典型方程和定解條件的推導(dǎo)定稿

典型方程和定解條件的推導(dǎo)定稿第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日一.均勻弦的橫振動(dòng)方程的建立二.傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立三.電磁場(chǎng)方程的建立四.熱傳導(dǎo)方程的建立提要：五.舉例第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）數(shù)學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測(cè)、試探、估算的科學(xué)方法。步驟：(1）確定研究對(duì)象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡(jiǎn)整理，得到偏微分方程。

不含初始條件不含邊界條件第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日物理狀態(tài)描述:

設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動(dòng)。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動(dòng)：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動(dòng)方程的建立第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT’隔離物體法第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT’(1)(2)第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》中指出：微分是“揚(yáng)棄了的或消失了的差值”。哲學(xué)上的“揚(yáng)棄”是指“既被克服又被保存”，是包含著肯定的否定。在導(dǎo)數(shù)定義中，分子Δy和分母Δx都被揚(yáng)棄了，就是說，它們都消失為0，從而有限大小的Δx和Δy都被克服，差商

但是，它們的依賴關(guān)系（比值）卻保存下來了。我們記揚(yáng)棄了的（或消失了的）那末，導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日——從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限（實(shí)質(zhì)）函數(shù)在某點(diǎn)上的變化率（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）某點(diǎn)上切線的斜率（幾何意義）導(dǎo)數(shù)“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動(dòng)。”——摘恩格斯.《自然辯證法》第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日3、忽略與近似(1)(2)dsTT’o①對(duì)于小振動(dòng)：所以有：第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日3、忽略與近似(1)(2)①對(duì)于小振動(dòng)：于是（1）式變?yōu)椋捍耄?）式變?yōu)椋孩谝话阏f來，，將g略去，上式變?yōu)榈谑摚财呤彭摚?022年，8月28日第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日上式實(shí)際上可以明確表示為：令，于是有：一維波動(dòng)方程4、整理化簡(jiǎn)第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日L＋二.傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體,每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G表示。對(duì)于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的電流相等。但對(duì)于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日●●物理狀態(tài)描述:

設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導(dǎo)G是按單位長度計(jì)算其對(duì)應(yīng)的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為dx.第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識(shí)第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日+–LLCC＋－+-●●與同學(xué)們商榷的幾個(gè)問題：（P4-5）（1）設(shè)某時(shí)刻t，輸入與輸出端的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否合理?（2）電流作為初始條件，在流經(jīng)電感時(shí)是否要變化？（3）按照?qǐng)D示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5.-1.5式）？P——電路的節(jié)點(diǎn)？”是否合理？“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日梁昆淼先生的做法：

