機械波課程內(nèi)容61機械波的形成和傳播62平面簡諧波的波

第6章機械波課程內(nèi)容6.1 機械波的形成和傳播6.2 平面簡諧波的波函數(shù)6.3 波的能量 聲強6.4 惠更斯原理 波的疊加和干涉6.5 駐波6.6 多普勒效應(yīng) 沖擊波6.7 色散 波包 群速度教學(xué)要求了解橫波、縱波、波面、波前、平面波、波線、波動方程的推導(dǎo)；了解機械波產(chǎn)生的條件應(yīng)力、體變模量、揚氏模量、切變模量、聲壓、聲強、聲強級、波的能量、波的強度、多普勒效應(yīng)、沖擊波。理解波源、機械波、波速、波長、頻率、波動方程、惠更斯原理、波的衍射、反射和相位、駐波。掌握波的獨立性、疊加原理、相干條件、波的干涉現(xiàn)象。重點與難點重點：波的獨立性、相干條件、波的干涉現(xiàn)象。難點：波的干涉現(xiàn)象。第6章 機械波如果在空間某處發(fā)生的振動，以有限的速度向四周傳播，則這種傳播著的振動稱為 波。通常將波動分為兩大類： 一類是機械振動在連續(xù)介質(zhì)內(nèi)的傳播， 稱為機械波。例如水波、聲波等。另一類是電磁振動在真空或介質(zhì)中的傳播，稱為 電磁波。例如無線電波、光波、 X射線、 射線等。近代物理指出，微觀粒子以至任何物體都具有波動性，這種波叫做物質(zhì)波。機械波和電磁波在本質(zhì)上是不同的， 但是它們都具有波動的共同特征， 即都具有一定的傳播速度，且都伴隨著能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，而且有相似的數(shù)學(xué)表達形式。本章的主要內(nèi)容有機械波的基本概念、 平面簡諧波表達式、 波的能量、波的干涉和衍射、駐波以及聲波等。6.1機械波的形成和傳播 機械波產(chǎn)生的條件機械波的產(chǎn)生， 一是要有做機械振動的物體，即波源；二是具有彈性介質(zhì) 。具體說，組成彈性介質(zhì)的各質(zhì)點之間都以彈性力相互作用著，一旦某質(zhì)點（ 波源）離開其平衡位置，這就發(fā)生了形變，于是一方面， 鄰近質(zhì)點對它施加彈性回復(fù)力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振動起來；另一方面根據(jù)牛頓第三定律，這個質(zhì)點也將對鄰近質(zhì)點施加彈性力，迫使鄰近質(zhì)點也在自己的平衡位置附近振動起來。 這樣，振動就由近及遠地傳播開去， 形成了波動。 橫波 縱波根據(jù)介質(zhì)中各點的振動方向與波的傳播方向的關(guān)系，機械波可以分為橫波和縱波兩類：介質(zhì)中質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相垂直稱為 橫波。如繩波就是橫波。 介質(zhì)中質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相平行稱為 縱波。如聲波就是縱波。無論是橫波還是縱波，它們都只是振動狀態(tài)的傳播，彈性介質(zhì)中各質(zhì)點僅在它們各自的平衡位置附近振動，并沒有隨波前進。一般而言，介質(zhì)中質(zhì)點的振動情況是很復(fù)雜的，由此產(chǎn)生的波也很復(fù)雜。例如水面上傳播的水面波，水質(zhì)點既有上下振動，也u有前后運動，因此既不是純粹的橫波，ad也不是純粹的縱波。這種運動的復(fù)雜性，是由于液面上液體質(zhì)點受到重力和表面bc張力共同作用的結(jié)果。但任何復(fù)雜的波圖6-1問題6-1圖都可以分解為橫波和縱波來研究。問題6-1 如圖6-1為一縱波在某一時刻的波形圖，波的傳播方向如圖所示。在圖上標注出質(zhì)點a、b、c、d的實際位置。 波面 波線波線和波面都是為了形象地描述波在空間的傳播而引入的概念。

