方向?qū)?shù)與梯黑塞矩陣與泰勒公式

§10.4方向?qū)?shù)與梯度及泰勒公式

10.4.1方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)10.4.2方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用10.4.3黑塞矩陣與泰勒公式當(dāng)前1頁(yè)，總共42頁(yè)。10.4.1方向?qū)?shù)與梯度1.方向?qū)?shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率.對(duì)于二元函數(shù)有在幾何上，它們分別表示平面曲線及在點(diǎn)處的切線的斜率.當(dāng)前2頁(yè)，總共42頁(yè)。(x0,y0)處沿某指定方向的變化率.下面我們來(lái)考慮二元函數(shù)在點(diǎn)定義若函數(shù)在點(diǎn)處沿方向u(方向角為存在下列極限:記作則稱為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向u的方向?qū)?shù).當(dāng)前3頁(yè)，總共42頁(yè)。方向?qū)?shù)的幾何意義表示曲線C在點(diǎn)處的切線的斜率.

特別:?當(dāng)u

與x軸同向?當(dāng)u

與x軸反向當(dāng)前4頁(yè)，總共42頁(yè)。那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向向量u的方向?qū)?shù)都存在，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，定理10.4.1且有其中為向量u

的方向余弦.因函數(shù)在點(diǎn)處可微，則證明2.方向?qū)?shù)的計(jì)算當(dāng)前5頁(yè)，總共42頁(yè)。這就證明了方向?qū)?shù)存在，且一般地，當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，有且所以當(dāng)自變量從點(diǎn)沿u方向移動(dòng)時(shí)，當(dāng)前6頁(yè)，總共42頁(yè)。三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向u

(方向角為)的方向?qū)?shù)定義為定理10.4.1的逆命題不成立.

f(x,y)在原點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在,但不可微.當(dāng)前7頁(yè)，總共42頁(yè)。方向?qū)?shù)的性質(zhì)當(dāng)前8頁(yè)，總共42頁(yè)。例1.求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù).解：又的方向余弦為故當(dāng)前9頁(yè)，總共42頁(yè)。例2.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)故當(dāng)前10頁(yè)，總共42頁(yè)。3.梯度向量的定義因?yàn)樾孪蛄縂當(dāng)前11頁(yè)，總共42頁(yè)。同樣可定義二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度說(shuō)明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P處的梯度(gradient),向量記作gradf或f,即nabla當(dāng)前12頁(yè)，總共42頁(yè)。例3.求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度以及函數(shù)在該點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù).解：故又故當(dāng)前13頁(yè)，總共42頁(yè)。如果采用向量的記號(hào)，我們?nèi)菀捉o出一般n元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度的定義.設(shè)f(x)是n元函數(shù)(通常我們只考慮二元函數(shù)和三元u是n元向量,u0是u對(duì)應(yīng)的單位向量,函數(shù)的情況)，則f(x)在點(diǎn)x處沿u的方向?qū)?shù)和梯度分別定義為當(dāng)前14頁(yè)，總共42頁(yè)。10.4.2方向?qū)?shù)與梯度的性質(zhì)及應(yīng)用1.函數(shù)的最速上升方向與最速下降方向設(shè)f(x)是上的連續(xù)函數(shù)，d是n維非零向量，如果存在，使得對(duì)于一切，恒有則稱d為函數(shù)f在x0處的上升方向;恒有如果對(duì)于則稱d為函數(shù)f在x0處的下降方向.當(dāng)前15頁(yè)，總共42頁(yè)。設(shè)f(x)在點(diǎn)x0

處可微,u是一個(gè)n維非零向量，如果個(gè)上升方向；的一個(gè)下降方向．則u是f(x)在點(diǎn)x0

處的一如果則u是f(x)在點(diǎn)x0

處定理說(shuō)明:方向?qū)?shù)的符號(hào)決定函數(shù)的升降.

