高等工科數(shù)學(xué)試卷等素材（主編金桂堂）第7章參考解答

PAGEPAGE8習(xí)題7．1(A)組1．寫出下列微分方程的階數(shù)：（１）；（２）；（３）；（４）；（５）；（６）．解1.(1)一階；（2）二階；（3）二階；（4）一階；（5）三階；（6）一階.2．驗證下列各函數(shù)是其對應(yīng)微分方程的解：（１），；（２），；（３），．解（１）∵，∴.將、分別代入方程（1），得，∴是方程的解.（２）∵，∴，.將、分別代入方程（2），得，∴是方程的解.（３）∵，∴，．將、分別代入方程（3），得∴是方程的解.3.求下列微分方程的通解:；；；；；.解（1）原方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，，，故所求通解為（其中）.（2）分離變量，得，兩邊積分，得，故所求通解為.（3）分離變量，得，兩邊積分，得，，,,故所求通解為(其中).（4）分離變量，得兩邊積分，得，，，故所求通解為(其中).（5）分離變量，得，，兩邊積分，得，，，故所求通解為(其中).原方程化為分離變量，得，兩邊積分，得，，故所求通解為(其中).4.求下列微分方程的特解:；.解（1）分離變量，得，，由初始條件，得.故所求微分方程的特解.（2）分離變量，得，兩邊積分，得，由初始條件，得，.故所求微分方程的特解.5.解下列微分方程:；；；.解（1）原方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，故所求通解為.（2）原方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，.故所求通解為.（3）分離變量，得，兩邊積分，得，，故所求通解為.（4）分離變量，得，兩邊積分，得由初始條件，得.故所求微分方程的特解為.6.下列微分方程的通解:；；；.解（1）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（2）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（3）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（4）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為.7.求下列微分方程滿足初始條件的特解:；.解（1）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為，（﹡）其中，移項，解方程得.將初始條件代入通解（﹡），得.故所求微分方程的特解為.（2）所給方程是一階線性非齊次方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為（﹡），將初始條件代入通解（﹡），得，故所求微分方程的特解為.(B)組.求下列微分方程的通解:；；；.解（1）分離變量，得，兩邊積分，得原方程的通解為；（其中）.（2）分離變量，得，兩邊積分，得原方程的通解為；（3）分離變量，得，兩邊積分，得，，，，原方程的通解為；（4）分離變量，得，兩邊積分，得，，原方程的通解為..求下列微分的特解:；；.解(1)分離變量，得，兩邊積分，得，，由初始條件得.故原方程的特解為.(2)分離變量，得，兩邊積分，得，，由初始條件得.故原方程的特解為.(3)分離變量，得，兩邊積分，得，.由初始條件得.原方程的特解為..求下列微分方程的通解:；；；；.解（1）所給方程是一階線性非齊次方程，原方程化為，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（2）所給方程是一階線性非齊次方程，）原方程化為，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（3）所給方程是一階線性非齊次方程，）原方程化為（將看作的函數(shù)）其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（4）所給方程是一階線性非齊次方程，）原方程化為其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（5）所給方程是一階線性非齊次方程，原方程化為（將看作的函數(shù)）其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為.4.求下列微分方程滿足初始條件的特解:；.解（1）所給方程是一階線性非齊次方程，）原方程化為，即，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（2）所給方程是一階線性非齊次方程，）原方程化為，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為.由初始條件得，故原方程的特解為.5.列車在直線軌道上以米/秒的速度行駛,制動時列車獲得加速度米/秒2.求開始制動后列車的速度與時間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)列車開始制動后秒鐘內(nèi)行駛了米.根據(jù)題意，反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)應(yīng)滿足方程.（1）此外，未知函數(shù)還應(yīng)滿足下列條件：時，，.（2）把方程（1）兩端積分，得；（3）這里是任意常數(shù).把條件時，代入（3）式，得，.令，（秒）.故開始制動后列車的速度與時間的函數(shù)關(guān)系為.6.設(shè)曲線上任意一點的切線介于兩坐標(biāo)軸間的部分恰為切點所平分,已知此曲線通過點求它的方程.解設(shè)曲線上任一點為，過該點之切線與兩坐標(biāo)軸的交點分別為和.因此，，其中為切線的傾角，即得或，，兩端積分，得，即.因為，所以.故所求曲線方程為.習(xí)題7.2（A）組1.下列各組函數(shù)中,哪些是線性相關(guān)的?哪些是線性無關(guān)的?與；與；與；與；與；與.解（1）∵（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（2）∵，∴與線性相關(guān)；（3）∵，∴與線性相關(guān)；（4）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（5）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（6）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān).2.求下列微分方程的通解:；；；；；.解（1）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（2）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（3）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（4）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（5）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（6）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為.3.求下列微分方程滿足初始條件的特解:；；.解（1）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為，于是，將初始條件代入上面兩式，得，解之，得因此，所求特解為；（2）特征方程的兩個根為重根，所以，原方程的通解為，于是，將初始條件代入上面兩式，得，解之，得因此，所求特解為；（3）特征方程的一對共軛復(fù)根為，所以，原方程的通解為，于是，將初始條件代入上面兩式，得，解之，得.因此，所求特解為.4.求簡諧運動方程滿足時,的解,并求振幅、周期.解特征方程一對共軛復(fù)根為，所以，原方程的通解為，于是，將初始條件時,代入上面兩式，得，解之，得.因此，所求特解為，其中，振幅為，周期為.5.寫出下列方程特解的形式._______________________；_______________________； _______________________；_______________________；_______________________；_______________________.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）..求方程的通解.解原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的兩個根為，.所以，齊次方程的通解為.