從波源沿各傳播方向所畫的帶箭頭的線 ，稱為波線，用以表示波的傳播路徑和傳播方向。

波在傳播過程中，所有振動相位相同的點連成的面

，稱為波面。在各向同性的均勻介質(zhì)中，波線與波面相垂直。顯然，波在傳播過程中波面有無窮多個。 在某一時刻，由波源最初振動狀態(tài)傳到的各點所連成的曲面叫波前或波陣面。即波前是傳到最前面的那個波面。 在任一時刻，只有一個波前。波面為球面的波稱為球面波，球面波的波線是以波源為中心向外的徑向直線（圖6-2(a)）；波面為平面的波 稱為平面波（圖6-2(b),平面波的波線是垂直于波陣面的平行直線。 簡諧波普通波的波動表達式是比較復(fù)雜的， 最簡單而又最基本的波動是 簡諧波。即波源以及介(a) (b)圖6-2波陣面和波線質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是諧振動。 這種情況只能發(fā)生在各向同性、 均勻無限大、無吸收的連續(xù)彈性介質(zhì)中。以下我們所提到的介質(zhì)都是這種理想化的介質(zhì)。 任何一種復(fù)雜的波都可以表示為若干不同頻率、不同振幅的簡諧波的合成。所以研究簡諧波有特別重要的意義。 物體的彈性形變體變模量 如圖6-3(a)所示，設(shè)有一體積為 V的立方體（圖中實線所示） ，受到來自各個方向的壓力，體積縮小為V（圖中虛線所示），如果用f表示正壓力，則量值pfS叫做脅強或應(yīng)力。在脅強p的作用下，體積增量為VV'V（這里的V實際為負值），把VV叫做脅變或應(yīng)變。定義p（6-1）BVV為體變模量。對于流體,體變模量可改寫為p(6-2)BVV楊氏模量如圖6-3(b)所示,設(shè)有一柱體，兩端受拉力f。如果柱體的橫截面為S，長為l，受力f作用時，伸長 l，脅強為 f/S,脅變?yōu)?ll，定義楊氏模量Yf/S（6-3）l/l圖6-3物質(zhì)的形變切變模量如圖6-3(c)所示，設(shè)有一柱體，兩端底面受到切向力f作用，這時產(chǎn)生的形變稱為切變，切變中脅變的量值可用角（以弧度為單位）表示，脅強以f/S表示，S為柱體底面的面積，定義切變模量為Gf/S（6-4）在SI制中，體變模量B、楊氏彈性模量Y及切變模量G的單位都為N／m2。 描述波動的幾個物理量波速在波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）在單位時間內(nèi)所傳播的距離 叫做波速，用u表示。波速的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì)，在不同的介質(zhì)中，波速是不同的。對于固體，能產(chǎn)生切變、體變、長變等各種彈性形變，所以在固體中既能傳播與切變有關(guān)的橫波，又能傳播與體變或長變有關(guān)的縱波，波的傳播速度為橫波uG(6-5)縱波uY(6-6)對于流體只有體變彈性， 沒有切變彈性，所以只能傳播與體變有關(guān)的彈性縱波， 波的傳播速度為uB(6-7)上面三式中 均為介質(zhì)的密度。張緊的柔軟細繩或弦線中橫波的傳播速度為Fu(6-8)式中F為細繩或弦線中的張力，細繩或弦線單位長度的質(zhì)量。問題6-2假如聲波在空氣中傳播時,空氣的壓縮與膨脹過程進行得非常迅速,以致來不及與周圍交換熱量,聲波的傳播過程可看作絕熱過程。若視空氣為理想氣體，（1）試證聲速u與壓強p的關(guān)系為up，與溫度T的關(guān)系為uRTMmol,式中CP,mCV,m為氣體的摩爾熱容之比,為密度,R為摩爾氣體常量,Mmol為摩爾質(zhì)量；（2）求00C和200C時，空氣中的聲速。（空氣的1.4，Mmol2.89102kg/mol）波動周期和頻率波動過程也具有時間上的周期性。波動周期是指 一個完整波形通過波線上某點所需要的時間，用T表示。周期的倒數(shù)叫做頻率，波的 頻率是指單位時間內(nèi)通過波線上某點的完整波的數(shù)目，用 表示。由于波源每完成一次全振動，就有一個完整的波形發(fā)送出去，由此可知，當波源相對于介質(zhì)靜止時,波的周期（或頻率）等于波源的振動周期（或頻率）。兩者關(guān)系為21T（6-9）3波長如前所述，同一時刻，沿波線上各質(zhì)點的振動相位是依次落后的。 則同一波線上兩個相鄰的相位差為 2π的質(zhì)點間的距離，即一個完整波的長度 稱為波長，用 表示。波長、波的周期(頻率)、波速都是描述波動的重要物理量。u、波長、和波速頻率周期T之間有如下關(guān)系uTu（6-10）式(6-10)把表征波的空間周期性的ueT聯(lián)系在一ad和表征波的時間周期性的起，是波動現(xiàn)象中一個很重要的普遍關(guān)bc圖6-4 問題6-3圖系式。它不僅適用于機械波，也適用于電磁波。問題6-3 設(shè)某一時刻繩上橫波曲線及傳播方向如圖 6-4所示。試分別用小箭頭表明圖中 a、b、c、d、各質(zhì)點的此時刻的運動方向，并畫出經(jīng)過四分之一周期后的波形曲線。例6-1在波線上有相距2.5cm的A、B兩點，已知點B的振動相位比點A落后π6，振動周期為2.0S，求波速和波長。解 波線上相距 2.5cm的A、B兩點相位差為 π6，由波長的定義可知，在波線上相距 的兩點的相位差為2π，所以該波的波長為2π2.5102 0.30(m)π6因為=2.0s，根據(jù)式(12-5)，可以求得波速T30102u0.15(m/s)T26.2平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波在介質(zhì)中傳播，雖然各質(zhì)點都在各自的平衡位置附近按余弦（或正弦）規(guī)律運動，但同一時刻各質(zhì)點的振動狀態(tài)卻不盡相同。只有定量地描述出每個質(zhì)點的振動狀態(tài)，才算解決了平面簡諧波的運動學(xué)問題 。在平面簡諧波中， 波線是一組垂直于波面的平行射線， 因此可選用其中一根波線為代表來研究平面波的傳播規(guī)律。 也就是說，我們所需求的平面簡諧波的波函數(shù)， 就是任一波線上任一點的振動方程的通式。6.2.1平面簡諧波的波函數(shù)y如圖6-5所示，一平面簡諧波在無吸收的均勻無限大介質(zhì)中傳播，波速為 u，取任一波線為 x