“今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以R，L，C，G。于是亦即亦即將作用于第一式,作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)某時(shí)刻t，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-輸入端輸出端第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日+–LLCC＋－+-由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日+–LLCC＋－+-由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：整理后得到：略去無窮小量得：第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)聯(lián)立上述兩個(gè)方程（代入消元法），注意假定與都對(duì)是二次連續(xù)可微的，即可得到：第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日基本電磁場(chǎng)量場(chǎng)的物質(zhì)方程Maxwell方程電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)電率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator三.電磁場(chǎng)方程的建立第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日補(bǔ)充資料第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日補(bǔ)充資料第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日補(bǔ)充資料第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日目標(biāo):利用上述關(guān)系,分別解出、。由將代入上式，得對(duì)上式兩邊求旋度，得再將代入上式，得這是一個(gè)關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的二階微分方程第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日為進(jìn)一步化簡(jiǎn)，利用Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（σ=0），上述方程簡(jiǎn)化為：三維波動(dòng)方程將代入上式，得第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日目標(biāo):建立關(guān)于電位u的方程由電感應(yīng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的定義知：（電荷體密度）而電場(chǎng)強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)：這個(gè)非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場(chǎng)是無源的，即，上式又可寫成這個(gè)齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日物理模型:均勻且各向同性的導(dǎo)熱體,在傳熱過程中所滿足的微分方程.研究對(duì)象:熱場(chǎng)中任一閉曲面S,體積為V,熱場(chǎng)V(體積)S(閉曲面)t時(shí)刻,V內(nèi)任一點(diǎn)M(x,y,z)處的溫度為u(x,y,z,t).●M曲面元ds的法向(從V內(nèi)V外)ds物理規(guī)律:由熱學(xué)的(Fourier)實(shí)驗(yàn)可知:dt時(shí)間之內(nèi),流經(jīng)面元ds的熱量dQ,與——時(shí)間dt成正比；曲面面積ds成正比；溫度u沿曲面法方向的方向?qū)?shù)成正比。數(shù)學(xué)表述為：四.熱傳導(dǎo)方程的建立第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日●MdsV(體積)S(閉曲面)熱場(chǎng)數(shù)學(xué)表述為：——k=k(x,y,z).物體的傳熱系數(shù),各向均勻且同性時(shí)為常數(shù).“—”號(hào),表示熱量流動(dòng)的方向,與溫度梯度的正方向(gradu)相反.從t1t2,通過曲面元S,流入?yún)^(qū)域V的熱量為必然等于V內(nèi)各點(diǎn)所吸收的熱量(熱量守恒)上式中的，在熱學(xué)中的意義？為何“—”號(hào)又不見了？第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)處理：由于S為閉曲面，假設(shè)u(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么依據(jù)奧斯特羅—格拉德斯基公式因此有：第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日由于[t1,t2]以及區(qū)域V的任意性,且被積函數(shù)為連續(xù),因此有若令:,那么上述方程可寫為三維熱傳導(dǎo)方程第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日討論:(1).若V內(nèi)有熱源,強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則熱傳導(dǎo)方程為其中(2).若導(dǎo)熱體為一根細(xì)桿,則(3).若導(dǎo)熱體為一薄片,則第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日(4).若熱場(chǎng)為一穩(wěn)恒場(chǎng)(溫度趨于平衡狀態(tài)),則與之對(duì)應(yīng)有穩(wěn)恒溫度場(chǎng)內(nèi)的溫度滿足Laplace方程.(5).在研究氣體、液體的擴(kuò)散過程時(shí),若擴(kuò)散系數(shù)為常量，那么所導(dǎo)出的擴(kuò)散方程，形式上與熱傳導(dǎo)方程相同。即這里——擴(kuò)散系數(shù)——濃度第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日一.均勻弦的橫振動(dòng)方程二.傳輸線方程(電報(bào)方程)——一維波動(dòng)方程——高頻傳輸線方程三.電磁場(chǎng)方程——三維波動(dòng)方程四.熱傳導(dǎo)方程(場(chǎng)點(diǎn)t時(shí)刻的溫度分布)——三維熱傳導(dǎo)方程(振幅)(電流、電壓)第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日§1.2初始條件與邊界條件上一節(jié)談到：物理規(guī)律數(shù)學(xué)表述；我們還需要將具體條件數(shù)學(xué)表述出來。

所提出的具體條件，應(yīng)該恰如其分地說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以及邊界上的物理情況，不能提出過多的條件，也不能提出過少的條件。

從物理的角度來說，只要確定了系統(tǒng)的初始狀態(tài)、邊界上的物理情況，那末其后的發(fā)展，也必是確定的了；換言之，其相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該有唯一的解。

