齊次和非齊次線性方程組的解法整理定稿

.word.word..線性方程組解的構(gòu)造〔解法〕一、齊次線性方程組的解法【定義】r(A)=r<n，假設(shè)AX=0〔A為mxn矩陣〕的一組解為g,g，…,g，且滿足：12n-r⑴g，g，…,g線性無(wú)關(guān)；12n-AX=0的)任一解都可由這組解線性表示.那么稱g,g，…,g為AX=0的根底解系.12n-稱X=kigi+kg+???+kn-rgn-r為AX=0的通解。其中翠2,…,.為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問(wèn)題就是求通解，而求通解的關(guān)鍵問(wèn)題是求根底解系.【定理】假設(shè)齊次線性方程組AX=0有解，那么假設(shè)齊次線性方程組AX=0〔A為mxn矩陣〕滿足r(A)二n，那么只有零解；齊次線性方程組有非零解的充要條件是r(A)<n.〔注：當(dāng)m=n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式|A|=0?〕注：1、根底解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)一樣，且根底解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r(A).2、非齊次線性方程組AX=B的同解方程組的導(dǎo)岀方程組〔簡(jiǎn)稱“導(dǎo)岀組"〕為齊次線性方程組AX=O所對(duì)應(yīng)的同解方程組。由上述定理可知，假設(shè)m是系數(shù)矩陣的行數(shù)〔也即方程的個(gè)數(shù)〕，n是未知量的個(gè)數(shù)，那么有：當(dāng)m<n時(shí)，r(A)<m<n，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；〔2〕當(dāng)m=n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式|A|=0;〔3〕當(dāng)m=n且r(A)二n時(shí)，假設(shè)系數(shù)矩陣的行列式|A|豐0，那么齊次線性方程組只有零解；〔4〕當(dāng)m>n時(shí)，假設(shè)r(A)<n，那么存在齊次線性方程組的同解方程組；假設(shè)r(A)>n，那么齊次線性方程組無(wú)解。1、求AX=0〔A為mxn矩陣〕通解的三步驟〔1〕AC〔行最簡(jiǎn)形〕；寫岀同解方程組CX=0?求出CX=0的根底解系g,g，…,g;12n-r寫出通解X=氣g1+kg+…+kn-rgn-r其中k*k2,…,kn_r為任意常數(shù).

\o"CurrentDocument"x1x【例題1】解線性方程組ix1x1解法一：將系數(shù)矩陣A化為+3x-x+5x=0,23\o"CurrentDocument"x1x【例題1】解線性方程組ix1x1解法一：將系數(shù)矩陣A化為+3x-x+5x=0,234+x+2x-x=0,234+x-3x+6x=0,234-2x+4x-7x=0.2343-112A=1-31-245-16-74-7-1014431670267-431-27000顯然有r(A)=4=n，那么方程組僅有零解，即x=x=x=x=0.1234解法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)〔即m=n〔注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)〔即m主n〕不可以用行列式的方法來(lái)判斷〕，從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式:IA=3-1512-6=327工0，知方程組僅有零解，即x=x=x=x=0.1-361234-24-7x+x+x1233x+2x+x【例題2】解線性方程組123x+2x235x+4x+3x123解：將系數(shù)矩陣A化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣j111_113211-3x(5)+仃0-1A=rx(-3)+r012261015433-10-1注：此法僅對(duì)n較小時(shí)方便+x+x=0,45+x-3x=0,45+2x+6x=0,45+3x-x=0.45111_r+r■10-1-1-5_-6-r2-+r1-、012262-2r2+r3r2x(-1)+r4(2-1)xr242226000002-2-600000x二V1x二2x3=-2x3+x4-2x4+5x,5-6x.5〔其中x3,x4,x5為自由未知量〕令x=1，x=0，x=0，得x1=1,x=-2；34512令x=0，x=1，x=0，得x=1,x=-2；34512令x3=0，x4=0，x=1，得x1=5,x=-6，2

于是得到原方程組的一個(gè)根底解系為g=一「—21,g=一「—20,g=一5「—60123010001所以，原方程組的通解為X=kE+kg+kg〔k,k,keR〕?112233123二、非齊次線性方程組的解法求AX=b的解〔Ar(A)=r〕mxn,用初等行變換求解，不妨設(shè)前r列線性無(wú)關(guān)(Ab)cc1112

c(Ab)cc1112

c22…c1r

…c??2r????crr…c1n…c?2n■…crn其中c主0(i=1,2,...,r),所以知ii0r+1d豐0時(shí)，原方程組無(wú)解.r+1d=0,r=n時(shí),原方程組有唯一解.r+1d=0,r<n時(shí)，原方程組有無(wú)窮多解.r+1其通解為X=n+k?+k?+…+k?,k,k，…,k為任意常數(shù)。01122n-rn-r12n-r其中：?,?,???,?為AX=b導(dǎo)出組AX=0的根底解系，n為AX=b的特解,12n—r【定理1】如果耳是非齊次線性方程組AX=b的解，a是其導(dǎo)出組AX=0的-個(gè)解，那么a+n是非齊次線性方程組AX=b?解。【定理2】如果n0是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，a是其導(dǎo)出組的全部解，那么n0+a是非齊次線性方程組的全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無(wú)窮多解，那么其導(dǎo)出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解可表示為：n+Ca+Ca+…+Ca01122n—rn—r其中：n是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，a,a,…,a是導(dǎo)出組的一個(gè)根底解系。012n—r【例題3】判斷以下命題是否正確,A為mn矩陣?

