第二章薛定諤方程

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔精彩文檔第二章薛定諤方程§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2.1.1 —2.1.1 —能否認(rèn)為粒子是由波組成？比如說(shuō)電子是三維空間的物質(zhì)波包波包的大小即電子的大小波包的速度即電子的速度但物質(zhì)波包是色散的即使原來(lái)的物質(zhì)波包很小但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間去，或者形象地說(shuō)，隨著時(shí)間的推移，粒子將越來(lái)越“胖”，這與實(shí)驗(yàn)相矛盾 經(jīng)典物理對(duì)自界形的本理圖中兩物體：波””§2.1.2 波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋 波函數(shù)的的特點(diǎn)：1.由于|(r,t)|2給出在t時(shí)刻，粒子在r處出現(xiàn)的幾率密度，因此原 *f()則上可由統(tǒng)計(jì)平均公式：f(r)

r drdr() f() (,t)rrr求出力學(xué)量f () f() (,t)rrrr(,t)r

應(yīng)該是r的單值、有界、連續(xù)函數(shù)。不確定性：rr常數(shù)因子的不確定性：若C為常數(shù)，則C(,t)和(,t)描述同一個(gè)物理狀態(tài)。rr(,t)與(t)ei的模相同，因此不定。|

r r2 2(r,t)|dr15、容易將波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋推廣到多粒子體系。|

(r,r

)|2,)|2,

dr

16.描述1 2 n 1 2 n粒子微觀運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)與可以用其他量（如動(dòng)量）為自變量。 1

i |C(p,t)|2dp1， C(p,t)

(2)3/

(r,t)eprdr薛定諤薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)M.玻恩，(MaxBorn1954年因波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?！?.2態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理：如果,是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加所得出的波函數(shù)1 2 nc1 1

c2

cn n

ci ii1

|c|2也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)；當(dāng)體系處于 態(tài)時(shí)，出現(xiàn)有限的，也可以是無(wú)限的。

的概率是i

in|c|2ii1

n可以是幾點(diǎn)討論：A得出的是一些可能值a1

,,an

但這些可能值的相對(duì)概率，或者說(shuō)每個(gè)可能態(tài)的相對(duì)權(quán)重，是完全確定的。態(tài)疊加原理中所謂的疊加，是波函數(shù)的疊加，或者說(shuō)是概率幅的疊加，而不是概率的疊加。因而它必然會(huì)出現(xiàn)干涉、衍射等現(xiàn)象。而不是粒子之間的干涉。依賴(lài)于時(shí)間，是t時(shí)間的變化，態(tài)疊加原理仍然成立。§2.3薛定諤方程I.由于波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理，而態(tài)疊加原理對(duì)任何時(shí)間都成立，因此描述波函數(shù)隨時(shí)間變II.時(shí)，它能過(guò)渡到牛頓方程。 對(duì)平面波式(r,t)Aei(krwt)

Aei(prEt)/

E，2pt由上兩式可以看出能量與動(dòng)量作用在波函數(shù)上的結(jié)果與算符it

及i作用在波函數(shù)上的結(jié)相同即在關(guān)系：Eit, pi 1926年薛諤上述則一情，立了述函演規(guī)的薛諤程得薛諤方： 2 i (r,t)H(r,t)( t 2m

U(r,(r,t)U(rt)不顯含時(shí)間t，則薛定諤方程可用分離變量法(, (rrrr(t)(f(tt)f(, (rrrr等式兩邊，可得：idf Ef，dt此即定態(tài)薛定諤方程。

2 2 (r)U(r) (r)E ( 2m方程（2.3.5方程（

f(t)ceiEt

代入（）并將c吸收入r中去，2.3.4 (代入（）并將c吸收入r中去，(）的解可直接給出為(,t)ei(）的解可直接給出為并有歸一化條件來(lái)確定有 r r 按照德布羅意關(guān)系，E就是體系出于這個(gè)確定值，這種狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)。波函數(shù)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。以E表示體系的能量算符的第n個(gè)n本征值，