原方程中，其中是一個一次多項式，是特征方程的單根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，代入原方程，化簡得，，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的通解為.7.求方程的通解.解原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的兩個重根為，所以，齊次方程的通解為.原方程中，其中是一個一次多項式，不是特征方程的單根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，代入原方程，得，化簡得，，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的通解為.（B）組1.下列各組函數(shù)中,哪些是線性相關(guān)的?哪些是線性無關(guān)的?與與與與與解（1）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（2）∵，∴與線性相關(guān)；（3）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（4）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān)；（5）∵，（為常數(shù)）∴與線性無關(guān).2.求下列微分方程的通解:解（1）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（2）特征方程的兩個重根為，所以，原方程的通解為；（3）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（4）特征方程的兩個根為，，所以，原方程的通解為.求下列微分方程滿足初值條件的特解:解（1）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程特征方程的一對共軛復(fù)根為，，所以，齊次方程的通解為.原方程中，不是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，代入原方程，化簡得，，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的通解為.求導(dǎo)數(shù)，將初始條件時，代入，得，解之，得.因此，所求方程特解為.（2）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的兩個根為，所以，齊次方程的通解為.原方程中，其中是一個一次多項式，不是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，代入原方程，化簡得，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的通解為.求導(dǎo)數(shù)，，將初始條件分別代入和，得，，，從而微分方程滿足初值條件的特解為.（3）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程一對共軛復(fù)根為，所以，齊次方程的通解為，原方程中，其中是一個0次多項式，是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，將和分別代入原方程，化簡得，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的特解為，原方程的通解為，求導(dǎo)數(shù).，將初始條件分別代入及，得，從而微分方程滿足初值條件的特解為.（4）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程特征方程的一對共軛復(fù)根為，，所以，齊次方程的通解為.原方程中，不是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，.將、、分別代入原方程，化簡得，，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的一個特解為.原方程的通解為.求導(dǎo)數(shù)，.將初始條件分別代入原方程，得，得.從而微分方程滿足初值條件的特解為.4.一彈簧下端懸掛千克物體時,彈簧伸長了厘米,在平衡位置彈簧由靜止受到一外力牛作用,物體有向上厘米/秒的初速度,并產(chǎn)生振動,如果阻力忽略不計,求物體的運動規(guī)律.解剛性系數(shù)（牛/米）選坐標(biāo)0—0靜止位置，運動方程為，，其中彈簧拉力，表示質(zhì)量，于是，初始條件為，.，.原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程一對共軛復(fù)根為，所以，齊次方程的通解為，原方程中，其中，不是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，,將和分別代入原方程，得化簡，得比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的特解為，原方程的通解為，求導(dǎo)數(shù).，將初始條件，分別代入及，得，從而微分方程滿足初值條件的特解為.5.在電感、電容及電源的串聯(lián)電路中,已知亨,法,伏,設(shè)在時，將開關(guān)閉合,并設(shè)電容器初始電壓為零,試求開關(guān)閉合后回路電流.解由題意，可列出電流方程為，其中法，伏，亨，即，兩邊求導(dǎo)，得，初始條件為，，.原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程一對共軛復(fù)根為，所以，齊次微分方程的通解為，原方程中，其中，不是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，,將和分別代入原方程，化簡得，比較等式兩邊同類項的系數(shù)，有，解得.所以，原方程的特解為原方程的通解為，（因為為任意常數(shù)，故積分后不另考慮積分常數(shù)）.將初始條件為，分別代入上面兩式，得，，從而微分方程滿足初值條件的特解為.復(fù)習(xí)題7(A)組.選擇題:下列方程中是可分離變量的微分方程是（）方程的通解是（）方程的通解是（）方程滿足初始條件的特解是（）解（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）.求下列微分方程的通解:解（1）分離變量，得，即兩邊積分，得，，，原方程的通解為.（2）分離變量，得，兩邊積分，，得，原方程的通解為(其中).（3）分離變量，得，兩邊積分，得，，原方程的通解為.（3）分離變量，得，兩邊積分，得，，原方程的通解為.（4）分離變量，得，兩邊積分，得，即，原方程的通解為..求下列微分方程滿足初始條件的特解:；；.解(1)分離變量，得，兩邊積分，得，即，由初始條件得.故原方程的特解為.(2)分離變量，得，兩邊積分，得，即，由初始條件，得.故原方程的特解為.(3)分離變量，得，兩邊積分，得，，即.由初始條件得.原方程的特解為..求下列微分方程的通解:；；.解（1）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（2）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為；（3）特征方程的兩個根為，所以，原方程的通解為.(B)組1.求下列微分方程的通解:（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）所給方程是一階線性非齊次微分方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（2）所給方程是一階線性非齊次微分方程，其中,代入公式（7-4），得到原方程的通解為.（其中）（3）所給方程是一階線性非齊次微分方程，）原方程化為，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；（4）所給方程是一階線性非齊次微分方程，原方程化為其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為.2.求下列微分方程滿足初始條件的特解:（1）；（2）.解（1）所給方程是一階線性非齊次微分方程，其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為；將初始條件代入上面通解，得.故所求微分方程的特解為.（2）所給方程是一階線性非齊次微分方程，原方程可化為其中，代入公式（7-4），得到原方程的通解為將初始條件代入上面通解，得.故所求微分方程的特解為.3.求下列微分方程的通解:（1）；（2）；（3）.解（1）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的特征根為，，所以，齊次方程的通解為.原方程中，是特征方程的根.因此，所以設(shè)原方程的特解為，求的導(dǎo)數(shù)，得，.將、分別代入原方程，化簡得，，有，.