向量在拋物線中的應(yīng)用

向量在拋物線中的應(yīng)用由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介．因此，向量的引入大大拓寬了我們解題的思路與方法，使它在研究許多問(wèn)題時(shí)獲得廣泛的應(yīng)用．利用平面向量這個(gè)工具，可以簡(jiǎn)捷、規(guī)范地處理數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題．下面來(lái)介紹向量在拋物線中的應(yīng)用．1．解決共線問(wèn)題例1如圖1，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，證明：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．證明：由拋物線方程，可得焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線為．令，A、F、B共線，則可設(shè)，所以有，由軸，可得．又由點(diǎn)A在拋物線上，得，∵點(diǎn)在拋物線上，，從而，即．而，所以，即共線，也就是直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．評(píng)注：向量，，共線的充要條件為或．2．探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例2如圖2，設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線．解：設(shè)．所以有，，，．∵，∴，即，化簡(jiǎn)，得．①又，∴，即，化簡(jiǎn)，得．②又A、M、B三點(diǎn)共線，所以，即有，即．③將①、②代入③式，化簡(jiǎn)整理，得．因?yàn)锳、B是異于原點(diǎn)的點(diǎn)，所以．故點(diǎn)M的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去原點(diǎn)）．評(píng)注：在動(dòng)點(diǎn)的形成過(guò)程中，若包含了比較復(fù)雜的變化方式，用正常的解析幾何手段來(lái)解決往往顯得較為繁瑣，而靈活借助向量知識(shí)可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．3．在證明中的應(yīng)用例3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，自A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，求證：．證明：顯然，設(shè)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為．由教材第9題的結(jié)論，得，則，于是，．故，所以，即，即．練習(xí)：（2022年全國(guó)高考天津卷理科試題）拋物線C的方程為，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足．（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求為鈍角時(shí)，點(diǎn)