模糊層次分析法講解

模糊層次分析法理論基礎(chǔ)FAHP及計算過程層次分析法(AHP)是20世紀(jì)70年代美國運籌學(xué)家T.L.Saaty教授提出的一種定性與定量相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法,該方法對于量化評價指標(biāo),選擇最優(yōu)方案提供了依據(jù),并得到了廣泛的應(yīng)用。然而,AHP存在如下方面的缺陷:檢驗判斷矩陣是否一致非常困難,且檢驗判斷矩陣是否具有一致性的標(biāo)準(zhǔn)CR<0.1缺乏科學(xué)依據(jù);判斷矩陣的一致性與人類思維的一致性有顯著差異。為此,本文結(jié)合模糊數(shù)學(xué)理論,首先介紹了模糊層次分析法(Fuzzy-AHP)FAHP,然后用FAHP對公共場所安全性指標(biāo)權(quán)重進行了處理。1.1模糊一致矩陣及有關(guān)概念[4,5]1.1.1定義1.1設(shè)矩陣R=(rij)n×n,若滿足:0≤(rij)≤1,(i=1,2,……n,j=1,2,……n)，則稱R為模糊矩陣1.1.2定義1.2若模糊矩陣R=(rij)n×n,若滿足:Πi,j,k有rij=rik-rij+0.5,則稱模糊矩陣R為模糊一致矩陣。1.1.3定理1.1設(shè)模糊矩陣R=(rij)n×n是模糊一致矩陣,則有(1)Πi(i=1,2,…n),則rij=0.5;(2)Πi,j(i=1,2,…n,j=1,2,…n),有rij+rji=1;(3)R的第i行和第i列元素之和為n;(4)從R中劃掉任一行及其對應(yīng)列所得的矩陣仍然是模糊一致矩陣;(5)R滿足中分傳遞性,即當(dāng)λ≥0.5時,若rij≥λ,rjk≥λ,則rij≥λ;當(dāng)λ≤0.5時,若rij≤λ,rjk≤λ,則rij≤λ。(證明見文獻1)。1.1.4定理1.2模糊矩陣R=(rij)n×n是模糊一致矩陣的充要條件是任意指定行和其余各行對應(yīng)元素之差是一個常數(shù)。1.1.5定理1.3如果對模糊互補矩陣F=(fij)n×n按行求和,記為ri=6nk=1fik(i=1,2,…,n),并施之如下數(shù)學(xué)變換:rij=ri-rj2m+0.5(1)1.2模糊一致判斷矩陣的建立模糊一致判斷矩陣的建立R表是針對上一層某元素,本層次與之有關(guān)元素之間相對重要性的比較,假定上一層次元素T同下一層次元素a1,a2,…,an有關(guān)系,則模糊一致判斷矩陣可表示為:rij的實際意義是:元素ai和元素aj相對于元素T進行比較時,ai和aj具有模糊關(guān)系“…比…重要得多”的隸屬度,表1采用0.1～0.9數(shù)量標(biāo)度來說明其模糊關(guān)系。有了上述數(shù)字標(biāo)度之后，元素a1,a2……an相對于上一層元素進行比較，從而得到如下的模糊一致矩陣：R具有如下性質(zhì)：(1)Πi(i=1,2,…n),則rij=0.5;(2)Πi,j(i=1,2,…n,j=1,2,…n),有rij+rji=1;因此，R為模糊一致矩陣，模糊判斷矩陣R的一致性反映了人們思維判斷的一致性，在構(gòu)造模糊判斷矩陣時非常重要，但在實際的決策分析中，由于研究問題的復(fù)雜性和人們認(rèn)識上可能產(chǎn)生的片面性，構(gòu)造出的模糊矩陣往往不具有一致性，可由模糊一致矩陣的充要條件來進行調(diào)整。將模糊不一致矩陣調(diào)整為模糊一致矩陣的方法：1確定一個同其余元素的重要性相比較得出的判斷有把握的元素，不失一般性，設(shè)決策者認(rèn)為對判斷r11、r12、……r1n有把握。2用R的第一行元素減去對應(yīng)的第二行元素，若得到的n為常數(shù)，則不需要調(diào)整第二行的元素，否則對其調(diào)整。由R的性質(zhì)rij+rji=1，可得r11+r22=r12+r21=1;R11-r21=r22-r12=a(a為常數(shù))；R23=r13-a,r24=r14-a,…,r2n=r1n-a.3同理，用r的第一行元素減去對應(yīng)的第三行元素，若得到的n差為常數(shù)，則不需要調(diào)整第三行的元素，否則對其調(diào)整。由R的性質(zhì)rij+rji=1，可得r11+r33=r13+r31=1;R11-r31=r33-r13=b(b為常數(shù))；R32=r13-b,r34=r14-b,…,r3n=r1n-b.4同理，用r的第一行元素減去對應(yīng)的第k行元素，若得到的n差為常數(shù)，則不需要調(diào)整第k行的元素，否則對其調(diào)整。由R的性質(zhì)rij+rji=1，可得r11+rkk=r1k+rk1=1;R11-rk1=rkk-r1k=c(c為常數(shù))；Rk2=r1k-c,rk4=r1k-c,…,rkj=r1k-c(j=2,3,…,n;k=/j).1.3由模糊一致矩陣求元素的權(quán)重設(shè)元素a1,a2……an進行兩兩重要性比較后得到模糊一致矩陣R=(rij)n×m,其權(quán)重值ω1,ω2,…ωn有如下關(guān)系成立:rij=0.5+a(ωi-ωj)(i,j=1,2,…,n)(2)其中0<a<=0.5,且a是人們所感知對象的差異程度的一種度量,同評價對象個數(shù)和差異程度有關(guān),當(dāng)評價的個數(shù)或差異程度較大時,a可以取較大值;另外,決策者還可以通過調(diào)整a的大小,求出若干個不同的權(quán)向量,在從中選擇一個比較滿意的權(quán)向量。1.4幾點說明[4](1)定理1.1中第4條的意義在于:當(dāng)設(shè)計好模糊一致矩陣后,如果又要刪除某一個元素,則不必重新設(shè)計模糊一致矩陣,說明模糊一