【湘教版數(shù)學(xué)】八年級(jí)上冊(cè)22命題與證明(共55張)

【湘教版數(shù)學(xué)】八年級(jí)上冊(cè)22命題與證明(共55張)第一頁(yè)，共56頁(yè)。命題與證明本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.2第二頁(yè)，共56頁(yè)。前面我們學(xué)習(xí)了許多有關(guān)三角形的概念（如三角形、等腰三角形、等邊三角形以及三角形的高線、中線、角平分線等）第三頁(yè)，共56頁(yè)。如：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角叫作三角形的外角.不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫作三角形；ABCD第四頁(yè)，共56頁(yè)。像這樣，對(duì)一個(gè)概念的含義加以描述說明或作出明確規(guī)定的語(yǔ)句叫作這個(gè)概念的定義.例如：“把數(shù)與表示數(shù)的字母用運(yùn)算符號(hào)連接而成的式子叫作代數(shù)式”是“代數(shù)式”的定義.“同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫作平行線”是“平行線”的定義.第五頁(yè)，共56頁(yè)。說出下列概念的定義：（1）方程；說一說在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.我們把含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）三角形的角平分線.第六頁(yè)，共56頁(yè)。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常要對(duì)一件事情作出判斷.數(shù)學(xué)中同樣有許多問題需要我們作出判斷.第七頁(yè)，共56頁(yè)。下列敘述事情的語(yǔ)句中，哪些是對(duì)事情作出了判斷？議一議（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？第八頁(yè)，共56頁(yè)。一般地，對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句（陳述句）叫作命題.

例如，上述語(yǔ)句（1），（2），（3）都是命題；語(yǔ)句（4），（5）沒有對(duì)事情作出判斷，就不是命題.

（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？第九頁(yè)，共56頁(yè)。觀察下列命題的表述形式有什么共同點(diǎn)？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

它們的表述形式都是“如果……，那么……”.第十頁(yè)，共56頁(yè)。命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結(jié)論.例如，對(duì)于上述命題（2），“兩個(gè)角的和等于90°”就是條件，“這兩個(gè)角互為余角”就是結(jié)論.（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.第十一頁(yè)，共56頁(yè)。有時(shí)為了敘述的簡(jiǎn)便，命題也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果”、“那么”.

如：“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”可以簡(jiǎn)寫成“對(duì)頂角相等”；“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”

可以簡(jiǎn)寫成“同角的余角相等”.第十二頁(yè)，共56頁(yè)。做一做（1）指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……，那么……”的形式：命題條件結(jié)論①能被2整除的數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)如果一個(gè)數(shù)能被2整除那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)那么它們的同位角相等如果兩條直線平行那么這兩條直線平行如果兩個(gè)同位角相等第十三頁(yè)，共56頁(yè)。（2）上述命題③與④的條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④的條件與結(jié)論互換了位置.第十四頁(yè)，共56頁(yè)。對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)叫作逆命題.

例如，上述命題③與④就是互逆命題.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.第十五頁(yè)，共56頁(yè)。從上我們可以看出，只要將一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換，就可得到它的逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題.第十六頁(yè)，共56頁(yè)。練習(xí)1.下列語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個(gè)三角形的三條中線都相交于一點(diǎn)嗎？（1）如果x=3，求的值；不是命題是命題不是命題是命題第十七頁(yè)，共56頁(yè)。2.將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）個(gè)位數(shù)字是5的整數(shù)一定能被5整除；答：如果兩條直線相交，那么這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn).答：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5，那么這個(gè)數(shù)一定能被5整除.第十八頁(yè)，共56頁(yè)。（4）三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0；答：如果兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和等于0.答：如果某角是三角形的外角，那么這個(gè)角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.第十九頁(yè)，共56頁(yè)。3.寫出下列命題的逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值也相等；（2）如果m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.答：絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等答：如果m是有理數(shù)，那么它也是整數(shù)答：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行答：等腰三角形的兩邊相等第二十頁(yè)，共56頁(yè)。議一議下列命題中，哪些正確，哪些錯(cuò)誤？并說一說你的理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；（4）同角的補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確第二十一頁(yè)，共56頁(yè)。上面四個(gè)命題中，命題（4）是正確的，命題（1），（2），（3）都是錯(cuò)誤的.我們把正確的命題稱為真命題，把錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；

（4）同角的補(bǔ)角相等.第二十二頁(yè)，共56頁(yè)。要判斷一個(gè)命題是真命題，常常要從命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出其結(jié)論成立，從而判斷這個(gè)命題為真命題，這個(gè)過程叫證明.

