2020-2021高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)學(xué)案：3.1.3 第1課時(shí)函數(shù)的奇偶性含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：3.1.3第1課時(shí)函數(shù)的奇偶性含解析3。1。3函數(shù)的奇偶性第1課時(shí)函數(shù)的奇偶性素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．奇、偶函數(shù)的概念．(理解)2．奇偶性的幾何意義．(了解)3．奇、偶函數(shù)的應(yīng)用．（掌握)學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)類比函數(shù)單調(diào)性，先由具體函數(shù)入手，對(duì)奇、偶數(shù)有初步認(rèn)識(shí)，然后由此抽象概括并用符號(hào)語言描述奇、偶函數(shù)的定義．把握奇、偶函數(shù)的本質(zhì)特征—-圖像的對(duì)稱性,并能利用它解決相關(guān)問題。必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)1．函數(shù)的奇偶性前提函數(shù)f（x)定義域D內(nèi)的__任意一個(gè)x,都有－x∈D__，條件且__f（－x）＝f(x）__且__f（－x）＝－f（x）__結(jié)論則稱y＝f(x）為偶函數(shù)則y＝f(x)為奇函數(shù)思考1：函數(shù)奇偶性的注意點(diǎn)是什么?提示：(1)從奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，當(dāng)x是定義域中的一個(gè)數(shù)值時(shí)，則－x也必是定義域中的一個(gè)數(shù)值，因此函數(shù)y＝f(x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必不可少的條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．換言之，若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)不具有奇偶性．例如,函數(shù)y＝x2在區(qū)間(－∞,＋∞）上是偶函數(shù)，但在區(qū)間［－3,5]上卻不具有奇偶性．(2）若奇函數(shù)f（x)在x＝0處有定義,則根據(jù)定義可得，f（－0)＝－f（0),即f（0）＝0。(3)若f(－x）＝－f（x），且f（－x)＝f（x），則f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),這樣的函數(shù)有且只有一類，即f(x）＝0,x∈D，D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．2．奇偶函數(shù)的圖像特征（1)函數(shù)是偶函數(shù)?圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）函數(shù)是奇函數(shù)?圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．3．奇、偶函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)(1)奇函數(shù)有f(－x）＝－f(x)?f(－x）＋f(x）＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1（f（x）≠0）;(2）偶函數(shù)有f(－x）＝f（x)?f(－x)－f（x）＝0?eq\f(f－x，fx)＝1(f(x)≠0)．4．奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖像特征，我們不難得出以下結(jié)論．（1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“__奇同偶異__”．（2)__偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲礯_，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；__奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)__，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（D)A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝eq\f(1,x） D．y＝x|x|解析：函數(shù)y＝x＋1是非奇非偶函數(shù),函數(shù)y＝－x2是偶函數(shù)，函數(shù)y＝eq\f(1,x）不是增函數(shù)，故選D．2．對(duì)于定義域是R的任意奇函數(shù)f（x）,都有（C)A．f（x）－f(－x)>0 B．f（x）－f(－x）≤0C．f(x）·f(－x)≤0 D．f(x）·f（－x）〉0解析：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝f(x)·［－f（x)]＝－[f（x)]2≤0。3．若函數(shù)f(x）＝x2－ax＋1為偶函數(shù)，則a＝__0__。解析：解法一:∵f（x)為偶函數(shù),∴f（－x）＝f(x），x2＋ax＋1＝x2－ax＋1,即2ax＝0（x∈R)恒成立，∴a＝0。解法二：∵f(x)為偶函數(shù),∴f(－1)＝f（1）,即1＋a＋1＝1－a＋1，∴a＝0。4．下列圖像表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是__②④__,是偶函數(shù)的是__①③__(填序號(hào)）．解析:①③關(guān)于y軸對(duì)稱是偶函數(shù),②④關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)．5．已知y＝f（x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x）＝x2－2x，則f（x)在R上的解析式為__f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0,－x2－2x,x＜0))__.解析:當(dāng)x〈0時(shí)，－x〉0，∴f(－x）＝x2＋2x。又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f(x)＝－f（－x）＝－x2－2x。∴f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－2xx≥0,－x2－2xx〈0）).關(guān)鍵能力·攻重難類型判斷函數(shù)的奇偶性┃┃典例剖析__■典例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1)f(x)＝eq\r（x－1)＋eq\r(1－x）；(2）f（x）＝eq\r（x2－1）＋eq\r（1－x2)；(3)f（x）＝x2－2|x|＋1，x∈［－1,1]；(4）f(x)＝（x－2）eq\r（\f(x＋2,x－2)）;(5）f(x）＝(x－2)eq\r(\f(2＋x,2－x））(｜x|＜2)．思路探究：先求定義域,驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f（－x）與f(x)的關(guān)系，進(jìn)而做出判斷．解析：（1)∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0))知x＝1.∴函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋鹸｜x＝1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）∵由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，，1－x2≥0，))得x2＝1，即x＝±1.∴函數(shù)f(x）的定義域是{x|x＝±1｝，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵f（x)＝0，∴f(x）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．