信號(hào)與系統(tǒng)2009年9月3第三章

§3-7系統(tǒng)的頻域分析LTIf(t)yf(t)用頻域分析法求yf(t)=?f(t)=ejt由時(shí)域分析知，yf(t)=f(t)h(t)=ejt

h(t)=h(t)ejt——系統(tǒng)頻域函數(shù)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)函數(shù)。所以yf(t)=ejtH(j)LTIejt

ejtH(j)f(t)為一般非周期信號(hào)LTILTIf(t)yf(t)=F-1[H(j)F(j)]用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟:(1)求輸入信號(hào)f(t)的傅立葉變換F(j)(2)求系統(tǒng)函數(shù)H(j)(3)求響應(yīng)yf(t)的傅立葉變換Yf(j)=H(j)F(j)(4)求Yf(j)的傅立葉反變換yf(t)例3.7-1已知某線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)輸入f(t)=e-t(t)

用頻域分析法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解:輸入f(t)的付氏變換Yf(j)=H(j)F(j)求系統(tǒng)頻域函數(shù)因?yàn)閅f(j)=H(j)F(j)例3.7-2已知描述系統(tǒng)的微分方程為:

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)

求系統(tǒng)函數(shù)H(j)解:y”(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)

兩邊取付氏變換，由時(shí)域微分性可得:[(j)2+3(j)+2]Y(j)=F(j)例3.7-3電路如圖，求以i1(t)為響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)H(j)RLi1(t)iL(t)is(t)解:列以i1(t)為變量的微分方程

i1(t)+iL(t)=is(t)…..(1)(4)式代入(3)式整理有:…..(2)(1)式兩邊求導(dǎo):i1’(t)+iL’(t)=is’(t)…..(3)由(2)式得:…..(4)兩邊取付氏變換:i(t)+_u(t)Ru(t)=Ri(t)U(jw)=R*I(jw)I(jw)+_U(jw)R電感i(t)+_u(t)L+_jwLu(t)=Li’(t)U(jw)=jwL*I(jw)電容i(t)+_u(t)C+_i(t)=Cu’(t)

I(jw)

=Cjw*U(jw)U(jw)=1/Cjw*I(jw)

U(jw)I(jw)I(jw)U(jw)1/Cjw時(shí)域電路模型頻域電路模型元件的頻域模型電阻RLi1(t)iL(t)is(t)RjwLIs(jw)比較以上的結(jié)果可知：可以用電路頻域模型(相量法)求系統(tǒng)函數(shù)H(j)I1(jw)IL(jw)系統(tǒng)頻率特性H(j)=|H(j)|ej()頻域分析法:利用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)問題的方法.例：試求右圖中以u(píng)R(t)為響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)H(j)并畫出系統(tǒng)頻率特性。

1H1+uR(t)-+u(t)-j

1+-+-.U.UR解:用相量法求系統(tǒng)函數(shù)()=-arctg()=-arctg1H1+uR(t)-+u(t)-01|H(j)|低通濾波器0900()

-900幅頻特性|H(j)|是偶函數(shù)相頻特性()是奇函數(shù)

例3.7-4電路如圖，激勵(lì)f(t)=(3e-2t-2)(t)

用頻域分析法求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)解：1、求F(j)+-f(t)11F+uC(t)-2、求H(j)

用相量法3、求UC(j)舉例所以零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)=[5e-t-3e-2t-2](t)例3.7-5已知系統(tǒng)的輸入f(t)、幅頻特性|H(j)|如圖，相頻特性()=0

求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)H(j)f(t)yf(t)f(t)1-2-1012t|H(j)|2-4-2024解:1、求f(t)的指數(shù)型付氏系數(shù)周期T=1，基波角頻率1=2/T=2rad/sn0時(shí)，n=0時(shí)n0時(shí)2、求f(t)的頻譜函數(shù)F(j)基波角頻率1=2rad/s3、求響應(yīng)的頻譜函數(shù)Y(j)Y(j)=H(j)F(j)|H(j)|2-4-2024當(dāng)4>>-4時(shí)

F(j)=-j(+2)+()

+j(-2)4、求y(t)§3-8無失真?zhèn)鬏敆l件及理想的低通濾波器失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，稱信號(hào)在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。

從時(shí)域來講，要求輸出波形與輸入波形完全相同，而幅度大小可以不同，時(shí)間前后可有所差異。LTIf(t)yf(t)f(t)0tyf(t)0t0t無失真?zhèn)鬏攜f(t)=Kf(t-t0)幅度可以比例增加可以有時(shí)移波形形狀不變無失真?zhèn)鬏敆l件yf(t)=Kf(t-t0)兩邊取付氏變換，并利用時(shí)移性，有:因?yàn)閅(j)=H(j)F(j)所以無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)函數(shù)為:0K|H(j)|0()-t00K|H(j)|0()-t0無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)在頻域應(yīng)滿足兩個(gè)條件：系統(tǒng)的幅頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為常數(shù)，即系統(tǒng)的有效頻帶寬為無窮大。系統(tǒng)的相頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比。即保證響應(yīng)中的各頻率分量相對(duì)于激勵(lì)信號(hào)中各對(duì)應(yīng)的分量滯后同樣的時(shí)間。例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時(shí)間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應(yīng)有付氏反變換有:h(t)=K(t-t0)上式表明:一個(gè)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)仍為一個(gè)沖激函數(shù)，只是強(qiáng)度為K，位置在t=t0處信號(hào)失真的類型非線性失真一個(gè)系統(tǒng)中，若輸出的響應(yīng)中出現(xiàn)有輸入激勵(lì)信號(hào)所沒有的新的頻率分量，則稱非線性失真。線性失真在線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的失真。1.幅度失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，引起幅度失真。2.相位失真：系統(tǒng)對(duì)各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，

造成各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置變化，引起相位失真。例3.7-6如圖所示電路，x(t)通過電路，響應(yīng)為y(t)，為得到無失真?zhèn)鬏?，元件參?shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：用相量法求系統(tǒng)函數(shù)C1+C2R2-x(t)R1y(t)+-X(j)Y(j)+R2-R1+-X(j)Y(j)+R2-R1+-若要無失真?zhèn)鬏敚瑋H(j)|為常數(shù)，而()為過原點(diǎn)的直線，通過觀察有:當(dāng)即R1C1=R2C2無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想的低通濾波器定義：一個(gè)理想的低通濾波器允許低于截止頻率c的所有頻率分量無失真地通過，而對(duì)高于c的所有頻率分量能完全抑制。頻率特性td為通過理想低通濾波器后的響應(yīng)相對(duì)于激勵(lì)的延遲時(shí)間k|H(j)|-c0c()-c0c-td截止角頻率:cw理想的低通濾波器的沖激響應(yīng)0t(1)(t)0tdth(t)2/ck