uP軸，波Ox軸正方向傳播。因為與 x軸垂直的平面 圖6-5 P點的振動比原點落后時間 xu均為同相面，任一個同相面上質(zhì)點的振動狀態(tài)可用該平面與 x軸交點處的質(zhì)點振動狀態(tài)來描述，因此對整個介質(zhì)中質(zhì)點的振動研究可簡化成只研究 x軸上質(zhì)點的振動。設(shè)原點處的質(zhì)點振動表達式為yO Acos t 0式中yo表示O處質(zhì)點在時刻t離開平衡位置的位移，A為振幅，為角頻率，0為初相。我們在Ox軸正方向上任取一點P，坐標為x，顯然，當振動從點O傳播到點P時，點P將以相同頻率和振幅重復(fù)點O的振動，只是振動狀態(tài)落后于點O，點P落后于點O的時間為x，也就是說，P點在t時刻的振動狀態(tài)就是點O在tx時刻的振動狀態(tài)，用uutxt，就可以得到任意時刻t，任意點P的振動表達式代替點O振動表達式中的uyAcostx0（6-11a）u顯然,此式適用于 Ox軸上所有質(zhì)點的振動 ,從而可以描繪出 Ox軸上各點的位移隨時間變化的整體圖象。因此上式即為沿 Ox軸正方向傳播的 平面簡諧波的波函數(shù)，或稱波動表達式，有時也稱波動方程 。因為 2πT 2π,u T，所以可以將式（ 6-11a）改寫為yAcos2πtx0（6-11b）TyAcos2πtx（6-11c）0如果波沿Ox軸負方向傳播，點P的振動超前于點 O的時間為 x，因此沿Ox軸負方向u傳播的平面簡諧波的表達式為yAcostx0（6-12）u我們可以將上述推廣到更一般的情形 ,若波沿Ox軸正方向傳播,且已知x0處點Q的振動表達式為yQ Acos t x0則相應(yīng)的波的表達式為yAcostxx0(6-13)x0u討論1彈性介質(zhì)中質(zhì)元偏離平衡位置的位移y既是時間t的函數(shù)，又是位置坐標x的函數(shù)，有兩個自變量。而簡諧振動表達式中振動物體偏離平衡位置的位移只是時間的函數(shù)，只有一個自變量。2在波的表達式中 ,波速u恒取正值。3由波的表達式可以求得介質(zhì)中各質(zhì)點的振動速度和振動加速度a,即yAsintx0tua2y2Acostx0tt2u問題6-4（1）說明波動表達式（6-11a）中，x,x,0的物理意義。uu（2）說明波動表達式（6-13）中x-x0,x-x0,x0的物理意義。uu（3）對于沿Ox軸負方向傳播的波動表達式，再回答（1）與（2）。問題6-5比較波的傳播速度與介質(zhì)中各質(zhì)點振動速度的區(qū)別。 平面簡諧波波函數(shù)的物理意義為了深刻理解平面簡諧波波函數(shù)的物理意義，下面分幾種情況進行討論。1當x x0為給定值,則y僅是時間t的周期函數(shù)，波動表達式（ 6-11a）成為yAcosx00＝Acost2πx0（6-14）t0u表示的是波線上點x0處質(zhì)點在任意時刻離開自已平衡位置的位移，式（6-14）即為x0處質(zhì)點的振動方程，表明任意坐標x0處質(zhì)點均在作簡諧振動，相應(yīng)的yt圖就是該點的振動曲線如圖（圖6-6）所示。任一質(zhì)點經(jīng)歷時間nT(n1,2,)振動狀態(tài)完全復(fù)原。周期T描述了波的時間周期性 。從式(6-14)可知,x處質(zhì)點的振動初相為2πx0,比原點O處質(zhì)點的振動相位始00Pp11pP22AT圖6-6給定點的振動曲線圖6-7給定時刻的波形圖終落后2πx0或x0,x0越大，相位落后越多。因此，沿著波的傳播方向，各質(zhì)點的振動相u位依次落后。x0,2,3,各處質(zhì)點的振動相位依次為20,40,60,這正好表明波線上每隔一個波長的距離，質(zhì)點的振動曲線就重復(fù)一次，波長的確代表了波的空間周期性。由上面的討論可知 ,同一波線上兩質(zhì)點之間的相位差2πx22πx12π（6-15）00x2x1負號表示若x2 x1,則x2處的相位落后于 x1處的相位。2當t t0為給定值，,則位移y僅是坐標x的周期函數(shù),波動表達式（6-11a）成為yAcost0x0（6-16）u這時波動表達式給出了在 t0時刻波線上各個不同質(zhì)點離開各自的平衡位置的位移分布情況 ,稱為t0時刻的波形方程。以y為縱坐標,x為橫坐標,t0時刻的波形曲線如圖 6-7所示。圖形的“周期”為 ， 描述了波的空間周期性 。圖中P1與P2兩點處質(zhì)元的振動狀態(tài)相同，相位差為2π，P1與P2兩點間的距離為 λ。它是一條簡諧函數(shù)曲線，正好說明它是一例簡諧波。相應(yīng)注意的是，對橫波， t0時刻的y x曲線實際上就是該時刻統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點的分布圖形；而對于縱波，波形曲線并不反映真實的質(zhì)點分布情況， 而只是該時刻所有質(zhì)點的位移分布。讀者可以自己導(dǎo)出同一質(zhì)點在相鄰兩個時刻的振動相位差為t2t12πt2t1（6-17）T這說明波動周期反映了波動在時間上的周期性。t和x都變化，波函數(shù)就表示了波線上各個不同質(zhì)點位移隨時間變化的整體情況。t t t圖6-8 波的傳播t時刻的波形方程為yAcostx0ut時刻的波形方程為yAcosttx0yAcostxut0uu我們分別用實線和虛線表示t和t+△t（△t<T）時刻的兩條波形曲線，如圖6-8所示。便可形象地看出波形向前傳播的圖象，波形向前傳播的速度就等于波速u。從上述兩表達式可知t時刻x處質(zhì)點的振動相位與tt時刻xut處的振動相同。xut表示兩波形曲線上振動狀態(tài)相同的兩點間的坐標值之差。也就是說，在△t時間內(nèi)波形曲線向x軸正方向移動了△x的距離，傳播的速度就是波速u。想獲取tt時刻的波形，只要將t時刻的波形沿波的前進方向移動△x的距離即可得到。由式（6-11a）描述的波，波形曲線是以波速u向波的傳播方向前進的，因而這種波也叫做行波。例6-2已知波動方程為yπ25tx，其中x，的單位為，的單位為s，求(1)振幅、波長、0.1cosymt10周期、波速；(2)距原點為8m和10m兩點處質(zhì)點振動的位相差； (3)波線上某質(zhì)點在時間間隔 0.2s內(nèi)的位相差.解(1)25πxy0.1cost1025A=0.1m,25s1,u=25m/s,0=010T20.8s,=uT=20m同一時刻波線上坐標為x1和x2兩點處質(zhì)點振動的位相差222x2x1520(3)對于波線上任意一個給定點(x一定)，在時間間隔t內(nèi)的位相差250.21t2t1102例6-3已知波動表達式為 y 0.02cosπ200t 5xm。求（1）求波長、周期T、和波速u；（2）畫出t0.0025s、0.005s時波形圖。解（1）波動表達式的一般形式x0]yAcos[tu此題波動表達式可化為y0.02cos200πtxm40與一般形式比較知，u40m/s，T2π=0.01s，u0.4m。200π（2）一種方法由波形表達式來作圖（描點法） ，這樣做麻煩。此題可這樣做：畫出 t 0時波形圖，根據(jù)波傳播的距離再得出相應(yīng)時刻的波形圖（波形平移） 。平移距離 :對t 0.0025s為0.1m;對t 0.005s為0.2my/muuy/mx/my/my/m x/mx/mx/m圖6-10 例6-4圖圖6-9例6-3解用圖例6-4如圖6-10表示t=0時的平面簡諧波的波形曲線。已知波向x正方向傳播，波速u32m/s。試求：（1）波動表達式；（2）如果波向負方向傳播，再寫出波動表達式；（3）在（1）的基礎(chǔ)上，求t=0時，A、B處質(zhì)點的速度的大小和方向。解對照圖形，可得波長8m，振幅A0.1m,由u可得：u324Hz,2π8π/s8（1）設(shè)波動表達式為yAcost-x0mu從圖6-10可以看出,t=0時O點質(zhì)點，位于平衡位置，且向負方向運動，0＝π所以原點質(zhì)點的振動表2達式為y0.1cos8πtπm2波的表達式為y0.1cos8πt-xπm322（2）從圖6-10可以看出,t=0時O點質(zhì)點位于平衡位置，且向正方向運動，0＝-π，所以原點質(zhì)點的2振動表達式為y0.1cos8πt－πm2波的表達式為y0.1cos8πt＋x－πm322(3)質(zhì)點的振動速度為y-0.8πsinxπm/st8πt-232所以t=0時，A、B各點的速度分別為A-0.8πsin-ππ022-0.8πsin-11ππ-0.8πsin-π1.8m/sB424例6-5一平面波在介質(zhì)中的速度u20m/s，傳播方向沿x軸負向，已知傳播路徑上的某點A的振動表πu達式為y3cos(4πt3)m。（1）如以A點C B A Dx8m 5m 9m圖6-12 習(xí)題6-5圖為原點，寫出波動表達式； （2）如以B點為原點，寫出波動表達式；（3）從（2）的波動表達式出發(fā)，寫出C點，D點的振動表達式，各點位置如圖6-12所示。解（1）0＝π，y3cos[4π(tx)π320]3（2）以B為原點，xA5、Aπ3，任一坐標x處的質(zhì)點振動比A點超前的相位為x-xAx-5u4π20波動表達式y(tǒng)3cosx-5π＝x-2π4π(t)m3cos4π(t)m203203（3）yC3cos4π(t-82πm3cos(4πt-34π20)-15)m3yD3cos4π(t142πm3cos(4πt32π20)-15)m3問題6-6 試總結(jié)求波動表達式的一般步驟。 波動方程將式(6-11a)分別對t和x求二階偏導(dǎo)數(shù)得到2yA2costxt2u2y2xx2Au2costu比較上列兩式，即得2y12yx2u2t2這就是平面波的波動方程。

00（6-18）討論 1如果從沿Ox軸負方向傳播的波動表達式 (6-12)出發(fā),同樣可以得到式 (6-18)。2對任一不是簡諧波的平面波 ,也可認為是許多不同平面頻率簡諧波的合成 , 其對t和x的二階偏導(dǎo)數(shù),仍滿足式(6-18)。所以式（6-18）反映一切平面波的共同特征。3任何物理量，不管是力學(xué)量還是電學(xué)量， 只要它的時間和坐標的關(guān)系滿足式 （6-18）,這一物理量就以波的形式傳播。6.3波的能量 * 聲強波的能量和能量密度在波的傳播過程中 ,波源的振動通過彈性介質(zhì)由近及遠地一層接一層地傳播出去 ,使介質(zhì)中各質(zhì)點依次地在各自平衡位置附近作振動 ,可見介質(zhì)各質(zhì)點具有動能 ,同時介質(zhì)因發(fā)生形變還具有勢能。所以，波動過程也是能量傳播的過程。

