剛體的角動(dòng)量第次課

剛體的角動(dòng)量第次課1第一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注意：2.在剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的表達(dá)式中，所涉及的三個(gè)物理量都是相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的，所以不用寫成矢量式。3.對(duì)于密度均勻、形狀對(duì)稱、且繞幾何對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的剛體。整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量L必定沿轉(zhuǎn)軸并與角速度的方向相同，故可寫成矢量式1.與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量表達(dá)式對(duì)比2第二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日二、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理將轉(zhuǎn)動(dòng)定理Mz=Ja

寫成下面的形式:實(shí)驗(yàn)表明,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于剛體相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。3第三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日角動(dòng)量定理也可以寫為

Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時(shí)間的乘積。對(duì)上式積分得到角動(dòng)量定理的積分形式

該式表示：角動(dòng)量的增量等于力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的時(shí)間累積效應(yīng)4第四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時(shí),剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變,角速度的大小也同時(shí)改變但兩者的乘積保持不變。恒量如果Mz=0,則三、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律5第五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注意：該定律的應(yīng)用條件是:剛體或剛體組必須滿足所受外力的合力矩為零；2.角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度必須相對(duì)同一軸；3.若將該定律應(yīng)用于剛體組，剛體組中各個(gè)剛體之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但是它們必須是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng).6第六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降模缛耸殖謫♀彽霓D(zhuǎn)動(dòng),芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員作各種快速旋轉(zhuǎn)動(dòng)作,都是利用了對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律。7第七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日花樣滑冰中常見的例子花樣滑冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂大小Jw8第八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日LwJ萬(wàn)向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒LwJ恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wJ其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）Jw9第九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

例1:一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，一端有一固定的光滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。

解:棒下擺為加速過程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。重力作用在棒的重心,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：l/2xO）P10第十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日棒處于θ角時(shí)的角加速度為：由角加速度的定義重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。因?yàn)榘衾@軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：l/2xO）P11第十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日作如下變換將上式兩邊積分角速度為12第十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日例題2

一個(gè)質(zhì)量為100kg的圓盤狀平臺(tái)，以1.05rads-1的角速度繞通過中心的豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，在平臺(tái)的邊緣站著一個(gè)質(zhì)量為60kg的人。問當(dāng)人從平臺(tái)邊緣走到盤的中心時(shí)，平臺(tái)的轉(zhuǎn)速是多少？當(dāng)人站在平臺(tái)的邊緣時(shí)，剛體組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：解：因?yàn)閹说钠脚_(tái)是自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，即不受外力矩的作用。若把人和平臺(tái)看成一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)滿足角動(dòng)量守恒定律，則13第十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)人站在平臺(tái)中心時(shí)，剛體組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平臺(tái)本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即將J1和J2代入角動(dòng)量守恒定律14第十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日公式對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt勻速直線運(yùn)動(dòng)srvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)qwt勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at15第十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日剛體的平動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能牛頓定律功力矩的功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理16第十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日剛體的平動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)沖量沖量矩Mz

dt動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定律恒量機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律17第十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日一、固體在外力作用下的一般情形形變固體受外力作用所發(fā)生的形狀變化，分為彈性形變和塑性形變。

應(yīng)力固體橫截面單位面積上內(nèi)力的改變量。應(yīng)力是固體在單位橫截面上產(chǎn)生的彈性力。應(yīng)變固體在外力作用下所發(fā)生的相對(duì)形變量。固體受力作用而被拉伸的整個(gè)過程如圖所示。BCEPσPσEσBoo′σε§5-4固體的形變和彈性18第十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日曲線OP為直線，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，點(diǎn)P的應(yīng)力是滿足比例關(guān)系的最大應(yīng)力，稱比例極限（