En

相應(yīng)的波函數(shù)，則體系的第n

個(gè)定態(tài)波函數(shù)是

(,t)n

()eiEnt含時(shí)的薛定諤方程的一般解，可以寫(xiě)成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加：(,t)n

(,t)n

()eiEntn n§2.4(r(r,t) t ，在時(shí)刻、在點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率是w(,t)*(,t(,t)幾率密度隨時(shí)間的變化率為

w**由薛定諤方程及其共軛：t t t i 1 * i 1t

U，2m i

* U*可得：t 2m iw i it

**)2m

**)令：2mJ

i**)2mJ稱(chēng)為概率流密度，由wJt

0（2.4.2）式就是概率流守恒定律對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)任意空間體積V

dwdVdts

JdS這是概率流守恒定律的積分表示。此式表明，在空間某體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率在單位時(shí)間內(nèi)的增量，必定等于在同一時(shí)間內(nèi)通過(guò)V的邊界S流入體積V的概率。 若以粒子的質(zhì)量mwJwm

mwm|(r,t)|2是在t時(shí)刻在點(diǎn)r的質(zhì)量密 i w m度。J mJ **)是質(zhì)量流密度，滿足： Jm

0即量子m 2 t m力學(xué)中的質(zhì)量守恒定律。 同樣，以粒子電荷ewJ后，得到we

ewJe

eJ是電流密度，w 方程t

eJ 0e實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案是量子力學(xué)中的電荷守恒定律?！?.5定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。2.5.1一維無(wú)限深方勢(shì)阱已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為U(x)0|x|a|x|a

粒子在勢(shì)阱勢(shì)能為零，在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱(chēng)為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。其定態(tài)薛定諤方程為：

2d2mdx2

E |xa，

2d2mdx2

UE |xa當(dāng)U據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性和有限性條件得0 |xa，令： 2mE2d則薛定諤方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為：dx2

0 |xa，它的解是(x)AsinxBcosx |xa，利用邊界條件| 0| 0，得xa xaAsinaBcosa0， AsinaBcosa0帶入（2.5.1）得體系的能級(jí)：En

n2228ma2

n1,2,3,顯然，一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能譜是分立譜，這個(gè)分離的能譜就是量子化了的能級(jí)。由圖可以看出，在不同能級(jí)上粒子出現(xiàn)的概率密度是不同的。在基態(tài)，粒子出現(xiàn)的概率在E中部為最大，而越靠近阱壁概率越小，阱壁上概率為零。在激發(fā)態(tài)，粒子在阱內(nèi)出現(xiàn)4的概率是起伏變化的，隨著量子數(shù)n

n4的增大，起伏變化越來(lái)頻繁。而在經(jīng)典物理中，粒子在阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率是相等的。由圖可以推斷，只有當(dāng)量子數(shù)n很大時(shí)，粒子在阱內(nèi)各處的概率才趨于均勻。E3

n

E2208ma2此本征值能量稱(chēng)為零點(diǎn)能，是束縛在無(wú)限深方勢(shì)阱內(nèi)粒子所具有的最低能量。歸一化以后E 1 n22

n2的波函數(shù)為： nE1精彩文檔

sin (xa) |xa，a 2a n1

0 |xa。我們把粒子只能束x0

xa

x0 xa實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案縛在空間的有限區(qū)域，在無(wú)窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的狀態(tài)稱(chēng)為束縛態(tài)?！?.5.2一維有限深方勢(shì)阱求解勢(shì)場(chǎng)U(x)為U(x)0 |x|a/2的薛定諤方程。討論EUU0|x|a/2