(1)假設(shè)AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解?答:錯(cuò)，因r(A)=n,r(A)=n=r(A|b)?⑵假設(shè)AX=0有非零解，那么AX=b有無(wú)窮多解?答:錯(cuò)，因r(A)<n,r(A)=r(A|b)?假設(shè)AX=b有唯一解，那么AX=0只有零解?答:對(duì),r(A)=r(A|b)=n.假設(shè)AX=0有非零解，那么AtX=0也有非零解.答:錯(cuò),A為mn,r(A)=m<n,r(AT)=m,這時(shí)AtX=0只有零解.例如A為34,R(A)=3<4,r(AT)=3=m.⑸假設(shè)r(A)=r=m,那么AX=b必有解.答:對(duì),r(A)=r=m=r(A|b).⑹假設(shè)r(A)=r=n,那么AX=b*有唯一解?答:錯(cuò),A為mn,當(dāng)mn時(shí)，可以r(A|b)=n+1.⑴唯一解：r(A)二r(A)二nO線性方程組有唯一解【例題4】解線性方程組彳2x+x2—x2+【例題4】解線性方程組彳2x+x2—x2+x+2x3+2x3+4x=1,=-4,=—2.r1121[r112112—12—4[X(-2)+g〉0—3—2—6r.+(—4)+行414—2130—3—4—6解：A=(A|B)=123-100-「寧(—3、-100-「0—30—6010200100010勺x(-2r3X2+；2r3X(—3)+r1可見r(A)二r(A)二3，那么方程組有唯一解，所以方程組的解為Sx=1x=2x=3-12,0.+x+x=1,23—2x+x=—2,23+x—2x=4.r+123—2x1【例題5】解線性方程組⑵無(wú)解：r(A)豐r(A)r+123—2x1【例題5】解線性方程組I211rr-1—21[0—21—2-1—21—21o2〃2+石0—33-3—33—311—24彳x(—1他03—36」[0003解：A=(A|B)=1xI1可見r(A)二3豐r(A)二2，所以原方程組無(wú)解.⑶無(wú)窮多解：r(A)二r(A)<nO線性方程組有無(wú)窮多解【例題6】解線性方程組彳解：A=(A|B)=rx2+r213>rx1+r21r2x(-1)12

-2x12x1—2x1+x2+x2—x+2x=3,34—3x=1,4—2x+10x=4.34—123[r11—10—31qx(—2)+1、怦+?！?—12—210402—4—5—2-7500那么方程組有無(wú)窮多解，其同解方程組為1102-7141-203-510可見r(A)二r(A)二2<4,x=1x=2-25-x3+2x3+5x,4