例如，命題“同角的補(bǔ)角相等”通過推理可以判斷出它是真命題.

由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代換）.于是，我們得出：同角（或等角）的補(bǔ)角相等.第二十三頁(yè)，共56頁(yè)。要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，從而就可判斷這個(gè)命題為假命題.例如，要判斷命題“如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)”是一個(gè)假命題，我們舉出“0.1是有理數(shù)，但是0.1不是整數(shù)”這一例子即可判斷該命題是假命題.我們通常把這種方法稱為“舉反例”.第二十四頁(yè)，共56頁(yè)。判斷下列命題為真命題的依據(jù)是什么？說一說（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分別是根據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形的定義作出的判斷.第二十五頁(yè)，共56頁(yè)。從上可以看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真.事實(shí)上，對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.第二十六頁(yè)，共56頁(yè)。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330—前275年）對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)的總結(jié)，他挑選了一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.第二十七頁(yè)，共56頁(yè)。本書中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).例如，兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短等.人們可以用定義和基本事實(shí)作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假.例如在七年級(jí)下冊(cè)，我們從基本事實(shí)出發(fā)證明了一些有關(guān)平行線的結(jié)論.第二十八頁(yè)，共56頁(yè)。基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.第二十九頁(yè)，共56頁(yè)。我們把經(jīng)過證明為真的命題叫作定理.例如，“三角形的內(nèi)角和等于180°”稱為“三角形內(nèi)角和定理”.第三十頁(yè)，共56頁(yè)。定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，由某定理直接得出的真命題叫作這個(gè)定理的推論.

例如，“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”稱為“三角形內(nèi)角和定理的推論”，也可稱為“三角形外角定理”.第三十一頁(yè)，共56頁(yè)。當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它的逆命題不一定是真命題.

例如，“如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.第三十二頁(yè)，共56頁(yè)。如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理.我們前面學(xué)過的定理中就有互逆的定理.例如，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是互逆的定理.第三十三頁(yè)，共56頁(yè)。練習(xí)1.下列命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？請(qǐng)說說你的理由.（1）絕對(duì)值最小的數(shù)是0；答：真命題（2）相等的角是對(duì)頂角；（3）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；（4）在同一平面內(nèi)，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命題答：假命題答：真命題第三十四頁(yè)，共56頁(yè)。2.舉反例說明下列命題是假命題：（1）兩個(gè)銳角的和是鈍角；（2）如果數(shù)a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.答：直角三角形的兩個(gè)銳角和不是鈍角答：-1和-3的積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截，它們的同位角不相等第三十五頁(yè)，共56頁(yè)。3.試寫出兩個(gè)命題，要求它們不僅是互逆命題，而且都是真命題.答：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。第三十六頁(yè)，共56頁(yè)。觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，而且人們可以從中猜測(cè)發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.第三十七頁(yè)，共56頁(yè)。采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)“三角形的外角和”等于多少度.做一做第三十八頁(yè)，共56頁(yè)。從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360°，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得到360°.第三十九頁(yè)，共56頁(yè)。另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為360°.第四十頁(yè)，共56頁(yè)。此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題.要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.第四十一頁(yè)，共56頁(yè)。數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.證明的每一步都必須要有根據(jù).第四十二頁(yè)，共56頁(yè)。證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋第四十三頁(yè)，共56頁(yè)。在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下步驟進(jìn)行：已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.第四十四頁(yè)，共56頁(yè)。證明如圖，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第四十五頁(yè)，共56頁(yè)。證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形通過分析，找出證明的途徑第四十六頁(yè)，共56頁(yè)。例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例第四十七頁(yè)，共56頁(yè)。證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）第四十八頁(yè)，共56頁(yè)。例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來證明.第四十九頁(yè)，共56頁(yè)。證明假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個(gè)角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.第五十頁(yè)，共56頁(yè)。像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.第五十一頁(yè)，共56頁(yè)。練習(xí)1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D