(3)函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,1]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵f（－x）＝（－x）2－2|－x｜＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x）,∴f(x）是偶函數(shù)．（4）設(shè)f（x)＝（x－2)eq\r(\f(x＋2，x－2））.∵由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(x＋2，x－2）≥0，,x－2≠0，）)得x≤－2或x＞2，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,－2］∪(2,＋∞）,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)＝(x－2)eq\r（\f(x＋2,x－2)）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（5)設(shè)f（x)＝（x－2)eq\r（\f(2＋x,2－x）)（|x|＜2）．∵|x｜＜2，∴－2＜x＜2，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－2,2)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而f（x）＝－(2－x)eq\r（\f（2＋x,2－x））＝－eq\r（4－x2),∴f（－x）＝－eq\r（4－－x2）＝－eq\r（4－x2)＝f(x),∴f(x)＝(x－2）eq\r（\f（2＋x，2－x))(|x|＜2）是偶函數(shù)．歸納提升:如何判斷函數(shù)的奇偶性1．判斷函數(shù)的奇偶性一般不用其定義，而是利用定義的等價(jià)形式，即考察f(－x)與f（x)的關(guān)系，具體步驟如下：（1)求f(x)的定義域．(2）若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x）不具有奇偶性，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可再利用定義驗(yàn)證f（－x）與f（x)的關(guān)系．2．關(guān)于一些較復(fù)雜的函數(shù),也可以用如下性質(zhì)判斷函數(shù)的奇偶性：（1)偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零)仍為偶函數(shù)．（2）奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)．（3）奇（偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商（分母不為零)為奇(偶）函數(shù)．(4)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1)f(x）＝x2＋1;（2)f（x)＝|x＋1｜－|x－1｜；(3)f（x)＝eq\r(x－1）·eq\r(x＋1）。解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x),∴函數(shù)f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)．(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（－x)＝｜－x＋1|－｜－x－1｜＝|x－1｜－|x＋1｜＝－（|x＋1｜－|x－1|)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝｜x＋1|－｜x－1｜是奇函數(shù)．(3）函數(shù)f（x）＝eq\r（x－1)·eq\r(x＋1）的定義域?yàn)椋?，＋∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f（x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．類型奇偶函數(shù)圖像的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例2（1）如圖1，給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖像,那么f（1)等于(B)A．－4 B．－2C．2 D．4圖1圖2(2）設(shè)偶函數(shù)f（x)的定義域?yàn)椋郏?，5］，且f(3）＝0，當(dāng)x∈［0，5]時(shí)，f（x)的圖像如圖2所示，則不等式xf（x）＜0的解集是__［－5，－3）∪(0，3）__.思路探究：根據(jù)函數(shù)的奇偶性可作出函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖像，再根據(jù)圖像來解題．解析:（1)由函數(shù)的圖像可得f(－1)＝2,又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f（1)＝－f(－1）＝－2。(2)因?yàn)閒（x)為偶函數(shù)，且由圖像可得在[0,3）上，f(x）＜0在(3，5］上，f(x）＞0,則在［－5，－3）上，f(x）＞0，在(－3，0]上，f(x）＜0，xf（x)＜0?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,fx＜0)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，，fx＞0，））所以－5≤x＜－3或0＜x＜3，即不等式的解集為［－5，－3)∪(0,3）．歸納提升:巧用奇偶性作函數(shù)圖像的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2）作出函數(shù)在［0，＋∞)(或（－∞,0］）上對(duì)應(yīng)的圖像．（3)根據(jù)奇(偶）函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸）對(duì)稱得出在（－∞，0］或[0，＋∞)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2＋2x，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x）在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示．(1）請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f（x）的圖像；(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)y＝f（x）的增區(qū)間、值域．解析：（1）由題意作出函數(shù)圖像如圖:（2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為（－1，0),（1，＋∞）,值域?yàn)閇－1，＋∞）．類型分段函數(shù)奇偶性的判定┃┃典例剖析__■典例3用定義判斷函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－x2＋1x>0,x2－1x<0）)的奇偶性．思路探究：判斷分段函數(shù)的奇偶性，要注意x與－x是在不同的“段”中，則f(－x)與f（x）是不同的關(guān)系式．解析：解法一：任取x>0,則－x〈0.∴f（－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－（－x2＋1)＝－f(x)．又任取x<0，則－x〉0.∴f（－x）＝－(－x）2＋1＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)．對(duì)x∈(－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝－f（x）成立．∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．