P）。點(diǎn)E的應(yīng)力E是發(fā)生彈性形變的最大應(yīng)力，稱彈性極限。當(dāng)應(yīng)力

>E時(shí)，發(fā)生塑性形變。點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為C，若把外力撤除，固體的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系沿OC變化，留下一定的剩余形變OO。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的應(yīng)力

B時(shí)，固體就斷裂，

B稱強(qiáng)度極限。BCEPσPσEσBoo′σε19第十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限十分接近，因而塑性形變很小，稱為脆體；有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限相距較遠(yuǎn)，可以產(chǎn)生很大的塑性形變，稱為可塑體。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，固體發(fā)生塑性形變后的硬度增大了，若再要使它發(fā)生塑性形變，需要的外力比先前要大。稱為加工硬化。二、固體的彈性形變(Elasticdeformation)彈性形變有多種，最簡(jiǎn)單的是長(zhǎng)變和剪切。長(zhǎng)變固體在外力作用下沿縱向拉伸或壓縮。

20第二十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)有一均勻棒，如圖所示。拉力規(guī)定為正力，形變L也是正的，固體被拉伸，如圖(a)。壓力規(guī)定為負(fù)力，形變L也是負(fù)的，固體被壓縮，如圖(b)。在長(zhǎng)變的情況下，固體的拉伸應(yīng)變n為固體受到力Fn發(fā)生長(zhǎng)變，在任一橫截面上出現(xiàn)的應(yīng)力

n為L(zhǎng)L+LFnFn(a)L+LFnFn(b)21第二十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)胡克定律，在比例極限內(nèi)，

n與

n間存在線性關(guān)系

n

=Y

n

比例系數(shù)Y稱為材料的長(zhǎng)變彈性模量，或楊氏模量，它決定于固體材料自身的性質(zhì)。剪切當(dāng)固體受到大小相等、方向相反、相距很近的兩個(gè)平行力作用時(shí)，在兩力間的固體各橫截面將沿外力方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。物體錯(cuò)動(dòng)的角度稱為剪切角

，如圖所示。FtFt）A′B′SψABCD22第二十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日固體的剪應(yīng)變

t為當(dāng)很小時(shí)，近似有

t=

根據(jù)胡克定律，應(yīng)有

t=G

t

比例系數(shù)G稱為固體材料的剪切模量，簡(jiǎn)稱剪模量。若橫截面的面積為S，則剪應(yīng)力由于外力

與作用面是平行的，故固體橫截面上產(chǎn)生的應(yīng)力都與該截面相切，因而稱為剪應(yīng)力，如圖所示。ψψ））σtσtFtFtS23第二十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日§5-1剛體的運(yùn)動(dòng)小結(jié)剛體:在任何情況下,其大小和形狀都不變化的物體?；蛘哒f物體上任意兩點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變。平動(dòng)在剛體運(yùn)動(dòng)過程中,如果剛體上的任意一條直線始終保持平行,這種運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)在剛體運(yùn)動(dòng)過程中,如果剛體上所有的點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng),那么這種運(yùn)動(dòng)就稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)++24第二十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能其中，2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量大小和分布、轉(zhuǎn)軸的位置、剛體的形狀。

3.平行軸定理4.垂直軸定理

§5-2剛體動(dòng)力學(xué)25第二十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日5.轉(zhuǎn)動(dòng)定理6.力矩作的功7.動(dòng)能定理26第二十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理27第二十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律

或恒量在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,如果Mz=0,則28第二十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日第六章流體力學(xué)一.物體六態(tài)：固體、液體、氣體、等離子體、玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)、費(fèi)米子凝聚態(tài)等離子體：由離子、電子、中性粒子等組成的氣體。例如：火焰電弧的高溫部分，太陽(yáng)和其他星體表面氣層。

1995年，美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院和美國(guó)科羅拉多大學(xué)的科學(xué)家組成的聯(lián)合研究小組，首次創(chuàng)造出物質(zhì)的第五態(tài)，即“玻色