圖6-13 細桿中的體元形變本節(jié)以均勻細桿中傳播的縱波為例，來分析能量傳播的特征。如圖6-13，細桿的截面積為 S，密度為 ρ。考慮桿中位于 x處的體積元 V，其質(zhì)量為V，設(shè)在細桿中傳播的平面簡諧波的表達式為yAcos[(tx)0]u那么，該體積元的動能為Ek1V21V2A2sin2[(tx)0](6-19)22u從圖中可以看出，體積元左端的位移為y，右端的位移為yy，體積元的原長為x，所以脅變?yōu)閥x，根據(jù)楊氏模量的定義式（6-3）和胡克定律,這體積元所受的彈性力為fYSykyx彈性勢能為EP1k(y)21YS(y)21YSx(y)222x2x因 V Sx,u Y,或Y u2yAsintx0xuu得EP1VA22sin2[(tx)0](6-20)2u體積元的總能量為EEkEPVA22sin2[(tx)0](6-21)u應(yīng)該注意，波動的能量和簡諧振動的能量有顯著的不同：在簡諧振動系統(tǒng)中，動能和勢能有π2的相位差，即動能達到最大時，勢能為零，勢達到能最大時，動能為零，兩者相互轉(zhuǎn)化，使系統(tǒng)的機械能守恒。2.在波動情況下，任一時刻任一體積元的動能與勢能總是隨時間同步變化的，值是相等的。因此對任一體積元，它的機械能是不守恒的，是時間的函數(shù)，在零和最大值之間周期地變化著。波動中，任一體積元的機械能不守恒的原因在于：介質(zhì)的體積元間有著相互作用，因而相鄰體積元間有能量傳遞， 沿著波傳播方向， 任一體積元不斷地從前面介質(zhì)獲得能量， 又不斷把能量傳遞給后面介質(zhì)，所以說， 波動是能量傳遞的一種形式 。介質(zhì)中單位體積的波動能量，稱為波的 能量密度，用符號 表示，即EA22sin2(tx)0（6-22）Vu波的平均能量密度 即能量密度 在一個周期內(nèi)的平均值， 因為正弦函數(shù)的平方在一個周期內(nèi)的平均值是 1/2，所以 為1T

T221T2x122（6-23dtAsint0dtA）0T0u2上式表示，機械波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方及介質(zhì)密度都成正比。問題6-7 設(shè)圖6-14所示的平面簡諧波的振幅為 A,頻率為 ,介質(zhì)的密度為 。在點a處、在點b處體積元 V所具有的動能、勢能及機械能的表達式是什么？yuao b x圖6-14 問題6-7圖 圖6-15 波的能流 波的能流和能流密度波的傳播過程必然伴隨著能量的流動，因而可以引入能流和能流密度的概念。單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某面積的能量，稱為通過該面積的能流，如圖6-15所示,用符號P表示。設(shè)想在介質(zhì)中取垂直于波速u的面積SS面的能量等于體積uS內(nèi)的能量，，則在單位時間內(nèi)通過因此通過面積S的能流為PuSuSA22sin2tx0u能流P是隨時間作周期性變化的，通常取其在一個周期內(nèi)的平均值，即平均能流PPuS1A22uS(6-24)2顯然，平均能流P與截面積S有關(guān)。通過垂直于波線的單位面積的平均能流，稱為能流密度，也稱波的強度，簡稱波強。由I表示IPu1A22u（6-25）S2可見波的強度正比于振幅的平方、頻率的平方及介質(zhì)的密度。式（6-25）只對彈性波成立。波強I的單位為瓦[特]每平方米（W/m2）。例6-6一簡諧空氣波，沿直徑為0.14m的圓柱形管傳播，波的強度為9103W/m2，頻率為300Hz，波速為300m/s。求：(1）波的平均能量密度和最大能量密度；(2）每兩個相鄰?fù)嗝骈g的波中含有的能量。解（1）由波的強度Iu，得I91033105(J/m3)u3002A2sin2tx,1A223105J/m32umax2A22231056105(J/m3)（2）相鄰?fù)嗝骈g波含能量為VS=πd22Eu31053.140.143004.62107(J)2v2300 波的吸收波在實際介質(zhì)中傳播時， 由于波動能量總有一部分會被介質(zhì)吸收， 所以波的機械能會不斷地減少，波強亦逐漸減弱，這種現(xiàn)象稱為波的吸收。設(shè)介質(zhì)中某處振幅為 A，經(jīng)厚度為 dx的介質(zhì)后，振幅的衰減量為 -dA，實驗指出dA Adx經(jīng)積分得AA0ex（6-26）00和xx處的波振幅，是常量，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)。式中A和A分別是x由于波強與波振幅平方成正比，所以波強的衰減規(guī)律為II0e2x（6-27）式中I0和I分別是x0和xx處波的強度。例6-7空氣中聲波的吸收系數(shù)為a1210112m1，鋼中的吸收系數(shù)為a24107m1，式中代表聲波的頻率.問頻率為5的超聲波透過多厚的空氣或鋼后其聲強減為原來的1%.MHz解： a1 210a2 410

