2020-2021人教版數(shù)學(xué)2-2課時2.3數(shù)學(xué)歸納法含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-2課時分層作業(yè)：2.3數(shù)學(xué)歸納法含解析課時分層作業(yè)（十六)數(shù)學(xué)歸納法（建議用時:40分鐘)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3（n≥3,n∈N*）,第一步驗(yàn)證()A．n＝1 B．n＝2C．n＝3 D．n＝4C[由題知,n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n＝3是否成立．］2．設(shè)Sk＝eq\f（1,k＋1)＋eq\f（1，k＋2）＋eq\f（1，k＋3)＋…＋eq\f(1,2k),則Sk＋1為()A．Sk＋eq\f（1,2k＋2） B．Sk＋eq\f（1,2k＋1）＋eq\f（1，2k＋2)C．Sk＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f（1,2k＋2) D．Sk＋eq\f(1，2k＋2)－eq\f（1,2k＋1)C[因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù),則由Sk＝eq\f（1,k＋1)＋eq\f（1，k＋2）＋…＋eq\f(1，2k),①得Sk＋1＝eq\f（1，k＋2)＋eq\f(1，k＋3）＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1）＋eq\f（1，2k＋1）。②由②－①，得Sk＋1－Sk＝eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1，k＋1）＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f（1,2k＋1），故Sk＋1＝Sk＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f(1，2k＋1).]3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1，3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n≥2,n∈N＊）的過程中,由n＝k變到n＝k＋1時，左邊增加了（)A．1項(xiàng) B．k項(xiàng)C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng)D[當(dāng)n＝k時，不等式左邊的最后一項(xiàng)為eq\f（1,2k－1)，而當(dāng)n＝k＋1時，最后一項(xiàng)為eq\f（1,2k＋1－1)＝eq\f(1,2k－1＋2k），并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1,故增加了2k項(xiàng)．］4．對于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1（n∈N*），某學(xué)生的證明過程如下：（1）當(dāng)n＝1時,eq\r（12＋1)<1＋1,不等式成立．(2)假設(shè)n＝k（k∈N*）時，不等式成立,即eq\r（k2＋k)〈k＋1，則n＝k＋1時,eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)〈eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2）＝eq\r(k＋22)＝（k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立,上述證法（）A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確D［n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．故應(yīng)選D。］5．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則(）A．該命題對于n〉2的自然數(shù)n都成立B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C．該命題何時成立與k取值無關(guān)D．以上答案都不對B[由n＝k時命題成立可以推出n＝k＋2時命題也成立，且n＝2時命題成立，故對所有的正偶數(shù)都成立．]二、填空題6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)"時，第一步驗(yàn)證的表達(dá)式為________．21＋1≥12＋1＋2［當(dāng)n＝1時，左邊≥右邊,不等式成立,∵n∈N＊，∴第一步的驗(yàn)證為n＝1的情形．］7．用數(shù)學(xué)歸納法證明（1＋1）(2＋2）（3＋3)…（n＋n）＝2n－1·(n2＋n)時，從n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的因式是________．2k＋2[當(dāng)n＝k時，左端為：(1＋1)(2＋2)…（k＋k），當(dāng)n＝k＋1時,左端為：(1＋1）(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式為:(2k＋2）．］8．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝2,an＋1＝eq\f(an,3an＋1）(n∈N*),依次計(jì)算出a2，a3,a4后，歸納、猜測得出an的表達(dá)式為________．a(chǎn)n＝eq\f（2,6n－5)［a1＝2，a2＝eq\f(2，7)，a3＝eq\f（2，13），a4＝eq\f（2，19），猜測an＝eq\f（2，6n－5）。]三、解答題9．(1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋（－1）n－1n2＝(－1）n－1·eq\f(nn＋1，2)(n∈N＊)．（2)求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－（2n）2＝－n·(2n＋1）（n∈N＊）．［證明](1）①當(dāng)n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝（－1)0×eq\f（1×1＋1,2）＝1，左邊＝右邊，等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N＊）時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（－1)k－1k2＝（－1）k－1·eq\f(kk＋1,2).則當(dāng)n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1）k（k＋1)2＝（－1)k－1·eq\f(kk＋1，2)＋（－1）k(k＋1）2＝（－1)k(k＋1）·eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(k＋1－\f(k,2)）)＝(－1)k·eq\f(k＋1[k＋1＋1］,2）.∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，根據(jù)①、②可知，對于任何n∈N＊等式成立．