—愛因斯坦凝聚態(tài)”。為此，2001年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予了負(fù)責(zé)這項(xiàng)研究的三位科學(xué)家。29第二十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日玻色—愛因斯坦凝聚:是科學(xué)巨匠愛因斯坦在70年前預(yù)言的一種新物態(tài)。這里的“凝聚”與日常生活中的凝聚不同，它表示原來(lái)不同狀態(tài)的原子突然“凝聚”到同一狀態(tài)。玻色—愛因斯坦凝聚態(tài)物質(zhì)由成千上萬(wàn)個(gè)具有單一量子態(tài)的超冷粒子的集合，其行為像一個(gè)超級(jí)大原子，由玻色子構(gòu)成。

費(fèi)米子凝聚態(tài):由于沒有任何兩個(gè)費(fèi)米子能擁有相同的量子態(tài)，費(fèi)米子的凝聚一直被認(rèn)為不可能實(shí)現(xiàn)。2004年，物理學(xué)家找到了一個(gè)克服以上障礙的方法，他們將費(fèi)米子成對(duì)轉(zhuǎn)變成玻色子。費(fèi)米子對(duì)起到了玻色子的作用，所以可讓氣體突然冷凝至玻色—愛因斯坦凝聚態(tài)。30第三十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日粒子按其在高密度或低溫度時(shí)集體行為的不同可以分成兩大類：一類是費(fèi)米子，得名于意大利物理學(xué)家費(fèi)米，另一類是玻色子，得名于印度物理學(xué)家玻色。區(qū)分這兩類粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一種與其角動(dòng)量相聯(lián)系的固有性質(zhì)。量子力學(xué)所揭示的一個(gè)重要之處是，自旋是量子化的，這就是說，它只能取普朗克常數(shù)的整數(shù)倍（玻色子，如光子、介子等）或半整數(shù)倍（費(fèi)米子，如電子、質(zhì)子等）。31第三十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日超導(dǎo)體：在低溫時(shí)不存在電阻。如In,Sn,Al,Pb,Nb,等金屬及其合金。1911年，昂內(nèi)斯發(fā)現(xiàn)Hg在4.2K時(shí)電阻完全消失。超流態(tài)：是某些物質(zhì)的超低溫特性，例如超流體和超導(dǎo)體超流體：不存在粘滯現(xiàn)象，能流過10-5cm的毛細(xì)血管，能在固體表面擴(kuò)展成幾十個(gè)原子厚的薄膜（液氦在2.19K時(shí)為超流體）32第三十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日二.流體：可以流動(dòng)的物質(zhì)（氣體和液體）三.流體的特性流動(dòng)性：流體物質(zhì)的各部分之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)粘滯性：流體各部分之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在摩擦現(xiàn)象3.壓縮性：流體體積隨外部壓力而變化的特性33第三十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日§6-1流體的壓強(qiáng)一靜止流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)1.壓力：流體內(nèi)部相互作用力和流體對(duì)器壁的作用力稱為壓力壓力的特點(diǎn)：1）流體內(nèi)任意截面所受的壓力與該截面垂直，否則將有小部分沿截面流動(dòng)；2）流體內(nèi)任意截面所受的壓力為零，否則流體不能靜止；34第三十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日單位面積上所承受的沿法線方向的壓力的大小?；?yàn)閴毫Γ嬖较蚺c點(diǎn)A的法向

一致。2.壓強(qiáng)（Pressure）A·注意：1.

