山重水復(fù)疑無路模型指引把路找

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幾何問題變化多端，往往使人困惑難解。這時需要探索一個“支點”，運用平面幾何的相關(guān)學(xué)識作為推理過渡的“橋梁”。通過適當?shù)耐评?，從已知條件順遂過渡到待求結(jié)果。對于一般的平面幾何問題從已知或待求的有關(guān)點、線、圖的某些特殊關(guān)系啟程，只要找到或構(gòu)造出相應(yīng)的根本模型，問題都能順遂得到解決。下面以中點模型以及角平分線模型為例來理解上訴所說內(nèi)容。

例1，如圖，AD為△ABC的中線，BE交AC于E，

交AD于F且AE=EF.求證AC=BF

分析：拿到這道題后，條件簡樸，由AD為△ABC的中線，可以得到BD=CD,由AE=EF可以推得∠EAF=∠EFA=∠BFD,再往前走就察覺對比困難，條件分散，不能集中到一起；從圖中鮮明看出：要證的結(jié)論AC、EF兩條線段也不在一對能夠全等的三角形中。這時覺得有勁使不上，心有余而力缺乏，往往使人覺得困惑難解。這時就需要我們探索一個“支點”。已知當中有一個特殊的點――中點D，我們可以選取BD或CD所在的任意一個三角形為根基，構(gòu)造出以點D為對稱中心的一對中心對稱圖形。

證明：延長AD到H，使DH＝AD，連結(jié)BH，

∵AD是△ABC的中線

∴BD＝DC

又∵∠BDH＝∠CDA，DH＝AD

∴△BDH≌△CDA

∴BH＝CA，∠H＝∠DAC

∴AE＝EF

∴∠AFE＝∠BFD

又AFE＝∠BFD

∴∠H＝∠BFD

∴BH＝BF

∴BF＝AC

小結(jié)：題中涉及單個中點，當遇到困難打不開思路時，可以選擇中點作為“支點”，利用中點的中心對稱性構(gòu)造全等三角形來解答。

例2，如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．

分析：這一題同上一題一樣，條件簡樸，好多同學(xué)面對此題一籌莫展。留心查看可以選取角平分線AD作為“支點”，以∠1或∠2所在的三角形為根基，利用角平分線的對稱性來構(gòu)造全等三角形。在AB上截取AE＝AC，構(gòu)造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只要證DE＝BE問題便可以解決．

證明：在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE

∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD

∴△AED≌△ACD

∴DE＝DC，∠AED＝∠C

∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B

∴2∠B＝∠B＋∠EDB

即∠B＝∠EDB

∴EB＝ED，即ED

∴AB＝AC＋DC

小結(jié)：當題中涉及角平分線時，可選擇角平分線作為“支點”，利用角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形作為過渡。

在幾何問題中的大片面問題都需要同時探索或構(gòu)造幾個一致或不同的根本模型，把他們放在推理過程的適當位置，通過他們的特殊性質(zhì)與已知條件的規(guī)律傳遞才能求解。應(yīng)用模型的思維方式我們可以把眾多的平面幾何問題按探索到的不同“支點”得到的根本模型舉行歸類，這樣可以取得化多為少，思路明顯自然的效果。問題的已知條件或待證結(jié)論中給出的某些點、線、圖所具有的特殊關(guān)系，是我們構(gòu)造根本幾何模型的根基。模型思維方法在這里有“章”可循。在有些問題中，從不同的條件或結(jié)論入手，從不同的特殊點、線、圖啟程，可以構(gòu)造同一種根本幾何模型求解而且都是可行的，也可以