力偶系簡化與平衡

力偶系簡化與平衡第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日§2-3力矩、力偶的概念及其性質(zhì)力對物體的運動效應(yīng)

移動效應(yīng)--取決于力的大小、方向

轉(zhuǎn)動效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向一、力對點的矩（力矩）力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對該點之矩。

第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)矩心力臂例：扳手?jǐn)Q螺母平面問題中：代數(shù)量大小:mo(F)＝±Fd

mo(F)＝±2ΔABC符號規(guī)定：-+

單位:牛頓?米（N?m）或kN?m。(1)表示第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日(2)力矩的性質(zhì)：力對點之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩隨矩心的位置變化而變化。力對任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變，再次說明力是滑移矢量。力的大小等于零或其作用線通過矩心時，力矩等于零。

力臂mo(F)＝±Fd

第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)(3)合力矩定理

平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點的矩，等于所有各分力對同一點的矩的代數(shù)和。 即：第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日根據(jù)合力投影定理YR＝Y(jié)1＋Y2＋…＋Yn兩端乘以O(shè)A得YROA＝Y(jié)1OA＋Y2OA＋…＋YnOA將上式代入得mo(FR)＝mo(F1)＋mo(F2)＋…＋mo(Fn)

即mo(FR)＝Σmo(F)證明：設(shè)剛體上的A點作用著一平面匯交力系,力系的合力Fn。在力系所在平面內(nèi)任選一點O，過O作oy軸，且垂直于OA。第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日應(yīng)用：當(dāng)力的力臂不易求出時，常將力分解為兩個容易確定力臂的分力（通常分解為正交力），然后應(yīng)用合力矩定理計算力矩。ABDCabFα[例1]：求圖中力F對A、B、C、D各點的力矩。合力矩定理：建立了合力對點之矩與分力對同一點之矩的關(guān)系。這個定理也適用于有合力的其它力系。第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日[例2]

已知：如圖F、Q、l,求：和

靜力學(xué)解：①用力對點的矩

②應(yīng)用合力矩定理

第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日2.空間問題中：矢量（大小、轉(zhuǎn)動平面、旋轉(zhuǎn)方向)

轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：①轉(zhuǎn)動大小:力的大小F和力臂h的乘積Fh②轉(zhuǎn)動平面：由右手定則確定；③轉(zhuǎn)動方向。上述要素可以用一個矢量來表示，即力對點的矩矢①矢量表示式：矢量積的模：即：矢量的長度表示力矩的大小,矢量的指向與力矩的轉(zhuǎn)向成右手系,矢量的方位于力矩作用平面垂直.定位矢量,與作用位置有關(guān).第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日其中是矩心O到力作用點的矢徑，x、y和z是力作用點的三個坐標(biāo)，F(xiàn)x、Fy和Fz是在三個坐標(biāo)軸上的投影。力對點O的矩矢為:②解析表示式:第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日力對點的矩矢在坐標(biāo)軸的投影式：(3)合力矩定理為力系的合力，則有

即力系合力對任一點的矩矢，等于諸力對同一點的矩矢的矢量和，稱之為合力矩定理。第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)稱為力對軸之矩,記為:

mz(F)=±Fx·OA=±Fxy·hxzFzFxyFyFFxyoAhB顯然:力與軸平行,無矩力與軸相交,無矩即:力與軸位于同一平面內(nèi)時,無矩合力矩定理:

mz(R)=Σmz(Fi)二、力對軸的矩（代數(shù)量）12第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)力對//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。13第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日zyxo力對軸之矩的解析式:

(x,y,z).FXYZzyxmx(F)=yZ-zYmY(F)=zX-xZmz(F)=xY-yX力對點的矩矢與力對通過該點的軸之矩間的關(guān)系力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影等于力對該軸之矩.14第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日練習(xí)：計算圖中力F對O點的矩和力對軸的矩llFFlFα

aAzyxoB300T

GZAXAXOYOZObABCD123456PSSSSSS15第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)三、力偶、力偶矩1.力偶：等大、反向、不共線的一對平行力叫力偶。

用符號(F,F′)表示

力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶作用面的方位、力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向三個要素．用力偶矩矢M表示．力偶矩是力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)力偶臂：兩個力作用線之間的垂直距離

力偶的作用面：兩個力作用線所決定的平面2.力偶矩的表示

（1）平面問題中：代數(shù)量,用m或m(F,F′)表示，m(F，F(xiàn)′)＝±F?d=±2ΔABC

符號規(guī)定：-+

單位:牛頓?米（N?m）或kN?m。dF’FM=FdM=Fd

表示方法：第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日（2）空間問題中：矢量（力偶矩矢M）矢量式：解析式:第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日3.力偶的性質(zhì)性質(zhì)1：力偶不能用一個力來代替，它既不能合成為一個力，也不能與一個力平衡，是一個基本力學(xué)量。力偶只能與力偶平衡．力偶中的兩個力在任一軸上投影的代數(shù)和恒為零。性質(zhì)2：力偶可在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，或平移到另一平行平面，而不改變對剛體的作用效應(yīng)．即力偶是自由矢量．性質(zhì)３：保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶中的力和力臂的大小可以改變，而不會改變對剛體的作用效應(yīng)。第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)§2-4

力偶系的合成與平衡dd合力偶以兩個平面力偶為例：第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)結(jié)論:兩個平面力偶合成結(jié)果是一個力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。

空間力偶系的合成方法：將力偶矩矢看作力，空間力偶系相當(dāng)于空間匯交力系，合成結(jié)果還是一個力偶,其力偶矩矢為各力偶矩矢的矢量和。第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日，其作用效果完全等效根據(jù)力偶矩的定義兩個空間力偶系的合成：第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日結(jié)論：空間兩個力偶合成的結(jié)果為一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶的力偶矩矢的矢量和。推而廣之，可以得到力偶系的合成結(jié)論，即力偶系的合成結(jié)果為一個合力偶，其力偶矩矢為各力偶矩矢的矢量和。矢量式：解析式：第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日在平面問題中：若作用在同一平面內(nèi)有n個力偶，則上式可以簡寫為

M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm即：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1：圖示F1=F1’=150N，F(xiàn)2=F2’=200N，F(xiàn)3=F3’=250N。求合力偶。第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日解：(1)求各個力偶的力偶矩：(2)求合力偶矩：

合力偶轉(zhuǎn)向是逆時針。第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)[例2]

在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?

解:各力偶的合力偶距為根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日例3：四連桿機構(gòu)OABO1在圖示位置平衡，已知A=40cm，O1B=60cm，作用在曲柄OA上的力偶矩大小為m1=1N.m，不計桿重；求力偶矩m2的大小及連桿AB所受的力。

第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日解：(1)研究OA桿，畫受力圖：

列平衡方程：

(2)研究AB（二力桿），受力如圖：

可知：

(3)研究O1B桿，受力分析，畫受力圖：第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日靜力學(xué)思考題：1.圖中的圓輪在圖示作用下平衡。是否說明一個力可以與一個力偶平衡？為什么？MF2.圖示四連桿機構(gòu)在M1=M2的作用下能否平衡，為什么？M1ABCDM2第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日3.圖中