壓強(qiáng)是標(biāo)量,其值與面元的選取無(wú)關(guān)；

2.壓強(qiáng)是位置的函數(shù)；

35第三十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D中，和

都通過點(diǎn)A，的法線為

，

的法線為

。兩面所受壓力大小和方向各不相同,但壓強(qiáng)是相同的,都是點(diǎn)A的壓強(qiáng)。3.壓強(qiáng)單位在SI中為Pa(帕斯卡,簡(jiǎn)稱帕)

1Pa=1Nm-2另外還有atm(標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，簡(jiǎn)稱大氣壓)、bar(巴)、Torr(托)和毫米汞柱（mmHg）

1bar=105Pa;1atm=101325Pa1mmHg=133.322Pa;1Torr=133.322Pa··A36第三十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日二靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)差1.等高點(diǎn)的壓強(qiáng)相等FAFBAB由于柱狀物體沿軸向沒有流動(dòng)，根據(jù)牛頓定律知，它所受合外力為零，即或說明：靜止流體內(nèi)同水平高度的各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等37第三十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日2.兩點(diǎn)高度差h，其壓強(qiáng)差為ghyxdyyy+dyPAmg(P+dP)A體元所受重力：由于體元是靜止的，所以所受合外力為零，即化簡(jiǎn)為此式表明：流體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)是隨高度變化的。38第三十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日流體內(nèi)任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差可通過對(duì)上式積分求得：若A、B兩點(diǎn)的高度差為h，則兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：該式表明：兩點(diǎn)高度差h，其壓強(qiáng)差為gh說明：1）壓強(qiáng)差與密度有關(guān);2)對(duì)于氣體，密度，因此可認(rèn)為壓強(qiáng)處處相等，但對(duì)于大氣層，當(dāng)高度相差很大時(shí)和g都是高度的函數(shù)，故39第三十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日3.兩個(gè)原理（1）帕斯卡（Pascal）原理施加壓強(qiáng)于密閉容器內(nèi)的流體，此壓強(qiáng)無(wú)變化地傳遞到流體的各部分及器壁上。（2）阿基米德（Archimedes）原理當(dāng)一物體全部或部分地侵入流體中時(shí)，物體所受的浮力等于它所排開流體的重量。40第四十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日解：水壩外側(cè)受大氣壓強(qiáng)的作用，而內(nèi)側(cè)也受大氣壓強(qiáng)的作用（帕斯卡原理），故可以不考慮大氣壓強(qiáng)的作用。例題1

圖（a）和（b）分別是水壩的側(cè)視圖和前視圖。設(shè)水深為h，求水作用于大壩的水平合力和該力對(duì)過O點(diǎn)軸的力矩。ahOlxydybhyo41第四十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日水中的壓強(qiáng)隨深度而變化，因此水壩受水的作用力是不均勻的，是深度的函數(shù)。1.求力F:取水壩l長(zhǎng)的一部分，受水作用的面積為S=lh，在其坐標(biāo)為y處取dy深的一面積元ds=ldy,則作用在該面元上的力為：所以水作用于lh面積的水壩上的水平作用力為：lxydybhyo42第四十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日作用在單位長(zhǎng)度面積上的水平力為2.求力矩：dF相對(duì)于過O點(diǎn)軸的力矩：43第四十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上式積分：44第四十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

一、關(guān)于理想流體的幾個(gè)概念(perfectfluid)

1.理想流體

實(shí)際液體和氣體除具有共同的流動(dòng)性外,還在不同程度上具有兩種性質(zhì)：可壓縮性和黏性。

理想流體絕對(duì)不可壓縮和完全沒有黏性的流體。2.定常流動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間任一給定點(diǎn)的速度是確定的，且不隨時(shí)間變化，稱為定常流動(dòng)。例如,沿著管道或渠道緩慢流動(dòng)的水流,在一段不長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為是定常流動(dòng)?！?-2理想流體及其連續(xù)性方程45第四十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

3.流線

為了形象地描述流體的運(yùn)動(dòng),在流體中畫一系列曲線,每一點(diǎn)的切線方向與流經(jīng)該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同,稱為流線。

定常流動(dòng)中的流線

·不隨時(shí)間變化；

·質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；

·任何兩條流線不相交。4.流管

流線圍成的管狀區(qū)域?！ぁぁぁぁぁぁぁち鞴軆?nèi)外的流體不能交換流體在流管中的流動(dòng)狀況就是整個(gè)流體流動(dòng)狀況的縮影46第四十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日二、理想流體的連續(xù)性方程(theequationofcontinuity)

