2013數(shù)學(xué)建模周末培訓(xùn)概論

某地區(qū)物價(jià)指數(shù)圖§9.5物價(jià)指數(shù)問(wèn)題怎樣定義和計(jì)算物價(jià)指數(shù)單種商品的情況設(shè)基準(zhǔn)年價(jià)格為P0，目前價(jià)格為P可如下定義物價(jià)指數(shù)：社會(huì)中的商品不可能只有一種。多種商品的問(wèn)題更為復(fù)雜多種商品的情況

假設(shè)有兩種商品，基準(zhǔn)年價(jià)格分別為、，目前價(jià)格分別為P1，P2?？刹捎枚喾N平均方法來(lái)定義：算術(shù)平均值之比：比值的算術(shù)平均值：比值的調(diào)和平均值：

比值的幾何平均值：

假如存在著n種商品，可以相應(yīng)地寫(xiě)出類(lèi)似的公式。

上述方法沒(méi)有區(qū)別不同商品的重要性事實(shí)上各種商品在人們生活中所占地位不盡相同，例如，鋼琴降價(jià)20%和糧食漲價(jià)20%無(wú)法對(duì)消。模型的進(jìn)一步改進(jìn)引入權(quán)系數(shù)對(duì)各種商品的比值進(jìn)行加權(quán)，并允許相對(duì)權(quán)系數(shù)隨時(shí)間變化符號(hào)說(shuō)明記，

，以P0、q0分別表示基準(zhǔn)年n種商品的價(jià)格及相應(yīng)的權(quán)系數(shù)，以P、q分別表示觀察年n種商品的價(jià)格及相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。物價(jià)指數(shù)I(P0,q0,P,q)為的連續(xù)函數(shù)。物價(jià)指數(shù)函數(shù)前面的公式能否取作物價(jià)指數(shù)函數(shù)對(duì)衡量物價(jià)指數(shù)方法的一些具體要求：（1）單調(diào)性（2）權(quán)系數(shù)的不變性（3）齊次性（4）平均性（5）貨幣單位的獨(dú)立性（6）商品單位的獨(dú)立性（7）基準(zhǔn)年的獨(dú)立性（8）物價(jià)指數(shù)不因某種商品的淘汰而失去意義用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言將上述八條性質(zhì)寫(xiě)成公理形式

任一物價(jià)指數(shù)函數(shù)I(P0,q0,P,q)應(yīng)滿足以下要求：(1)若，則(2)=1(3)(4)(5)(6)其中,且λi>0（i=1,…,n）(7)(8)公理（7）的一些說(shuō)明若以1972年為基準(zhǔn)年（物價(jià)指數(shù)取為1），則1989年美國(guó)物價(jià)指數(shù)為1.660，而1980年為1.843，若以1973年為基準(zhǔn)年，則1979年和1980年美國(guó)物價(jià)指數(shù)分別為1.093和1.209。根據(jù)公理（7）的要求，應(yīng)當(dāng)有

,事實(shí)上，此式只近似成立。請(qǐng)大家自行驗(yàn)證前面給出的公式I1－I4是否都能同時(shí)滿足公理系統(tǒng)的(1)－(8)要求一些常用的物價(jià)指數(shù)函數(shù)是否滿足公理系統(tǒng)的要求

此公式是由laspeyres于1871年提出，在將近一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里,被廣泛用于計(jì)算物價(jià)指數(shù)可以用構(gòu)造法證明上式公理（7)不成立

,即不一定成立。

此式是Paasche在1874年提出的，與①不同的是計(jì)算時(shí)采用了現(xiàn)在的權(quán)系數(shù)。容易直接看出公理（2）不成立。

其中ai>0，且此式是平均方式（4）的一種自然推廣。ai的取法和q0、q有關(guān)，實(shí)質(zhì)上是權(quán)系數(shù)的一種變形。該式也不能同時(shí)滿足公理（1）—（8）。令某，則I→0，而若令某，則又有所有較自然地導(dǎo)出的平衡公式均不能滿足公理系統(tǒng)，是否該公理系統(tǒng)有矛盾？定理11.7

不存在同時(shí)滿足公里(2)、(3)、(6)、(7)、(8)的函數(shù)I(Eichhorn，1976)先證明以下兩個(gè)引理：

引理11.1

記，D1、D2為任意兩個(gè)對(duì)角元素為正的對(duì)角矩陣，則有：證明：

引理11.2

記，則有：證明定理11.7：先引入下列矩陣,記對(duì)角線上第j個(gè)元素為λ，其余元素為1的對(duì)角陣證明：

1再記作

則有：

令，則有根據(jù)P的定義，至少存在一個(gè)j，使得與公理（8）矛盾上述公理系統(tǒng)隱含矛盾上述公理間相對(duì)獨(dú)立嗎？定理11.7

滿足公理（4）則必滿足公理（2）。證明：取P=λP0，由公理（4）可知：（）因此：若取λ=1，即得出（2）成立。

一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓硐到y(tǒng)應(yīng)當(dāng)滿足公理間的無(wú)矛盾性和相對(duì)獨(dú)立性

綜上所述，我們可以看到，若采用引入公理系統(tǒng)建立邏輯模型的方法來(lái)討論物價(jià)指數(shù)問(wèn)題，則至今仍存在難于克服的困難。有人曾考慮去掉公理（8），當(dāng)出現(xiàn)Pi=0的情況時(shí)就用降維的公式來(lái)計(jì)算，但這樣