的情況：在|x|a/2區(qū)，相應(yīng)的薛定諤方程是

ddx2

k'20，k' E)20

在x時(shí)，有界的解是：(x)Aek'x xa/2，(x)Bek'x xa/2在|xa/2區(qū)，薛定諤d2方程是：

dx

k0，k 2mE/2其解為 A'sinkxB'coskx在|xa/2區(qū)，取(x)coskx，解取有偶宇稱(chēng)的情況利用xa/2處波函數(shù)對(duì)數(shù)微商的連續(xù)條件都可得 ktgkak'引入2ka,

k'a可將（2.5.3）是改寫(xiě)為tg2 2另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得2

a2

(k

k'2)

mUa204 22聯(lián)立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出,，再由（2.5.4）可給出能譜。在|xa/2(x)sinkx，解取有奇宇稱(chēng)的情況同樣，利用波函數(shù)對(duì)數(shù)微商在xa/2連續(xù)條件得：ctg同樣，聯(lián)立（2.5.6）--（2.5.7）式，解出,，再由（2.5.4）可給出能譜。（2.5.5）--（2.5.7）都是超越方程，可用圖解法求出能譜。在平面中分別就與式作相應(yīng)的曲線，曲線的交點(diǎn)表示具有偶宇

相應(yīng)的能譜。如上圖。由以上圖可見(jiàn)，對(duì)于偶宇稱(chēng)態(tài)，由于曲線tg經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，無(wú)論

a2多么小，兩條曲線總有交點(diǎn)，這意味著至少有一個(gè)束縛態(tài)，且相應(yīng)的宇稱(chēng)為0tg tg偶。2精彩文檔1 224實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3ctg211 /2 2 3 4mUa2 2 22

2

0 Ua222 4 0 2m時(shí)，曲線才有交點(diǎn)，才出現(xiàn)奇宇稱(chēng)態(tài)解。顯然，一維無(wú)限深勢(shì)阱的結(jié)果可作為一維方勢(shì)阱n22h2的特例得出。當(dāng)U0公式。

時(shí)，可得En

這正是阱寬為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱的能譜8ma2§2.6 一維方勢(shì)壘前面討論了束縛態(tài)，這一節(jié)我們討論散射態(tài)首先討論一維方勢(shì)壘問(wèn)題。0 x0,xaU(x){U0

0xa

E的粒子從勢(shì)壘的左方向右方運(yùn)動(dòng)，下面分別就EU EU來(lái)討論。0 0EU 的情形0此時(shí)，(x)滿足的薛定諤方程為精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔精彩文檔d2l

2m

0x0,dx2 2 ld2m

2m

(EU

00xadx2 2 0 md2r

2m

0xadx2 2 r2mE 2m為方便起見(jiàn)，令k2

,k

(E

)方程可改為：d

1 2 2 2 0ldx2d

k1

0x0,mk00xa

(x)AeikA'eikxdx2dr

2 mkxa

l 1 1dx2

1 r (x)Beikm

xB'eik2x1 (x)CeikxC'eikx1r 1 1利用在xax0處波函數(shù)連續(xù)性和波函數(shù)微商連續(xù)性條件ABB'kAk1

A'k2

BkB'2BeikaB'eikaCeika2 2 1kBeika k22

B'eikaCk212

eika1

)2i(k2k2)sinka)ACA

1 2 2 A(kk1 2

)2eika(kk21 2

2eika24kkC 1

eikaA1A)2))(kk)1 2

2eik2

(k1

k 2eika22k由概率流密度公式可得入射波的概率流密度為J

1|A|2m1J k1

|C|2J

k 1|A'|2反射系數(shù)為：T m R mJ |A'|2 (k2k2)2sin2kaR R 1 2

2 透射系數(shù)為：J |A|2 (k2k2)2sin2ka4k2k2 1 2

2 1 2J |C|2 4k2k2T T

2 由上兩式可見(jiàn)，一般情況下，透射系數(shù)J |A|2 (k2k2)2sin2ka4k2k2 1 2

2 1 2T1R01壘高度，仍有部分被反射回來(lái)。這正是微觀粒子具有波動(dòng)性的體現(xiàn)。由第二式可見(jiàn)，一般情況下透射系數(shù)T1，當(dāng)kan的特定情況下，其透射系數(shù)T1，這種情形下的2透射現(xiàn)象叫做共振透射。EU的情形0此時(shí)，k2