11510621500m751062m1*

II0e2ax1I0xln2aII0/I 100x11ln1000.046m空氣的厚度為1000鋼的厚度為1ln1001.15mx24可見高頻超聲波很難通過氣體，但極易通過固體 聲壓、聲強和聲強級為了描述聲波在介質(zhì)中各點的強弱，常采用聲壓和聲強兩個物理量。聲壓介質(zhì)中有聲波傳播時的壓力與無聲波時的靜壓力之間的壓差稱為聲壓。 由于聲波是疏密波，在稀疏區(qū)域，實際壓力小于靜壓力，在稠密區(qū)域，實際壓力大于靜壓力，前者聲壓為負值，后者聲壓為正值。因介質(zhì)中各點聲振動是周期性變化的， 所以聲壓也作周期性變化。對平面簡諧波，可以證明聲壓振幅 pm為pmuA（6-28）聲強與聲強級聲波的強度叫做聲強。也就是聲波的能量密度。由式（ 6-25）和（6-28）兩式，有I1pm21A22u（6-29）2u2這說明頻率越高越容易獲得較大的聲壓和聲強。頻率在20Hz~2×104Hz之間的能引起人的聽覺的機械縱波，叫做聲波。頻率低于20Hz的機械縱波叫做 次聲波；頻率高于 2×104Hz的機械縱波叫做 超聲波。實驗表明，人耳的靈敏度對于聲波的每一個頻率都有一個聲強范圍， 就是聲強上下兩個限值。 低于下限的聲強不能引起聽覺，人就聽不到聲音。 高于上限的聲強只能引起痛覺，也不能引起聽覺。 一般正常人聽覺的最高聲強為 10W/m2，最低聲強為 10-12W/m2。通常把這一最低聲強作為確定聲強的標準，用 I0表示。由于能夠引起人耳聽覺的聲強范圍很大，因此，通常用聲強的常用對數(shù)來描述聲波的強弱，叫做 聲強級，用L表示L10lgI（6-30）I0式中I0是頻率為1000Hz時人耳能感覺到的最低聲強。I0=10-12W/m2。聲強級的單位是分貝(dB)。表6.1中列出了日常生活中幾種聲音的聲強級。表6.1聲強和聲強級舉例聲源聲強級（dB）2響度聲強（W/m）引起聽覺傷害的聲音140100聽覺有痛感1201震耳響雷1100.1震耳地鐵10010-1震耳交通干線旁的噪聲8010-2響交談聲6010-4正常靜室4010-8輕悄悄話2010-10輕落葉1010-11輕噪聲強度適宜，頻率規(guī)則的聲波，聽起來是美妙的音樂。強度很大，頻率不規(guī)則的聲波給人的感覺是噪聲。噪聲已經(jīng)成為城市的一種重要污染， 對城市居民的身體健康有重要影響。 自覺控制噪聲，減少噪聲污染是對現(xiàn)代生活的公德要求。表6.2中列出了城市五類環(huán)境噪聲值。表6.2城市五類環(huán)境噪聲值類別白天聲強級（dB）夜間聲強級（dB）適用區(qū)域05040療養(yǎng)區(qū)、賓館15545居住區(qū)、文教機關(guān)26050居住區(qū)、商業(yè)區(qū)36555工業(yè)區(qū)47055交通干線、河道兩側(cè)超聲波超聲波的顯著特點是：（1）頻率高，波長短，衍射不嚴重，因而具有良好的定向傳播特性，而且易于聚焦。（2）聲強大，用聚焦的方法，可以獲得聲強高達 109W/m2的超聲波。3）穿透本領(lǐng)大。超聲波在液體、固體中傳播時，衰減很小。在不透明的固體中，能穿透幾十米的厚度。超聲波的這些特性得到了廣泛的技術(shù)應(yīng)用：1）超聲探測。利用超聲波的定向發(fā)射特性質(zhì)，可以探測水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。由于海水的導(dǎo)電性良好，電磁波在海水中傳播時，吸收非常嚴重，因而電磁雷達無法使用。利用聲波雷達——聲納，可以探測出潛艇的方位和距離。（2）超聲探傷。超聲波碰到雜質(zhì)或介質(zhì)分界面時有顯著的反射，可以用來探測工件內(nèi)部的缺陷。超聲探傷的優(yōu)點是不傷損工件，又由于穿透力強，故可以探測大型工件，如用于探測萬噸水壓機的主軸和橫梁等。在醫(yī)學(xué)上可用來探測人本內(nèi)部的病變，如“ B超”儀就是利用超聲波來顯示人體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的圖像。（3）超聲全息。目前超聲探傷正向著顯像方向發(fā)展， 如用聲電管把聲信號變換成電信號，再用顯象管顯示出目的物的像來。隨著激光全息技術(shù)的發(fā)展，聲全息也日益發(fā)展起來。把聲全息記錄的信息再用光顯示出來，

可以直接看到被測物體的圖像。

聲全息在地質(zhì)、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有著重要的意義。4）超聲加工。超聲波能量大而且集中，也可用來切削、焊接、鉆孔、清洗機件，還可以用來處理種子和促進化學(xué)反應(yīng)等。5）超聲測量。超聲波在介質(zhì)的傳播特性，如波速、衰減、吸收等與介質(zhì)的某些特性（如彈性模量、濃度、密度、化學(xué)成分、黏度等）或狀態(tài)參數(shù)（如溫度壓力、流速等）密切有關(guān)，利用這些特性可以間接測量其他有關(guān)物理量。這種非聲量的聲測法具有測量精度高、速度快等優(yōu)點。（6）超聲電子。超聲波一般由具有磁致壓縮或壓電效應(yīng)的的晶體的振動產(chǎn)生， 其頻率與一般無線電波的頻率相近。 但超聲波在介質(zhì)中的傳播速度比電磁波小得多， 用超聲波延遲時間就方便得多。利用超聲元件代替某些電子元件，可以制作超聲延遲線、 振蕩器、濾波器等，可應(yīng)用于電視、通訊、雷達等方面。5次聲波次聲波又叫亞聲波，一般指頻率在 10-4~20Hz之間的機械波，人耳聽不到。它與地球、海洋和大氣等的大規(guī)模運動的密切關(guān)系。 例如火山爆發(fā)、地震、隕石落地、大氣湍流、雷暴、磁暴等自然活動中，都有次聲波產(chǎn)生，因此已成為研究地球、海洋、大氣等大規(guī)模運動的有力工具。次聲波頻率低， 衰減極小，具有遠距離傳播的突出優(yōu)點。 在大氣傳播幾千公里后， 吸收還不到萬分之幾分貝。因此對它的研究和應(yīng)用受到越來越多的重視，已形成現(xiàn)代聲學(xué)的一個新的分支——次聲學(xué)。6.4惠更斯原理 波的疊加、衍射和干涉本節(jié)中，我們介紹波傳播的兩個基本規(guī)律 ,并從這兩個基本規(guī)律出發(fā)討論波的基本特征。一是惠更斯原理，這是有關(guān)波的傳播方向的基本規(guī)律

,應(yīng)用這一原理，可以討論波的反射、折射和衍射現(xiàn)象； 二是波的疊加原理 ，這是關(guān)于在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，

介質(zhì)中質(zhì)點的運動情況及波的傳播規(guī)律， 應(yīng)用這一原理，我們研究波的干涉以及一種特殊的干涉現(xiàn)象－駐波。 惠更斯原理1 惠更斯原理當波在彈性介質(zhì)中傳播時，

由于介質(zhì)質(zhì)點間的彈性力作用，

介質(zhì)中任何一點振動都會引起鄰近各質(zhì)點的振動，因此，波動到達的任一點都可看作是新的波源。如圖

6-16

所示,當一塊開有小孔的隔板擋在波的前面時， 則不論原來的波面是什么形狀， 只要小孔的線度遠小于波長，都可以看到穿過小孔的波是圓形波， 就好象是以小孔為點波源發(fā)出的一樣， 這說明小孔可以看作是新的波源，其發(fā)出的波稱為次波（子波） 。圖6-16障礙物上的小孔成為新波源荷蘭物理學(xué)家惠更斯觀察和研究了大量類似現(xiàn)象，于 1690年提出了一條描述波傳播特性的重要原理：在波的傳播過程中，介質(zhì)中波陣面（波前）上的每一點都可以看作是發(fā)射子波的波源，在以后的任一時刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前。這就是惠更斯原理的內(nèi)容?；莞乖聿粌H適用于機械波，也適用于電磁波。不論傳播波動的介質(zhì)是均勻的還是非均勻的，是各向同性的還是各向異性的，只要知道了某一時刻的波陣面，就可以根據(jù)這一原理，利用幾何作圖法來確定以后任一時刻的波陣面，進而確定波的傳播方向。此外，根據(jù)惠更斯原理，還可以很簡單地說明波在傳播中發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象。下面舉例說明其應(yīng)用。確定下一時刻的波陣面（波前）如圖6-17(a)所示，波從波源 O發(fā)出，以速率 u在各向同性的均勻介質(zhì)中向四周傳播，在t時刻的波前是半徑為R1的球面S1。根據(jù)惠更斯原理，t時刻的波前S1上的各點，都可以看做為發(fā)射子波的點波源。以S1上的各點為中心、以rut為半徑，畫許多球形的子波，這些子波在波行進的前方的包絡(luò)面為2，2就是t+△t時刻的波前。顯然，2是以波源O為SSS中心、以R2=R1+u t為半徑的球面。如圖6-17(b)所示，若已知平面波在某時刻 t的波陣面S1,根據(jù)惠更斯原理 ,應(yīng)用同樣的方法,也可以求出以后任一時刻t+△t的新波陣面 S2，顯然，S2是一個與 S1相距u t且與(a)球面波 (b)平面波S1平行的平面。從以上討論可以看出， 由

