![高等數(shù)學(xué)習(xí)題精講之9微分方程初步_第1頁](http://file4.renrendoc.com/view/623cee6f468b78bd58f93782cf731a84/623cee6f468b78bd58f93782cf731a841.gif)
![高等數(shù)學(xué)習(xí)題精講之9微分方程初步_第2頁](http://file4.renrendoc.com/view/623cee6f468b78bd58f93782cf731a84/623cee6f468b78bd58f93782cf731a842.gif)
![高等數(shù)學(xué)習(xí)題精講之9微分方程初步_第3頁](http://file4.renrendoc.com/view/623cee6f468b78bd58f93782cf731a84/623cee6f468b78bd58f93782cf731a843.gif)
![高等數(shù)學(xué)習(xí)題精講之9微分方程初步_第4頁](http://file4.renrendoc.com/view/623cee6f468b78bd58f93782cf731a84/623cee6f468b78bd58f93782cf731a844.gif)
![高等數(shù)學(xué)習(xí)題精講之9微分方程初步_第5頁](http://file4.renrendoc.com/view/623cee6f468b78bd58f93782cf731a84/623cee6f468b78bd58f93782cf731a845.gif)
版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
第9章常微分方程PAGEPAGE410第9章微分方程初步1.微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程2.常微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程一般形式:;標準形式:3.微分方程的階未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)4.微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)。(1)含任意常數(shù)的解稱為微分方程的通解,階微分方程的通解含個獨立任意常數(shù);(2)不含任意常數(shù)(通解中的任意常數(shù)已由初始條件求出)的解稱為微分方程的特解;(3)解的圖形為方程的積分曲線?!?.1一階微分方程1.變量可分離的微分方程(1)(2)2.齊次微分方程(1)令,(變量可分離)(2)可化為齊次型3.一階線性微分方程非齊次方程:;齊次方程:(1)通解公式(2)常數(shù)變異法:齊次通解,非齊次通解將代入原方程可得4.伯努利方程令5.全微分方程()§9.2二階微分方程1.高階特型微分方程(1)連續(xù)次積分可求解(2)令,,可化為一階微分方程(3)令,,可化為一階微分方程2.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次方程二階線性齊次方程(1)若,是齊次方程的兩個解,則也是齊次方程的解(2)若,是齊次方程的兩個線性無關(guān)解,則是齊次方程通解(3)若是齊次方程的通解,是非齊次方程的一個特解,則(非齊次通解齊次通解非齊次特解)(4)若,則特解(5)若,是非齊次方程的兩個解,則是齊次方程的解3.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求法二階常系數(shù)線性齊次方程特征方程為,判別式,則通解為4.二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的求法二階常系數(shù)線性非齊次方程待定系數(shù)法:(1)若,設(shè)其中,,均為次多項式(2)若,設(shè)(3)若,設(shè)其中,,均為次多項式,常數(shù)變異法:若齊次方程通解為,設(shè)非齊次方程特解為,代入方程得,其中微分算子法:設(shè),,得,,則令,稱微分算子多項式,則特解為的運算性質(zhì):(1);(2),;,;(3);(4)其中,為除以按升冪排列所得商式,其最高次冪為。注意:表示微分,表示積分;,?!?.3典型例題解析1.變量可分離微分方程解法解題思路(1)分離變量后兩邊取不定積分求通解;(2)若方程含,,等形式項時,可利用相應(yīng)變量代換(或直接用湊微分法)化為可分離變量方程求解;(3)若方程為(或可化為)或型齊次方程,令或求解;例1求下列微分方程的通解(2);(2)解原方程變形為令,得,積分得(3);(3)解令,則,即(4);(4)解原方程變形為令,,代入方程得,分離變量積分得(5);(5)解方程變形為,令,,則(6)(6)解由,得,令,則原方程化為,令,,即2.一階線性微分方程解法解題思路(1)將方程化為的形式,利用通解公式求解;(2)利用常數(shù)變異法求解;(3)貝努利型方程可通過變量代換化為一階線性方程求解。例2求下列微分方程的通解(1);(1)解法1公式法求解:方程變形為解法2常數(shù)變異法求解:齊次方程為,分離變量積分得設(shè)原方程通解,代入方程整理得,則(3);(3)解原方程變形為令,原方程化為(4)(4)解既不是一階線性方程,也不是貝努利方程,原方程改寫為令,方程化為,這是貝努利方程,令,方程化為,通解為習(xí)題(2)(2)解這是貝努利方程,令,原方程化為例3設(shè)是方程的一個解,求滿足條件的特解解將代入方程,得,則由得,故特解為例4設(shè)為連續(xù)函數(shù),(1)求解初值問題,;(2)若,為常數(shù),求證當時,解(1)由通解公式有,由得,故(2)利用定積分的性質(zhì)有*3.