為虛數(shù)。但若令k2

ik3

，則k3

2m(U2

E系數(shù)關(guān)系變?yōu)?/p>

(k2k2)shkaA1 3 3A(k1

k2)2shk3

a2ikk1

chka3 31C 1

eia3

A 反射系數(shù)和透射系數(shù)為：(k1

k2)2shk3

a2ikk1

chka3 3J |A'|2 (k2k2)2sh2kaR R 1 3 3J |A|2 (k2k2)2sh2ka4k2k2J |C|2

1 3 2 1 34k2k2T T

1 3 由此可見(jiàn)，反射系數(shù) R0和透射系數(shù)J |A|2 (k2k2)2sh2ka4k2k2 1

3 1 3T11子仍有一部分透射過(guò)去。這種粒子在其能量E小于勢(shì)壘高度U0時(shí)，仍然會(huì)有部分粒子穿過(guò)勢(shì)壘的現(xiàn)象叫隧道效應(yīng)，又叫隧穿效應(yīng)隧道效應(yīng)的應(yīng)用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電子隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺(tái)階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學(xué)和生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價(jià)值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應(yīng)的半導(dǎo)體器件，也是隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。由于隧道效應(yīng)而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負(fù)陽(yáng)區(qū)，因而隧道二級(jí)管具有高頻、低噪聲的特點(diǎn)。隧道二級(jí)管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開(kāi)關(guān)電路中的重要器件。§2.7一維諧振子H

2 d2 1mw2x2滿足的定態(tài)定諤方程為：2d1

2mdx2 2

mw 2E mw2xE為方便求解，引入系數(shù)：x, ,2mdx2 2

d2

w則方程可改寫(xiě)為： (20d2這是一個(gè)變系數(shù)的二階常微分方程，當(dāng)2，上式中的可略去。從而，d得到上式的漸進(jìn)方程 2 0d2其解Ae2/2就是原方程的解，又由于波函數(shù)在時(shí)的有限性條件，得Ae2/2A視為的某一特定函數(shù)H()，假設(shè)方程的解為 H()e2/2H(在有限時(shí)應(yīng)該有限，在時(shí)它的行為也必須保證波函數(shù)有限。代回薛定諤H(

d2d2d

(1)H0對(duì)H)作泰勒展開(kāi) H)v0

avv可由av(vv22av

vv1(

v0vv得 av2

v v 2v1 a(v2) v當(dāng)v時(shí)，H()的漸進(jìn)行為是

av2

2a vv與e2的漸進(jìn)行為相同。若H)為無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí))在 時(shí)將趨向無(wú)窮大。了在時(shí)，波函數(shù)仍有限，H()必須斷為多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻鸋()是多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，它趨于無(wú)窮的行為永遠(yuǎn)比e2/2趨于零慢，從而保證)在是有限。由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的條件為 12n,n此時(shí)，有d2H dHnn2nH 0nd2 d n這是厄米方程，其解為厄米多項(xiàng)式。厄米多項(xiàng)式有三種重要表示：1.級(jí)數(shù)表示：n[2] (1)kH () (2)n2kn k!(n2k)!k0n n n n1式中[ ] ,n為偶數(shù)時(shí); [ ]2 2 2 2

,n為奇數(shù)。積分表示：Hn

()2n

it)net3.

dnH ( )(1)ne2n d

e2厄米多項(xiàng)式具有如下性質(zhì)：實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案遞推關(guān)系H

n

()1H2

n1

()

n1

(dHnd

2nH

n1

()正交歸一性：e2H

()Hn'

()d2n

nn'

