四川省綿陽市2023屆高三第三次診斷性考試文數(shù)試題

綿陽市高中2023級第三次診斷性考試數(shù)學（文史類）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A．1B．-1C．D．2.已知集合，，集合，則集合的子集個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．43.為了解某高校高中學生的數(shù)學運算能力，從編號為0001，0002，…，2000的2000名學生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，并把樣本編號從小到大排列，已知抽取的第一個樣本編號為0003，則最后一個樣本編號是（）A．0047B．1663C．1960D．19634.已知實數(shù)滿足，則的最小值是（）A．4B．5C.6D．75.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的取值范圍是（）A．B．C.D．6.如圖1，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，該四棱錐的俯視圖如圖2所示，則的長是（）A．B．C.D．7.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A．B．C.D．8.甲、乙、丙三人各買了一輛不同品牌的新汽車，汽車的品牌為奇瑞、傳祺、吉利.甲、乙、丙讓丁猜他們?nèi)烁髻I的什么品牌的車，丁說：“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞，丙買的不是吉利.”若丁的猜測只對了一個，則甲、乙所買汽車的品牌分別是（）A．吉利，奇瑞B(yǎng)．吉利，傳祺C.奇瑞，吉利D．奇瑞，傳祺9.雙曲線的離心率是，過右焦點作漸近線的垂線，垂足為，若的面積是1，則雙曲線的實軸長是（）A．1B．2C.D．10.若曲線的一條切線是，則的最小值是（）A．2B．C.4D．11.已知圓，圓交于不同的，兩點，給出以下列結論：①；②；③，，其中正確結論的個數(shù)是（）A．0B．1C.2D．312.中，，，，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且，則的最大值是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.拋物線的焦點坐標是．14.奇函數(shù)的圖象關于點對稱，，則．15.已知圓錐的高為3，側面積為，若此圓錐內(nèi)有一個體積為的球，則的最大值為．16.四邊形中，，，設、的面積分別為、，則當取最大值時，．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知正項數(shù)列的前項和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和.18.十九大提出，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村真脫貧，堅持扶貧同扶智相結合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用電商進行銷售，為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，其質量分別在，，，，，（單位：克）中，其頻率分布直方圖如圖所示.（Ⅰ）按分層抽樣的方法從質量落在，的蜜柚中抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質量均小于2000克的概率；（Ⅱ）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚等待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收購；B．低于2250克的蜜柚以60元/個收購，高于或等于2250克的以80元/個收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.19.如圖，在四棱錐中，側棱底面，底面是菱形，且，點是側棱的中點.（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）若，三棱錐的體積是，求的值.20.在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，為橢圓的上頂點，的面積為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過的直線交橢圓于，，且滿足，求的面積.21.已知函數(shù)的兩個極值點，滿足，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）時，求的值；（Ⅱ）求的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.23.選修4-5：設函數(shù).（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若對于任意的實數(shù)，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.試卷答案一、選擇題1-5:ABDCC6-10:ADABC11、12：DB二、填空題13.14.215.16.三、解答題17.解：（Ⅰ）由已知，可得當時，，可解得，或，由是正項數(shù)列，故.當時，由已知可得，，兩式相減得，.化簡得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.∴數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ）∵，代入化簡得，顯然是等比數(shù)列，∴其前項和.18.解：（Ⅰ）由題得蜜柚質量在和的比例為，∴應分別在質量為，的蜜柚中各抽取2個和3個.記抽取質量在的蜜柚為，，質量在的蜜柚為，，，則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有以下10種：，，，，，，，，，，其中質量均小于2000克的僅有這1種情況，故所求概率為.（Ⅱ）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，蜜柚質量在的頻率為，同理，蜜柚質量在，，，的頻率依次為0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.若按方案收購：根據(jù)題意各段蜜柚個數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，于是總收益為（元）若按方案收購：∵蜜柚質量低于2250克的個數(shù)為，蜜柚質量低于2250克的個數(shù)為,∴收益為元.∴方案的收益比方案的收益高，應該選擇方案.19.解：（Ⅰ）證明：連接，與交于點，連接.由是菱形，知點是的中點.又∵點是的中點，∴，而，，∴.（Ⅱ）∵，∴，.又∵，∴，于是.由已知，得.令菱形的邊長為，則由，可得，∴，.∴，解得，于是.20.解：（Ⅰ）設，由題意可得，即.∵是的中位線，且，∴，即，整理得.①又由題知，為橢圓的上頂點，∴的面積，整理得，即，②聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進而.∴橢圓的方程為.(Ⅱ)由可得，兩邊平方整理得.直線斜率不存在時，，，不滿足.直線斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，∴，，（*）由得.將，代入整理得，展開得，將（*）式代入整理得，解得，∴，，的面積為，代入計算得，即的面積為.21.解：（Ⅰ）當時，，由題意知、為方程的兩個根.根據(jù)韋達定理得