當(dāng)前16頁(yè)，總共42頁(yè)。結(jié)論1梯度方向是函數(shù)值上升最快的方向(最速上升方向),負(fù)梯度方向是而函數(shù)值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值問(wèn)題：

函數(shù)值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？當(dāng)前17頁(yè)，總共42頁(yè)。若函數(shù)在點(diǎn)處取最大值，則函數(shù)沿任何方向都不可能上升，于是由知特別地另一方面因此即函數(shù)在最大值點(diǎn)處的梯度為零向量；同理可得函數(shù)在最小值點(diǎn)處的梯度向量也為零向量.結(jié)論2函數(shù)在最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)處的梯度為零向量．當(dāng)前18頁(yè)，總共42頁(yè)。設(shè)在處取最大（小）值，則即類似地，若三元函數(shù)在處取最大（小）值，則當(dāng)前19頁(yè)，總共42頁(yè)。例4.設(shè)一座山的高度由函數(shù)給出,如果登山者在山坡的點(diǎn)處，此時(shí)登山者往何方向攀登時(shí)坡度最陡？解：坡度最陡的方向?yàn)楦叨群瘮?shù)變化最快的方向，即求使高度函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)最大的方向.因?yàn)樘荻扰c的夾角,所以最大即沿梯度方向函數(shù)上升最快.又因所以在點(diǎn)處沿向量方向攀登時(shí)坡度最陡.當(dāng)前20頁(yè)，總共42頁(yè)。例5求函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處函數(shù)值下降最快的方向．設(shè)f(x)是上的連續(xù)函數(shù)，d是n維非零向量，如果則d是f(x)在點(diǎn)x0

處的一個(gè)上升方向；如果則d是f(x)在點(diǎn)x0

處的一個(gè)下降方向.d與f(x0)成銳角d與f(x0)成鈍角解：所以函數(shù)在點(diǎn)處的最速下降方向?yàn)楫?dāng)前21頁(yè)，總共42頁(yè)。2.梯度向量是二元函數(shù)等值線或三元函數(shù)等值面的法線方向向量

設(shè)f(x)是n元可微函數(shù),等值面當(dāng)前22頁(yè)，總共42頁(yè)。對(duì)于n=2的情形:是函數(shù)f(x,y)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的等值線在該點(diǎn)處,它與等值線的切線垂直.在點(diǎn)(x0,y0)處的一個(gè)法線方向向量.等值線n=2結(jié)論:與等值面在點(diǎn)x0

處的切平面垂直，所以是等值面S在點(diǎn)x0

處的一個(gè)法線方向向量.當(dāng)前23頁(yè)，總共42頁(yè)。對(duì)于n=3的情形:是函數(shù)f(x,y,z)的等值面在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的一個(gè)法線方向向量.在該點(diǎn)處,它與等值線的切平面垂直.等值面當(dāng)前24頁(yè)，總共42頁(yè)。10.4.3黑賽矩陣與泰勒公式1.黑賽矩陣

設(shè)n元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處對(duì)于自變量的各分量的二階連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)或黑塞矩陣當(dāng)前25頁(yè)，總共42頁(yè)。例6.

解：計(jì)算函數(shù)的梯度與黑塞矩陣,并求以及因，則又則所以當(dāng)前26頁(yè)，總共42頁(yè)。例7.

解：設(shè)皆為n維行向量，b為常數(shù)，求n維線性函數(shù)在任意點(diǎn)x處的梯度和黑塞矩陣.設(shè)，于是因所以當(dāng)前27頁(yè)，總共42頁(yè)。當(dāng)時(shí)，二維線性函數(shù)寫成向量形式是于是當(dāng)前28頁(yè)，總共42頁(yè)。例8.

解：設(shè)Q

為n階對(duì)稱矩陣，皆為n維行向量，c為常數(shù)，求n維二次函數(shù)在任意點(diǎn)處的梯度和黑塞矩陣.設(shè)則于是當(dāng)前29頁(yè)，總共42頁(yè)。又因所以當(dāng)前30頁(yè)，總共42頁(yè)。寫出二維二次函數(shù)的梯度和黑塞矩陣.當(dāng)前31頁(yè)，總共42頁(yè)。2.泰勒公式若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn),則有近似公式：如果要使這個(gè)函數(shù)有更高的精度,先須討論二元函數(shù)的泰勒公式.一元函數(shù)的泰勒公式:當(dāng)前32頁(yè)，總共42頁(yè)。記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示當(dāng)前33頁(yè)，總共42頁(yè)。的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),

則有其中①②①稱為f在點(diǎn)(x0,y0)的n階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng).當(dāng)前34頁(yè)，總共42頁(yè)。證:

令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:

當(dāng)前35頁(yè)，總共42頁(yè)。一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.

當(dāng)前36頁(yè)，總共42頁(yè)。說(shuō)明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界M,則有當(dāng)前37頁(yè)，總共42頁(yè)。(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上當(dāng)前38頁(yè)，總共42頁(yè)。例