（2)①當(dāng)n＝1時,左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．②假設(shè)n＝k時，等式成立,即12－22＋32－42＋…＋（2k－1)2－(2k）2＝－k(2k＋1)．當(dāng)n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－(2k)2＋（2k＋1）2－(2k＋2）2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1）2－(2k＋2）2＝－k(2k＋1）－（4k＋3)＝－（2k2＋5k＋3）＝－（k＋1）［2(k＋1）＋1]，所以n＝k＋1時,等式也成立．由①②得，等式對任何n∈N*都成立．10．已知{fn（x)}滿足f1（x）＝eq\f(x，\r(1＋x2））(x〉0），fn＋1(x)＝f1（fn（x））。(1）求f2（x），f3（x)，并猜想fn(x)的表達(dá)式;（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對fn（x)的猜想．［解]（1)f2(x)＝f1［f1(x）]＝eq\f（f1x，\r（1＋f\o\al（2，1）x）)＝eq\f(x，\r（1＋2x2)），f3（x)＝f1［f2（x）]＝eq\f（f2x,\r（1＋f\o\al(2，2)x))＝eq\f(x，\r(1＋3x2）），猜想:fn(x）＝eq\f(x，\r（1＋nx2））（n∈N＊)．(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，fn(x)＝eq\f(x,\r(1＋nx2）)（n∈N*）．①當(dāng)n＝1時,f1（x）＝eq\f(x,\r(1＋x2）)，顯然成立;②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時,猜想成立，即fk(x)＝eq\f（x，\r（1＋kx2))，則當(dāng)n＝k＋1時,fk＋1＝f1［fk(x)]＝eq\f(\f(x,\r(1＋kx2））,\r(1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x,\r(1＋kx2））））eq\s\up12(2））)＝eq\f（x，\r(1＋k＋1x2)),即對n＝k＋1時，猜想也成立；結(jié)合①②可知，猜想fn（x)＝eq\f(x，\r（1＋nx2）)對一切n∈N*都成立．1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f（1，n）＋eq\f（1，n＋1）＋eq\f(1，n＋2）＋…＋eq\f（1,2n)<1（n∈N*，且n≥2)時，第二步由k到k＋1時不等式左端的變化是（）A．增加了eq\f(1,2k＋1）這一項(xiàng)B．增加了eq\f(1，2k＋1）和eq\f（1,2k＋2)兩項(xiàng)C．增加了eq\f（1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)兩項(xiàng)，同時減少了eq\f（1，k）這一項(xiàng)D．以上都不對C[不等式左端共有n＋1項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n，公差為1，末項(xiàng)為2n的等差數(shù)列,當(dāng)n＝k時，左端為eq\f(1，k)＋eq\f（1,k＋1）＋eq\f（1,k＋2）＋…＋eq\f(1,2k);當(dāng)n＝k＋1時，左端為eq\f（1，k＋1)＋eq\f(1,k＋2）＋eq\f（1,k＋3）＋…＋eq\f（1,2k)＋eq\f(1,2k＋1）＋eq\f(1，2k＋2)，對比兩式，可得結(jié)論．]2．某命題與自然數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n＝k(k∈N＊）時該命題成立,則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立,則可推得（）A．當(dāng)n＝6時，該命題不成立B．當(dāng)n＝6時，該命題成立C．當(dāng)n＝4時，該命題不成立D．當(dāng)n＝4時，該命題成立C［若n＝4時,該命題成立,由條件可推得n＝5命題成立．它的逆否命題為:若n＝5不成立，則n＝4時該命題也不成立．]3．記凸k邊形的內(nèi)角和為f（k),則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f（k＋1）＝f（k)＋________.π［由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f（k＋1)＝f(k）＋π。]4．對任意n∈N＊,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________。5［當(dāng)n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5;當(dāng)a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5.]5．是否存在a，b，c使等式eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,n）））eq\s\up12（2)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，n）)）eq\s\up12（2）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,n)))eq\s\up12(2）＋…＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（n,n))）eq\s\up12(2)＝eq\f（an2＋bn＋c，n)對一切n∈N＊都成立，若不存在，說明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．[解]取n＝1,2，3可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，，8a＋4b＋2c＝5，,27a＋9b＋3c＝14，)）解得:a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f（1，2)，c＝eq\f(1，6)。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,n)））eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，n)）)eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,n)))eq\s\up12（2）＋…＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(n，n)))eq\s\up12(2）＝eq\f（2n2＋3n＋1，6n)＝eq\f（n＋12n＋1，6n)。即證12＋22＋…＋n2＝eq\f(1，6）n（n＋1）（2n＋1),①n＝1時,左邊＝1，右邊＝1，∴等式成立；②假設(shè)n＝k時等式成立,即12＋22＋…＋k2＝eq\f（1,6)k(k＋1)（2k＋1）成立,則當(dāng)n＝k＋1時，等式左邊＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1)2＝eq\f（1,6)k(k＋1)（2k＋1）＋(k＋1）2＝eq\