圖6-17用惠更斯原理求作新的波陣面 (波前)惠更斯原理可以推知， 當波在各向同性的均勻介質(zhì)中傳播時， 波陣面的幾何形狀不變， 即波線方向或者波的傳播方向是不變的；當波在各向異性或不均勻的介質(zhì)中傳播時，由于不同NRIii'方向上波速不同，波陣面的形狀和波的傳播方向會發(fā)生變化。界面3波的反射和折射當波傳播到兩種介質(zhì)分界面時，一部分從界面上返回原T介質(zhì)，形成反射波；另一部分進入到另一種介質(zhì)，形成圖6-18波的反射和折射折射波。如圖6-18所示，入射波線與介質(zhì)分界面法線的夾角i叫做入射角，反射波線與介質(zhì)分界面法線的夾角i′叫做反射角，折射波線與介質(zhì)分界面法線的夾角γ叫做折射角。根據(jù)波的惠更斯原理可以推導(dǎo)出波的反射定律和波的折射定律。波的反射定律：反射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；反射角等于入射角，即i′=i（6-31）圖6-19水波的衍射波的折射定律：折射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi);入射角的正弦與折射角的正弦之比等于波動在第一種介質(zhì)中的波速與在第二種介質(zhì)中的波速之比，即siniu1n21（6-32）sinu2n21為第二種介質(zhì)對于第一種介質(zhì)的相對折射率。波的衍射當波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向發(fā)生改變 ,能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進的現(xiàn)象稱為波的衍射。這是波動的又一基本特征。 圖6-19是水波通過屏障小孔的衍射圖樣。波的疊加原理波的疊加原理 包含兩個內(nèi)容，一是波傳播的獨立性 ，二是波的可疊加性 ，具體來說：（1）幾列波相遇以后，仍然保持它們各自原有的特性（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。 （2）在相遇區(qū)域內(nèi)任一質(zhì)點的振動位移，等于各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。 在我們的日常生活中經(jīng)?？梢钥吹讲▌幼駨寞B加原理的例子。 當水面上出現(xiàn)幾個水面波時， 我們可以看到它們總是互不干擾地互相貫穿， 然后繼續(xù)按照各自原先的方式傳播； 我們能分辨包含在嘈雜聲中的熟人的聲音；收音機的天線通常有許多頻率不同的訊號同時通過， 它們在天線上產(chǎn)生了復(fù)雜的電流，然而我們可以接收到其中任意一頻率的訊號， 并與其他頻率的訊號不存在時的情形大體相同。也正是由于波動遵從疊加原理， 我們可以根據(jù)傅里葉分析把一列復(fù)雜的周期波表示為若干個簡諧波的合成。 波的干涉一般地說，頻率、振幅、相位和振動方向都不相同的n列波在某一點疊加時，情形是很復(fù)雜的。但滿足下述條件的兩列波在介質(zhì)中相遇，則可形成一種穩(wěn)定的疊加圖樣，即出現(xiàn)所謂的干涉現(xiàn)象。兩列波若頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相相同或位相差恒定，則在合成波場中會出現(xiàn)某些點的振動始終加強，另一些點的振動始終減弱(或完全抵消)，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。滿足上述條件的波源，稱為相干波源，由相干波源發(fā)出的波，稱為相干波。兩列波產(chǎn)生干涉的條件稱為相干條件。顯然波的相干條件是：頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相相同或位相差恒定。設(shè)S1和S2為兩相干波源，它們的簡諧振動方程分別為y10Acost10S1r1P10y20A20cost20r2S2圖6-20 兩相干波源發(fā)出的波在空間相遇式中， 為兩波源的角頻率 , A10、A20分別為兩波源的振幅 ,10、 20分別為兩波源的振動初位相。設(shè)由這兩波源發(fā)出的兩列波在同一理想介質(zhì)中分別經(jīng)過 r1、r2的距離在空間某一點 P相遇，如圖6-20所示,則這兩列波在點 P的振動表達式為y1 A1cos ty2 A2cos t