完備性：f)n0

cH()n ncn

12n

e2f()H

()d1由式（2.7.1）即可得能量本征值E為：En

(n )w,n2n

(x)Nn

12x2e2e

H(x)n

式中歸一化常數(shù)N 為：nN n 2n

1E0

w叫零點(diǎn)能。經(jīng)典與量子的比較2按經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論一維諧振子的能量如圖諧振子只能處于xA|的范圍內(nèi),xA| 的區(qū)U(x)域則是經(jīng)典禁區(qū)。而在量子力學(xué)中，由于隧道效應(yīng)，粒子可以到達(dá)經(jīng)典進(jìn)取，也就是說(shuō)在所謂經(jīng)典禁區(qū)內(nèi)發(fā)x0處振子的速度最大停留時(shí)間最短，在xAx0處粒子出現(xiàn)的概率最小，而在xA處粒子出現(xiàn)的概率最大。而實(shí)際情況如何呢？由n2 時(shí)的波函數(shù)及概率密度的圖： N可以看出，在量子數(shù)n 較小的時(shí)候，粒子位置的概率密度的分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同可以推斷，隨著量子數(shù)n的增大，概率密度的平均值將越來(lái)越接近經(jīng)典結(jié)論。0n0xA 0 A

1n1 nx x2

n220n0

1n1x x精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔精彩文檔§2.8一維周期場(chǎng)設(shè)空間周期為labU(x的周期性條件：U(xnl)U(xn為任意整數(shù)。則在晶格周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程為

2dU(x)E(x)2mdx2顯然，(x),(xl),,(xnlE，從(xl)c(x),(x2l)c(x),,(xnl)c(x)其中c為一常數(shù)。由波函數(shù)的有界性，當(dāng)n時(shí)，若c為實(shí)數(shù)，必使(xnl)。所以，c 必為復(fù)相因子，令ce則(xl)ei(x), *(xl)ei*(x),|(xl)|2|(x)|2,所以，粒子在空間呈現(xiàn)的幾率也是周期性的。在某一個(gè)周期bxa內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程為d

2m(E

0, bx0dx2 2 0ddx2

2mE0xa2下面就EU 和EU兩種情況分別討論：1.EU 的情況0 0 0令

2mE,

2

2m(EU)0 ,2 2則方程的解為：(x)AeixBeix bx0(x)CeixDeix 0xa同理下一個(gè)周期axal中的解為：(x)ei(Aei(xl)Bei(xl)) axl(x)ei(Cei(xl)Dei(xl)) lxal由在xa處的連續(xù)性條件 Ceia

Deiaei(AeibBeib)(CeiaDeia)ei(AeibBeib)在x0處的連續(xù)性條件 ABCD,(AB)(CD)ABCD0稍加整理，有：ABCD0ei(b)Aei(b)BeiaCeiaD0ei(b)Aei(b)BiaCeiaD0BCD具有非零解的條件是其系數(shù)行111111ei(b)ei(b)eiaeiaei(b)ei(b)eiaeia展開(kāi)并整理，再除以4得 1ei(2cosacosbsinasinbsinasinb)ei20所以ei(eie

2cosacosb

222

sinasinb)0于是coscosacosb22sinasinb2上式為一超越方程，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只討論2m只討論EU2m 2m E(EU)2 0

1的極限情形，此時(shí)，有2

(2EU),2 0實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案22 2m 2 2EU (2EU) 02則：

0 4m E(EU0

) 2 E(EU0

同時(shí)，此時(shí)有：E2 E(EU 0

1 E 12 EU0b 2m(EU2

)b1， cosbsinbb,所以，coscosa1 E

bsinacosaab

E sina由于

2m E(EU2

EU0)

2 EU 0則coscosa

abmEsina

cosarsinaabm

2 這里r2

E, 1cos1只有當(dāng)cosarsina的值在1與1sia

值才是允許的能量取值。這樣cos a a一來(lái)，其能量被分割成一段一段的帶狀結(jié)構(gòu)。在帶內(nèi)能量可連續(xù)取值，叫做能帶，而在能1帶之間不能取值，叫做禁帶。2.EU在EU0

的情況0時(shí)，為虛數(shù)，令i1

02

2m(U2

aE)利用sinixisinhx, cosixcoshx,有 coscosh

22isinasinh允帶2i此時(shí)取EU0

的