在細(xì)流管中,流體流經(jīng)截面S1和S2的速率為v1和v2,在t時(shí)間內(nèi)流過這兩個(gè)截面的流體體積分別為V1=S1

v1

t

V2=S2

v2t

v1v2S1S2對(duì)于不可壓縮流體S1

v1=S2

v2或Sv=恒量上式稱為理想流體的連續(xù)性方程。1.連續(xù)性方程47第四十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日理想流體作定常流動(dòng)時(shí),速率與流管截面積的乘積為恒量,或者說速率與流管的截面積成反比。注意：選擇流管時(shí)，不能過粗，否則橫截面S上各點(diǎn)的流速就不一定相等；該方程適應(yīng)于任何不可壓縮流體；3.由連續(xù)性方程可以斷定，在流速大的地方，流管狹窄，流線必定密集；在流速小的地方，流管粗大，流線必定疏散。Sv=恒量48第四十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日2.質(zhì)量守恒定律在連續(xù)性方程兩邊同乘以流體密度,即

Sv

=恒量對(duì)于可壓縮的流體，連續(xù)性方程不一定正確，但質(zhì)量守恒仍然成立，因此上式是一般流體的連續(xù)性方程。該式說明在同一時(shí)間內(nèi)流入某段流管的流體的質(zhì)量與流出的相同。由于密度是一個(gè)隨流動(dòng)而變化的量，上面根據(jù)流線的疏密反映流速的大小也就不再正確。例如，超音速氣流49第四十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日如果在某一管道的橫截面上各點(diǎn)的流速都相等,流量可以表示為

QV=Sv

3.流量（體積流量）單位時(shí)間內(nèi)流過某一截面的流體體積。流過截面S1和S2的流量為v1v2S1S250第五十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日如果截面上各點(diǎn)流速不相等,通過面元dS的流量為dQV=vdS

通過整個(gè)截面的流量引入平均流速的概念：上式在處理具體問題時(shí)經(jīng)常采用。51第五十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日§6-3

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利:1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞爾．?dāng)?shù)學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)家．1715年獲得學(xué)士學(xué)位，1716年獲得藝術(shù)碩士學(xué)位1721年通過論文答辯，獲得醫(yī)學(xué)博士學(xué)位．

丹尼爾的學(xué)術(shù)著作非常豐富，他的全部數(shù)學(xué)和力學(xué)著作、論文超過80種．1738年他出版了一生中最重要的著作《流體動(dòng)力學(xué)》.(1725—1757年的30多年間他曾因天文學(xué)(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁學(xué)(1743，1746)洋流(1748)、船體航行的穩(wěn)定(1753，1757)和振動(dòng)理論(1747)等成果，獲得了巴黎科學(xué)院的10次以上的獎(jiǎng)賞．特別是1734年，他與父親約翰以“行星軌道與太陽(yáng)赤道不同交角的原因”的佳作，獲得了巴黎科學(xué)院的雙倍獎(jiǎng)金．

52第五十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日丹尼爾獲獎(jiǎng)的次數(shù)可以和著名的數(shù)學(xué)家歐拉相比，因而受到了歐洲學(xué)者們的愛戴，1747年他成為柏林科學(xué)院成員，1748年成為巴黎科學(xué)院成員，1750年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不鮮見，然而，在一個(gè)家族跨世紀(jì)的幾代人中，眾多父子兄弟都是科學(xué)家的較為罕見，其中，瑞士的伯努利家族最為突出。伯努利家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們?cè)跀?shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個(gè)家族中有兩代人，他們中的大多數(shù)數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，然而卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中，有人調(diào)侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。53第五十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日伯努利(Bernoulli)方程