2πr1012πr220根據(jù)波的疊加原理和兩同方向同頻率簡諧振動的合成結(jié)論 ,P點的合振動也是簡諧振動，合振動方程為yy1y2Acos(t0)（6-33）P點合振動的振幅A和初相位0分別由下面兩式給出AA2A22AAcos（6-34）1212tanA1sin(102πr1)A2sin(202πr2)02πr1)（6-35）A1cos(10A2cos(202πr2)由于波的強度正比于振幅的平方，若以I1,I2和I分別表示兩個分振動和合振動的強度，則式（6-34）可寫成II1I22I1I2cos（6-36）式(6-34)中 為兩相干波在 P點相位差，為20 10 2πr2 r1 （6-37）2010是兩個相干波源的相位差,為一個常量；(r2r1)是兩個相干波源發(fā)出的兩列波傳到點P的幾何路程之差,稱為波程差,2πr2r1是兩列波之間因波程差而產(chǎn)生的相位差，對于空間任一給定點 P它也是常量；對于疊加區(qū)域內(nèi)任一確定的點來說 , 為一個常量,因此合振幅或強度 I也是常量。但對于空間不同的點， 由于(r2 r1)的值一般不同,兩列波將有不同的相位差,合振幅或強度也不同。所以，在兩列相干波相遇的區(qū)域會呈現(xiàn)出振幅或強度分布不均勻、而又相對穩(wěn)定的干涉圖樣，具體討論如下：對于滿足20 10 2πr2 r1 2kπ(k 0,1,2, ) （6-38）的空間各點，合振幅最大，AA1A2,稱為干涉相長。強度II1I22I1I2Imax對于在滿足20102πr2r1(2k1)π(k0,1,2,)（6-39）的空間各點，合振幅最小，AA1A2,稱為干涉相消。強度II1I22I1I2Imin當相位差為其它值時，合振幅介于A1A2與A1A2之間。若兩相干波源具有相同的初相位，即2010，兩個相干波在P點引起的兩個振動的相位差只決定于兩個波源到P點的距離差(r2r1)，這時，r2r1k(k0,1,2,)干涉相長（6-40）r2r12k1(k0,1,2,)干涉相消（6-41）2以上兩式表明，當兩個相干波源同位相時，在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi)，波程差δ等于零或半波長偶數(shù)倍的各點，振幅和強度最大；波程差δ等于半波長奇數(shù)倍的各點，振幅和強度最小。兩列不滿足相干條件的波相遇疊加稱為波的非相干疊加。II1I2問題6-8 如圖6-21所示，S1、S2是相干波源，實線表示波峰，虛線表示波谷，則a、b、c三點的振動情況的下列判ca斷中，正確的是（）b（A）b處振動永遠互相減弱。S2S1圖6-21問題6-8圖B）a處永遠是波峰與波峰相遇。C）b處此刻是波谷與波谷相遇。D）c處振動永遠互相加強。例6-7位于、B兩點的兩個波源，振幅相等為A且不因沿連線傳播而變，頻率都是100Hz，相位AAB差為π，若A、B相距30m，波速為400m/s，求（1）A、B外側(cè)合成波的振幅；（2）A、B連線之間因干涉而靜止的各點的位置。u4m，如圖6-22所示，取A點為坐標原點，A、B聯(lián)線為X軸，A0π,B00,任意點解P的坐標為x。xxxxx(a)P點在B點右側(cè) (b)P點在A點左側(cè) (c)P點在A、B之間圖6-22例6-7解用圖（1）①P點在B點右側(cè)（圖6-22(a)），rBx30,rAxB0-A0-2πrB-rA0-π-2πx-30-x14π4干涉相長，合成振幅為2。A②P點在A點左側(cè)，（圖6-22(b)），rBx30,rAxB0-A0-2πrB-rA0-π-2π30x-x-16π4干涉相長，合成振幅為2A。(2)P點在A、B之間，（圖6-22(c)），rB30x,rAx,干涉相消時B0-A0-2πrB-rA0-π-2π30-x-x(2k1)π4x16(2k1),k可以取7,6,5,4,3,2,1,0得x1m,3m,5m,7m,9m,,29m，計15點。例6-8如圖6-23所示是聲波干涉儀.聲波從入口E處進入儀器，分，兩路在管中傳播，然后到喇BC叭口A會合后傳出.彎管C可以伸縮，當它漸漸伸長時，喇叭口發(fā)出的聲音周期性增強或減弱.設(shè)C管每伸長，由A發(fā)出的聲音就減弱一次，求此聲波的頻率(空氣中聲速為340)。8cmm/s圖6-23 例6-8圖解：聲波從入口 E進入儀器后分 B，C兩路傳播，在喇叭口 A處產(chǎn)生相干疊加，干涉減弱的條件是DCA DBA 2k 1 k 0,1,2......2當C管伸長x＝8cm時，再一次出現(xiàn)干涉減弱，即此時兩路波的波程差應(yīng)滿足條件'2x2k112'2xu u 3402125Hz2x 2 0.086.5駐波振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波， 在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。6.5.1駐波方程設(shè)有兩列振幅相同的兩列相干波沿Ox軸正、負方向傳播，取兩波重合的某一時刻為計時零點,任一波峰處為原點,即在t0時,兩列波引起的位于原點的質(zhì)點的位移均處于正的最大值,10200(圖6-24),則兩列波的表達式分別為y1Acos2πtxAcos2πxy2t其合成波為yy1y22Acos2πxcos2πvt（6-42）式(6-42)即駐波表達式，cos2πvt表示簡諧振動，2Acos2πx就是這簡諧振動的振幅，它只與x有關(guān)，即各點的振幅隨著其坐標 x的不同而異。即形成駐波時，各點作振2πx幅為2Acos 、頻率皆為 的簡諧振動。 駐波的特點1波幅與波節(jié) 駐波振幅分布特點由圖6-24可以看出，波線上有些點始終靜止不動,叫做波節(jié)，如圖6-24中由N表示的各點；而有些點的振幅始終具有極大值，叫做波腹，如圖6-24中由L表示的各點。由式（6-42）可知，對應(yīng)于使cos2πx0，即2πx2k1π(k0,1,2,)來決2定波節(jié)的位置。因此有波節(jié)點坐標xk2k1(k0,1,2,)（6-43）4相鄰波節(jié)距離xk1xk2k112k12442π同理，對應(yīng)于使cosx1的那些點,振幅最大,等于2A,這些點振動最強,即2πx(k0,1,2,)來決定波腹的位置。因此有波腹點坐標kπxkk(k0,1,2,)（6-44）2相鄰波腹距離也是 。2yyyyy弦線上其余各點的振幅隨坐標位置按的規(guī)律變化。駐波相位的分布特點

圖6-24駐波2πx2Acos圖6-25 弦線上的駐波由式(6-42)可知,駐波中各點的相位與2πx2πx0的各點,y2Acos2πxcos的正負有關(guān),凡是coscos2πvt，振動相位均為2πvt,2π0的各點,y2Acos2πxcos2πvtπ，振動位相均為凡是cosx2πvt π。由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，駐波中同一 分段（把兩個相鄰波節(jié)之間的所有各點，叫做一分段）內(nèi)，cos2πx具有相同的符號，因此這些點具有相同的振動相位。在波節(jié)兩邊，cos2πx符號相反，其振動相位相反。因此，駐波作分段振動，各分段作為一個整體，一齊同步振動。在每一時刻，駐波都有一定的波形，但此波形既不左移，也不右移，各點以確定的振幅在各自的平衡位置附近振動，因此叫做 駐波。圖6-25是觀察駐波的實驗。將弦線的一端系于電動音叉的一臂上，弦線的另一端系一砝碼，砝碼通過定滑輪

P對弦線提供一定的張力，刀口

B的位置可以調(diào)節(jié)。當音叉振動時，在弦線上激發(fā)了自左向右傳播的波，此波傳播到固定點

B時被反射，因而在弦線上又出現(xiàn)了一列自右向左傳播的反射波。 這兩列波是相干波， 必定發(fā)生干涉，于是在弦線上就形成了一種波形不隨時間變化的波，這就是駐波。當駐波出現(xiàn)時，弦線上有些點始終靜止不動，這些點稱為波節(jié)；有些點的振幅始終最大，這些點稱為 波腹。這與上面的分析是完全一致的。*3駐波的能量從圖6-25可知,當弦線上各質(zhì)點到達各自的最大位移時，振動速度都為零，因而動能都為零。但此時弦線各段都有了不同程度的形變，且越靠近波節(jié)處的形變越大，因此，這時駐波的能量具有勢能的形式，基本上集中于波節(jié)附近。當弦線上各質(zhì)點同時回到平衡位置時，弦線的形變完全消失，腹處質(zhì)點的速度最大，