解法二:f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x2＋1，x∈0，＋∞，x2－1,x∈－∞，0)),即f(x)＝|x｜（－x＋eq\f(1,x）)(x≠0）,則f(－x)＝｜x|(x－eq\f(1，x）)＝－｜x|(－x＋eq\f(1，x))＝－f（x）．∴f(x）為奇函數(shù)．歸納提升：1.判斷分段函數(shù)的奇偶性,必須分段考慮．2．若分段函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，常用含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)表達(dá)式來表示．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．判斷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋2x>0,0x＝0，－x2－2x〈0））的奇偶性．解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，－x〈0，f(－x)＝－（－x）2－2＝－x2－2＝－（x2＋2）＝－f（x），當(dāng)x〈0時(shí)，－x>0,f（－x）＝(－x）2＋2＝x2＋2＝－（－x2－2）＝－f（x)．當(dāng)x＝0時(shí),f(0)＝0，即x＝0時(shí)，f(－x)＝－f（x)．綜上所述，x∈R,有f（－x）＝－f(x),故該函數(shù)為奇函數(shù)．類型由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式┃┃典例剖析__■典例4已知f（x)是奇函數(shù),且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）＝x｜x－2｜，求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x)的表達(dá)式．思路探究：已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，可利用對(duì)稱性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式．解析：令x＜0,則－x＞0.∴f(－x）＝－x｜－x－2|＝－x｜x＋2｜。∵f(x)為奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x)＝x|x＋2|。故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x)的表達(dá)式為f(x)＝x|x＋2｜.歸納提升：由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的解題策略1．函數(shù)具有奇偶性，若只給出了部分區(qū)間上的解析式，則可以利用函數(shù)的奇偶性求出對(duì)稱區(qū)間上的解析式，其解題理論為函數(shù)奇偶性的定義．正用定義可以判斷函數(shù)的奇偶性,逆用可以求出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的解析式．2．結(jié)論：（1)若f（x）是奇函數(shù)，且已知x＞0時(shí)的解析式,則x＜0時(shí)的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)中的x，y分別替換為－x，－y，然后解出y即可．(2）若f(x)是偶函數(shù)，且已知x＞0時(shí)的解析式,則x＜0時(shí)的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f（x）中的x替換為－x，y不變，即得x＜0時(shí)的解析式．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■4．若f(x）是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x〈0時(shí)，f(x）＝x(1－x)，求：當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．解析：當(dāng)x〉0時(shí)，－x<0,∵當(dāng)x<0時(shí)，f(x）＝x（1－x），∴f（－x)＝－x(1＋x），又f(x）為奇函數(shù)，∴f（－x)＝－f（x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f（x）＝x(1＋x)，又f（0）＝f（－0)＝－f（0），∴f（0）＝0，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x(1＋x)．類型抽象函數(shù)的奇偶性┃┃典例剖析__■典例5已知函數(shù)y＝f（x)（x∈R），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b都有f(a＋b）＝f(a）＋f（b),求證：f(x)為奇函數(shù)．思路探究：因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)a、b都有f（a＋b)＝f(a）＋f(b）,可以先令a、b為某些特殊值，從而得出f（－x)＝－f（x）．證明：令a＝0，則f（b）＝f（0)＋f(b),∴f（0)＝0，再令a＝－x，b＝x，則f(0）＝f（－x)＋f(x）,∴f（－x）＝－f(x）,且定義域x∈R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是奇函數(shù)．歸納提升：判斷抽象函數(shù)的奇偶性，應(yīng)利用函數(shù)奇偶性定義,找準(zhǔn)方向,巧妙賦值，合理，靈活變形配湊，找出f（－x）與f(x)的關(guān)系，從而判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■5．已知函數(shù)y＝f（x)（x∈R),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2,都有f（x1＋x2)＋f（x1－x2)＝2f（x1)·f(x2），求證:f(x)為偶函數(shù)證明：令x1＝0，x2＝x，得f（x）＋f（－x)＝2f(0)·f（x），令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f（0）·f（x），由①②得，f(－x）＝f（x），且定義域x∈R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f(x）為偶函數(shù)．課堂檢測(cè)·固雙基1．設(shè)函數(shù)f（x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－3)＝－2,則f（3）＋f（0）＝(C）A．3 B．－3C．2 D．7解析：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又f（－3)＝－f(3）＝－2，∴f(3）＝2，∴f（3）＋f（0)＝2,故選C．2．下面四個(gè)結(jié)論:①偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖像一定經(jīng)過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0（x∈R)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確,①錯(cuò)誤；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不一定經(jīng)過原點(diǎn),因此②不正確；若y＝f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由定義可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可，故④錯(cuò)誤，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零,區(qū)別在定義域,選A．3．已知函數(shù)f(x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞,0)時(shí)，f(x）＝2x3＋x2,則f（2）＝__12__。解析：∵當(dāng)x∈（