請(qǐng)你寫出的一個(gè)值，使得恒成立，并說(shuō)明理由。1、2、3、424、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、C16、D17、A18、B解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值為，所以故（2）由（1）知：，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)又在上為增函數(shù)，的周期即PBNＣPBNＣＡＭ解：(1)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系則（2）顯然平面的一個(gè)法向量為則（*）于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而，當(dāng)最大時(shí)，最大，即最大，由（*）式：解：（1）（2），故，當(dāng)時(shí)，最大，最高利潤(rùn)為520萬(wàn)元。時(shí)，解：（1）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，則解得故直線的方程為（2）存在⊙：與⊙恒相切，圓心為橢圓的左焦點(diǎn)由橢圓的定義知，兩圓相內(nèi)切。（3）根據(jù)結(jié)論的一般性程度給與不同的評(píng)分．（問(wèn)題1-4層）過(guò)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值．②若過(guò)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值．③過(guò)橢圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的