一、初始條件——系統(tǒng)內(nèi)部描述與時(shí)間有關(guān)的初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表述。（1）弦振動(dòng)第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）熱傳導(dǎo)特別說明：Poisson方程，Laplace方程，都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始條件無關(guān)，可不提初始條件。列出初始條件，一般都不至于感到困難，不過有一點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào)：初始條件應(yīng)當(dāng)說明整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)！因?yàn)閑是桿右端的初始位移，并不是桿上各處的初始位移。考慮到桿的初始伸長是均勻的，t=0時(shí)桿被拉長了e，故單位長度被拉長,于是有第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日二、邊界條件——具體物理問題的邊界約束狀態(tài)。以弦振動(dòng)為例，弦振動(dòng)時(shí)，其端點(diǎn)（以x=a表示這個(gè)端點(diǎn)）所受到的約束情況，通常有以下三類●右端點(diǎn)在振動(dòng)過程中始終保持不動(dòng)。（1）固定端（右端）（2）自由端（右端）右端點(diǎn)在振動(dòng)過程中不受u方向的外力，從而這個(gè)端點(diǎn)在位移方向上的張力為0。第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日（3）彈性支承端第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日又如熱傳導(dǎo)問題：V(體積)S(閉曲面)●Mds第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日本課程內(nèi)容，只涉及線性邊界條件，且僅包括以下三類。第一類邊界條件：物理?xiàng)l件直接規(guī)定了u在邊界上的值，如第二類邊界條件：物理?xiàng)l件并不直接規(guī)定了u在邊界上的值，而是規(guī)定了u的法向微商在邊界上的值，如第三類邊界條件：物理?xiàng)l件規(guī)定了u與un在邊界上值之間的某個(gè)線性關(guān)系，如第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日§1.3定解問題的提法1.二階線性偏微分方程的解二階線性偏微分方程的最一般形式為（n個(gè)自變量）對(duì)于只有兩個(gè)自變量的情況，上式則變化為（1.33）（1.34）線性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是從本身的形式上，將疊加原理表現(xiàn)得淋漓盡致。第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日結(jié)論：如果一個(gè)函數(shù)u，具有某個(gè)偏微分方程中所要求的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并代入該方程，使其變成為恒等式，則此函數(shù)被稱為該方程的解（古典解）。2.幾個(gè)名詞簡(jiǎn)介第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.定解問題的穩(wěn)定性與適定性物理問題“翻譯”為數(shù)學(xué)問題，是否符合客觀實(shí)際，尚須加以驗(yàn)證?。?）解的存在性——定解問題是否有解。（2）解的唯一性——是否只有一個(gè)解。（3）解的穩(wěn)定性——定解條件發(fā)生微小變化，解亦只有微小變化。方法：試算+實(shí)驗(yàn)本書所涉及的定解問題，都是古典的，適定的?！?”——擬合上述：解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性，被通稱為適定性。第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例.設(shè)長為的均勻細(xì)弦，兩端固定，初始位移為0。開始時(shí)，在處受到?jīng)_量為的作用，試寫出其定解問題。解：建立坐標(biāo)系，并選取研究對(duì)象如圖示。其一維波動(dòng)方程為：泛定方程（1）由兩端固定，知：邊界條件（2）為了導(dǎo)出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時(shí)，在處受到?jīng)_量的作用知上的動(dòng)量改變，即為沖量，于是有對(duì)于點(diǎn)周圍足夠小的，弦段第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日為了導(dǎo)出初始條件，考慮：由初始位移為0，知由開初時(shí)，在處受到?jīng)_量的作用知上的動(dòng)量改變，即為沖量，于是有對(duì)于點(diǎn)周圍足夠小的，弦段質(zhì)量速度由此可見：初始條件（3）沖量：力的時(shí)間作用效應(yīng)。動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變=沖量的作用。受沖擊時(shí)的初位移受沖擊時(shí)的初速度第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日最后可得定解問題泛定方程（1）邊界條件（2）初始條件（3）第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日例有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或速度，必定引致鄰段的壓縮或伸長，這種伸縮傳開了去，就有縱波沿著桿傳播。試導(dǎo)出它的振動(dòng)方程。分析：第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日解泛定方程的推導(dǎo)，設(shè)桿的橫截面積為S，楊氏模量為E，密度為ρ。第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日解泛定方程的推導(dǎo)，設(shè)桿的橫截面積為S，楊氏模量為E，密度為ρ。如圖建立坐標(biāo)系，并選取任意微元。由Hooke定律，微元所受到的彈性力為依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日這就是桿在平衡位置，具有橫坐標(biāo)為