在重力場(chǎng)中作定常流動(dòng)的理想流體內(nèi)任取一細(xì)流管,S1和S2表示兩個(gè)橫截面的面積,h1和h2是它們相對(duì)同一個(gè)水平參考面的高度。由于理想流體是不可壓縮的,從S1到S1′之間的流體質(zhì)量等于從S2到S2′之間的質(zhì)量m。整個(gè)流體塊從位置S1-S2流到位置S1-S2′的過程中，機(jī)械能的增量E為′v1v2S1S2S1′′S2h2h154第五十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日機(jī)械能增量如果作用于S1上的壓力為

f1,在t內(nèi)S1移過距離v1t到達(dá)S1′，則f1作的功為

A1=p1

S1v1t

v1v2S1S2S1′′S2h2h155第五十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于截面S2

，f2對(duì)流體塊所作的功A2=p2

S2v2t

根據(jù)S1v1=S2v2,并且得周圍流體的壓力對(duì)流體塊作的總功為根據(jù)功能原理

E=A

56第五十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日即整理可得去掉角標(biāo),對(duì)于同一條細(xì)流管中的任一截面,下面的關(guān)系總是成立的恒量上面兩式都稱為伯努利方程,它們描述了理想流體作定常流動(dòng)時(shí)的基本規(guī)律。57第五十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日討論：恒量1.若水平流動(dòng)，,則有恒量說明：水平流動(dòng)的流管中，壓強(qiáng)大的地方流速?。粔簭?qiáng)小的地方流速大。2.由連續(xù)方程，知，管細(xì)的地方流速大，管粗的地方流速小。58第五十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日空吸現(xiàn)象推論：細(xì)管處（流速大）壓強(qiáng)小粗管處（流速?。簭?qiáng)大3.當(dāng)兩處流速相同時(shí)，即說明：高度低的地方壓強(qiáng)大，高度高的地方壓強(qiáng)小，這與流體靜力學(xué)中的結(jié)果一致。4.當(dāng)V＝0時(shí)，流體靜止或者59第五十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注意：理想流體在重力的作用下作定常流動(dòng)時(shí)才成立；該方程也只適用于對(duì)慣性系中的流動(dòng)的描述，若在非慣性系中，同樣要附加慣性力。如果A、B兩點(diǎn)的高度相等,則由上式得

pA=pB

這表明,靜止流體中同高度兩點(diǎn)的壓強(qiáng)相等。60第六十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日hABQo它由兩個(gè)同軸細(xì)管組成,內(nèi)管的開口在正前方。外管的開口在管壁上,如圖中B所示。兩管分別與U型管的兩臂相連,在U型管中盛有液體(如水銀),構(gòu)成了一個(gè)壓強(qiáng)計(jì),由U型管兩臂的液面高度差h確定氣體的流速。例1：皮托管是測(cè)定流體流速的儀器,常用來(lái)測(cè)定氣體的流速。61第六十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

解：在A處氣流速率為零,在流線OA上運(yùn)用伯努利方程,得到對(duì)于流線QB點(diǎn)O和點(diǎn)Q非常接近,可認(rèn)為各量相等。又因皮托管一般都很細(xì),點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度相差很小,hA=hB

?？紤]到這些條件,得vB

是待測(cè)氣流的流速。hABQo62第六十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日如果壓強(qiáng)計(jì)中液體的密度為

,則比較上面兩式得所以這樣，就可以由壓強(qiáng)計(jì)兩液面的高度差h,計(jì)算出待測(cè)氣流速率。hABQo63第六十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日例2：求水從容器壁小孔中流出時(shí)的速率。AB解：在液面和小孔處取任意流線AB，在這條流線上運(yùn)用伯努利方程，得：A點(diǎn)：B點(diǎn)：取小孔處的高度為零，則hA=h64第六十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日可見,小孔處水的流速，與物體從h處自由下落到小孔處的速率是相同的。65第六十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日z例題