函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日一、單調(diào)性的判別法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日證應(yīng)用拉格朗日中值定理，得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日說明：1.此定理只給出了函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)的充分條件，而不是必要條件。2.區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在,不影響區(qū)間的單調(diào)性.只需用導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點來劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號，從而使函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調(diào)。又例例如機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日例2解單調(diào)區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日例3解單調(diào)區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日例4證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日例5證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日例6證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1利用單調(diào)性證：第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明2利用單調(diào)性證第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明3利用中值定理證第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1利用單調(diào)性證列表x0_0+0第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明2利用中值定理證由中值定理知，第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明3利用泰勒公式證第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日二、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日例10解注意到,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日推論：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日例11解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日三、曲線的拐點及其求法1、定義注意:

拐點處的切線必在拐點處穿過曲線。2、拐點的求法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例12解凹的凸的凹的拐點拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日注意:例13解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)f(x)的拐點的步驟：注意：例第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日定理5證明：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日例14解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日四、漸近線定義:1.鉛直漸近線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日例如有鉛直漸近線兩條:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日證明：由漸近線的定義，有要使此時成立，必須機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日注意:例15解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日五、小結(jié)1.單調(diào)性的判別（它是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用）.3.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.單調(diào)性2.單調(diào)區(qū)間的求法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點——拐點;1凹凸性的判定.2拐點的求法.凹凸性及拐點漸近線的求法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日習(xí)題(3-4)P151

3(2)(5);4(2)(3)(4);8(2)(4)(6);9(3);11；12;13;作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日思考題1解答不能斷定.例但機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題1第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日當(dāng)時，當(dāng)時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日思考題2解答例機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題2第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日思考題3解答機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題3第五十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日

;

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日1.求證曲線有位于一直線的三個拐點.證明：備用題機