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第八章第七節(jié)一、方向?qū)?shù)

二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作方向?qū)?shù)實質(zhì)上是函數(shù)在一點處沿某一方向的變化率。定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,且有對于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為向角例1.求函數(shù)

在點P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:向量l的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P的切向量為例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)1.定義即稱為函數(shù)f(P)在點P處的梯度記作(gradient),說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義同樣，三元函數(shù)在點處的梯度函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數(shù)f的等值線.則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數(shù)有等值面(等量面)當各偏導數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.3.梯度的基本運算公式三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(數(shù)量函數(shù))場向量場(向量函數(shù))可微函數(shù)梯度場(勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場)注意:任意一個向量場不一定是梯度場.內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為3.關系方向?qū)?shù)存在偏導數(shù)存在??可微梯度在方向l上的投影.曲線1.(1)在點解答提示:函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量2.P73題16P512，6，7作業(yè)指向B(3,－2,2)方向的方

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