勢能為零，但此時各質(zhì)點的振動速度了達到各自的最大值，且處于波所以此時駐波的能量具有動能的形式，基本上集中于波腹附近。至于其它時刻，則動能與勢能同時存在?？梢姡?在弦線上形成駐波時，動能和勢能不斷相互轉(zhuǎn)換，形成了能量交替地由波腹附近轉(zhuǎn)向波節(jié)附近，再由波節(jié)附近轉(zhuǎn)向波腹附近的情形。這說明駐波的能量并沒有作定向的傳播。換言之，駐波不傳播能量。這是駐波與行波的又一重要區(qū)別。 半波損失在音叉實驗中，波是在固定點 B處反射的, 在反射處形成波節(jié)。 說明入射波與反射波相位相反，反射波在該處相位突變ππ所以這種入射。由于的相躍變相當于波程差半個波長，波在反射時發(fā)生反相的現(xiàn)象也常稱為半波損失。如果波是在自由端反射，則沒有相躍變，反射處為波腹。一般情況下，入射波在兩種介質(zhì)分界面處反射時是否發(fā)生半波損失， 與波的種類、兩種介質(zhì)的性質(zhì)以及入射角的大小有關(guān)。 在垂直入射時，它由介質(zhì)的密度和波速的乘積 u決定。相對來講， u較小的介質(zhì)稱為 波疏介質(zhì)， u較大的介質(zhì)稱為 波密介質(zhì)。當波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)上反射時，x波從y0.2cos200tSI200波密介質(zhì)垂直入射到到波疏介質(zhì)反射時，沒有半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。例6-9如圖6-26所示，沿x軸正向傳播的平面簡諧波方程為，，兩種介質(zhì)的分界面P與坐標原點O相距d＝6.0，入射波在界面上反射后振幅無變化，且反射處為固定端.求：m反射波方程；(2)駐波方程；(3)在O與P間各個波節(jié)和波腹點的坐標。解(1)由波動方程可知，入射波的振幅A＝0.2，m角頻率ω＝200π，波速u＝200/，故波長λ＝u/＝2.msm由題意知，反射波的振幅、頻率和波速均與入射波相同。入射波在兩介質(zhì)分界面P點處的振動方程為圖26例6-9圖6圖-y入yxd0.2cos200t60.2cos200t60.2cos200t200因為反射點是固定端，所以反射波在 P點處的振動位相與入射波在該點的振動位相相反，故有y反 0.2cos200t反射波以速度 u＝200m/s向x軸負向傳播，在 P點處的振動方程已經(jīng)由上式給出，所以反射波方程為y0.2cos200t6x0.2cos200tx5200200x0.2cos200 t200駐波方程為：x xy 0.2cos200 t 0.2cos200 t200 2000.2cos200tx0.2cos200t+x2002000.4sin xsin200 tx 2k(3)由2(k＝0,1,2,3，?，6)得波節(jié)點的坐標為x＝0,1,2,3,4,5,6.x2k1由(k2＝0,1,2?，5)x1,3,5,7,9,11.得波腹點坐標為222222 簡正模式（自本征振動）從駐波的特征不難推論 , 不是任意波長的波都能在一定線度的介質(zhì)中形成駐波 .對于兩端固定的弦線，形成駐波時 ,弦線兩段為波節(jié) ,只有當弦長 l等于半波長整數(shù)倍時才有可能 ,即lnn(n1,2,3,)(6-45)2或弦線駐波的頻率應(yīng)滿足關(guān)系unu(n1,2,3,)（u為波速）(6-46)vn2ln上式中的頻率叫做弦振動的本征頻率,每一頻率對應(yīng)一種可能的振動方式。頻率由式（6-46）決定的振動方圖6-27弦線振動的簡正模式式,稱為弦線振動的簡正模式,其中最低頻率1稱為基頻,其它較高頻率2、3都是基頻的整數(shù)倍,它們各自以對基頻的倍數(shù)而稱為二次、三次、?諧頻。圖6-27畫出了頻率為1、2、3的三種簡正模式。6.6多普勒效應(yīng) * 沖擊波因波源或觀測者相對于介質(zhì)的運動， 而使觀測者測得的波的頻率有所變化的現(xiàn)象稱為 多普勒效應(yīng)。下面來分析這一現(xiàn)象。 機械波的多普勒效應(yīng)為簡單起見，討論觀察者、波源共線運動的情況。波源S相對于介質(zhì)的速度為s，接收器（觀察者）R相對于介質(zhì)的速度為R,u為波在介質(zhì)中傳播速度。波源的頻率、接收器接收到的頻率和波的頻率分別用S、R和表示。在此處，三者的意義應(yīng)分清：S是波源在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)，或在單位時間內(nèi)發(fā)出的“完整波”的個數(shù)；R是接收器在單位時間內(nèi)接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù)； 是介質(zhì)質(zhì)元在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)或單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某點的完整波的個數(shù)， u 。這三個頻率可能互不相同。分幾種情況討論。1相對于介質(zhì)波源不動，接收器以速度 R運動因為波源發(fā)出的波以速度 u向著接收器傳播，同時接收器以速度 R向著靜止的波源運動，所以在單位時間內(nèi)接收器接收到的完整波的數(shù)目等于分布在u R距離內(nèi)完整波的數(shù)目（見圖 6-28），即uRuRuRvRuuv圖6-28多普勒效應(yīng)此式中的v是波的頻率。由于波源在介質(zhì)中靜止，所以波的頻率就等于波源的頻率，因此有(s0,R0)vRuRvS（6-47）u這表明，當接收器向著靜止波源運動時，接收到的頻率為波源頻率的1R/u倍。當接收器離開波源運動時，通過類似的分析，可求得接收器接收到的頻率為vRuRvS（6-48）u即此時接收到的頻率低于波源的頻率。2相對于介質(zhì)接收器不動，波源以速度 S運動波源運動時，波的頻率不再等于波源的頻率。這是由于當波源運動時，它所發(fā)生的相鄰的兩個同相振動狀態(tài)是在不同地點發(fā)出的， 這兩個地點相隔的距離為 STS,TS為波源的周期。如果波源是向著接收器運動的， 這后一地點到前方最近的同相點之間的距離是現(xiàn)在介質(zhì)中的波長。若波源靜止時介質(zhì)中的波長為 0 0 uTS，則現(xiàn)在介質(zhì)中的波長 為（圖6-29）。0STS(uuSS)TSS現(xiàn)時波的頻率為uuvvSuS由于接收器靜止，所以它接收到的頻率就是波的頻率，即vRu（6-49）vSuS此時接收器收到的頻率大于波源的頻率。S圖6-29 多普勒效應(yīng)(s 0,R 0)當波源遠離接收器運動時，通過類似的分析，可得接收器接收到的頻率為vRu（6-50）vSuS這時接收器接收到的頻率小于波源的頻率。相對于介質(zhì)波源和接收器同時運動綜合以上兩種分析，可得當波源和接收器同時相對介質(zhì)運動時，接收器接收到的頻率為vR u RvS （6-51）u S上式中,接收器向著波源運動時 , R前取正號,遠離時取負號;波源向著接收器運動時 , S前取負號,遠離時取正號。最后指出，即使波源和接收器并非沿著它們的連線運動， 以上所得各式仍可適用， 只是其中 S和R應(yīng)作為運動速度沿連線方向的分量就行了， 而垂直于連線方向的分量是不會產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的。電磁波的多普勒效應(yīng)電磁波（如光）也有多普勒現(xiàn)象。和機械波不同的是，電磁波的傳播不需要介質(zhì)，因此只是光源和接收器的相對速度 決定接收的頻率。 可以用相對論證明， 當光源和接收器在同一直線上運動時，如果二者相互接近，則vR1/cvS（6-52）1/c如果二者相互遠離，則1/cvR1/cvS（6-53）由此可知，當光源遠離接收器運動時，接收到的頻率變小，因而波長變長，這種現(xiàn)象叫做“紅移”,即移向光譜中的紅色一側(cè)。天文學(xué)家就是將來自星球的光譜與地球上相同元素的光譜進行比較，發(fā)現(xiàn)星球光譜幾乎都發(fā)生了紅移， 這說明星球都在遠離地球而運動， 這一結(jié)果已成為所謂“大爆炸”的宇宙學(xué)理論的重要依據(jù)之一。* 沖擊波上面講過，當波源向著接收器運動時， 接收器接收到的頻率比波源的頻率大， 它的值由式（6-46）給出。但這一公式當波源的速度S超過波速時將失去意義，因為這時在任一時刻波源本身將超過它此前發(fā)出的波的波前，在波源前方不可能有任何波動產(chǎn)生。這種情況如圖6-30所示。當波源經(jīng)過S位置時發(fā)出的波在其1后時刻的波陣面為半徑等于u的球面，但此時刻波源已前進了S的距離到達S位置。在整個時間內(nèi)，波源發(fā)出的波到達的前沿形成了一個圓錐面，這圖6-30沖擊波個圓錐面叫馬赫錐，其半頂角由下式?jīng)Q定：u（6-54）si