-7x.4〔其中x3,x4為自由未知量〕令x=0,x34-0,得原方程組的一個(gè)特解耳=又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為｛II2令x=1,x=0，得x=一1,x=2；令x34123于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)根底解系為E=1-2500—x+5x,342x—7x.34=0，x=1，〔其中X3,X4為自由未知量〕得x=5,x=—7,12r-「r5_2，g=—7120_0_1k所以，原方程組的通解為x=n+kg+kg2{2x+x—x+x=1,1234<x+2x+x—x=2,的全部解.1234x+x+2x+x=3.gR〕.2例題7】求線性方程組：1234211〔k1解：A=(A|B)=2-1—3-1121-11I為+°[x(1)込_>2-3-11-31-1322-3111-3-12321-3r2x(-3)+r3—3-1-63-2-34-1-6001001T（-0010011r3勺/-3）rxi22可見r(A)二r(A)二3<4，所以方程組有無(wú)窮多解，其同解方程組為3x—1—一x,1243<x——x,2241x—1——x.324〔其中x4為自由未知量〕令x4二0，可得原方程組的一個(gè)特解⑴10103-三x,243又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為｛x2又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為｛x22441——X.=3,x=3,x=—3,x=1,3令x4=—2〔注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)〕，得x12于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)根底解系為E=3—31—2所以，原方程組的通解為X=n+kg〔keR〕.x+3x+3x—2x+x=3TOC\o"1-5"\h\z123452x|6x|x3x—2【例題8】求非齊次線性方程組｛123一4—|的全部解。x+3x—2x—x—x——1123453x+9x+4x—5x+x—512345解：r133-213、r133-213、r133-213、261-30200-51-2-400-51-2-4A=13-2-1-1-1T00-51-2-4T000000<394-515丿<00-51-2-4丿<000000丿因?yàn)閞(A)二r(A)二2<5，所以非齊次線性方程組有無(wú)窮多組解，取自由未知量為x,x,x245Ix+3x+3x-2x+x=3=E原方程組與方程組彳1/345同解I-5x+x-2x=-4345廠0、取自由未知量x,x,x為0，得原方程組的一個(gè)特解:24510丿r34、1=—，0,7,0,00155丿再求其導(dǎo)出組的根底解系，其導(dǎo)出組與方程組x+3x+3x-2x+x12345—5x+x—2x=03450同解(1丿丿對(duì)自由未知量x,x,x分別取024510丿代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)根底解系為：〔-3、(、7(、155100a=0,a=十,a=—212535010001JU丿2丿J丄丿那么原方程組的全部解為：三、證明與判斷【例題9】叫弋弋是齊次線性方程組AX=0的-個(gè)根底解系，證明W1+1，U+l+n3也是齊次線性方程組AX=O的一個(gè)根底解系。證：由可得：齊次線性方程組AX=0的根底解系含有3個(gè)解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知l,l+l,l+l+l都是AX=O的解；因此只要證明耳,l+l,l+l+l線性無(wú)關(guān)即可。112123112123設(shè)存在數(shù)k,k,k使123kl+k(1+l)+k(1+l+l)二0成立。112123123整理得：(k+k+k)1+(k+k)1+k1=0〔1〕12312323311，12，13是齊次線性方程組AX=0的-個(gè)根底解系，即得11，12，13線性無(wú)關(guān)，那么由(1)得k+k+k=0TOC\o"1-5"\h\z123<k+k二o，解得：k=k=k=0所以耳，耳+n，耳+n+n線性無(wú)關(guān)。23123112123k二0J3即q,q+耳q+丄也是齊次線性方程組AX=O的一個(gè)根底解系。112123【例題io】t,e,e,e是齊次線性方程組ax=o的-個(gè)根底解系，假設(shè)1234n=e+te,n=e+te,n=e+te,n=e+tt112223334441討論t滿足什么條件時(shí),q,n2,n3,n4是齊次線性方程組ax=o的一個(gè)根底解系1234解：首先，ni,n2,n3,n4是齊次線性方程組ax=o的解，只須nni,n2,n3,n4線性無(wú)關(guān).〔100t、由有：(n1，叩3叫=氣,e2，-e,<3e)4t01t0100100t1丿100t100t因?yàn)椋浩F叫叫線性無(wú)關(guān)Ot01t0100豐0，即t01t0100=1-14hO,00t100t1TOC\o"1-5"\h\z所以當(dāng)ti時(shí)，n,n,n,n是齊次線性方程組ax=o的一個(gè)根底解系1234【例SIHn階矩陣A的各行元素之和均為零，且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解：由r(A)=n-1知AX=0的根底解系有一個(gè)非零解向量.又a+a+???+a=°,i=1,2,???,n，即a?1+a?1+???+a?1=0i1i2ini1i2inX=k(1,1,…,1)t,〔k為任意常數(shù)〕為所求通解.【例題12】設(shè)人心,…,Xt是非齊次線性方程組AX=b0的解向量,證明：對(duì)于X=kX+kX+…+kX01122tt當(dāng)k+k+…+k=1時(shí),X是AX=b的解；當(dāng)k+k+…+k=0時(shí),X是AX=0的解.TOC\o"1-5"\h\z12t012t0證:AX=A(kX+kX+???+kX)=kAX+kAX+???+kAX=kb+kb+???+kb=(k+k+???+k)b01122tr1122tt12t'12t故：當(dāng)k+k+…+k=1時(shí),AX=b12t0當(dāng)k+k+…+k=0時(shí),AX=012t0由此可見，非齊次方程組的解對(duì)于線性組合并不一定封閉,只有組合系數(shù)的和等于1的時(shí)候，解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解！【例題13】nm為AX=p的兩個(gè)不同解，e,e是AX=0的一個(gè)根底解系.k,k為任意常數(shù)?那么1222AX=P的通解為〔〕答案B(A)ke+k(e+e.⑻ke+k(e-e.112122112122(C)ke+k(n+n)+叫_耳2.(D)ke+k(n-n)+叫+3.112122112122【例題14】設(shè)n,n,n是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，且矩陣a的秩為3,123n=G,2,3,4》，n+n=(o,1,2,3》,求Ax=b的通解。TOC\o"1-5"\h\z123解：因?yàn)锳的秩為3,那么AX=0的根底解系含有4-3=1個(gè)解向量。由線性方程組解的性質(zhì)得：n+n—2n=(n-n)+(n-n)是