全微分方程的解法解題思路將方程化為的形式,驗證;用湊微分法或公式法求解。通解形式為。例5利用全微分求下列方程的通解(1)解因為,所以原方程是全微分方程,方程改寫為通解為(2)解法1,,全微分方程,取點,則通解為()解法2,,()4.一階微分方程綜合題解題思路(1)由導(dǎo)數(shù)的定義或已知條件列方程求函數(shù)解析式;(2)由積分限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)改寫積分方程求函數(shù)解析式;(3)利用偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)關(guān)系列方程求函數(shù)解析式;(4)利用定積分的性質(zhì)求函數(shù)解析式例6已知在處的增量,且,求,其中時是的高階無窮小解由導(dǎo)數(shù)的定義及題設(shè)條件有,即通解為,由得,故特解為,例7設(shè)在可微,且滿足,,求解,(,否則,與題設(shè)矛盾)即,通解為,由得,故例8設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,,其中為任意常數(shù),求解法1由有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則即,令得又令,得,故特解為解法2令得,兩邊對求導(dǎo),令得又得,故特解為例11設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,對任何成立,又,求,解法1關(guān)系式對求導(dǎo)得取,且,則即再對求導(dǎo)得,即,,故解法2關(guān)系式對求導(dǎo)得,令,由得再對求導(dǎo)得,即,,故例12設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足條件,求所滿足的一階微分方程,并求其通解.解由題知,對求導(dǎo)即,通解為習(xí)題例9已知,求連續(xù)函數(shù)解令,則,即例10設(shè)函數(shù)與其反函數(shù)都可微,且,求解對關(guān)系式兩邊求導(dǎo)得,因。于是,通解為,當時,,,得,,故5.高階特型微分方程的解法解題思路若方程不含,令;若方程不含,令;若方程不含,令,。例13求解下列高階特型微分方程(1)求微分方程的通解解不顯含型,令,,代入方程得(2)求的滿足初始條件,的特解。解不顯含型,令,,代入方程得由得,,由得,通解為(3)求的通解解不顯含型,令,,代入方程得故原方程通解為習(xí)題(4)求的通解解不顯含型,令,,代入方程得,這是齊次方程,令,,則故原方程通解為6.二階常系數(shù)線性微分方程的解法解題思路(1)寫出對應(yīng)齊次方程的特征方程,由特征根的不同形式寫出相應(yīng)的通解;(2)用待定系數(shù)法、微分算子法或常數(shù)變異法求非齊次方程的特解;(3)非齊次方程的通解齊次方程的通解非齊次方程的特解;(4)用變量代換法將變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程求解。例14求解下列微分方程(1)解特征方程為,特征根(重根)齊次方程通解為,非齊次項待定系數(shù)法求特解:當時,設(shè)特解為,代入方程得,當時,為重特征根,設(shè)特解,代入方程得,*算子法求特解:當時,;當時,;故原方程通解為(2)解特征方程為,特征根(復(fù)根)齊次方程通解為,非齊次項待定系數(shù)法求特解:當時,設(shè)特解,代入方程得比較系數(shù)得,當時,為特征根,設(shè)特解,代入方程得比較系數(shù)得,*算子法求特解:當時,;當時,;故原方程通解為(3)解特征根(復(fù)根),齊次方程通解為待定系數(shù)法求特解:對方程,不是特征根,設(shè),則,對方程,是特征根,設(shè),則,*算子法求特解:故原方程通解為(4)設(shè)二階可導(dǎo),以為周期,且滿足,求解由周期函數(shù)的性質(zhì)有,,則求導(dǎo)得代入題設(shè)方程有特征根為,齊次方程通解為待定系數(shù)法求特解:設(shè)非齊次方程特解為代入該方程有比較系數(shù)得,,非齊次方程特解為*算子法求特解:,非齊次方程通解為由有得,故*例15用算子法求下列微分方程的特解(1);(2)(3);(4);(1)解,,故特解為(3)解,,故特解為(3)解其中,為的商(),即(4)解其中,為復(fù)數(shù)實部;為的商(),即例16用常數(shù)變易法求的通解解特征重根,齊次方程通解為設(shè)(),代入方程得比較系數(shù)得積分得,取原方程特解為原方程通解為例17用指定變量代換求下列微分方程通解(1),解,,原方程化為,齊次通解為非齊次特解為原方程通解為,即(2),,令解歐拉方程令,可化為常系數(shù)線性齊次微分方程代入原方程得,通解為記,則原方程化為一般地,令,,記,則;;;;代入原方程,則原方程可化為關(guān)于的階常系數(shù)線性方程(3),,令解兩邊求導(dǎo)并化簡得,此方程是歐拉方程令,,記,則原方程化為即,其通解為,故原方程通解為7.二階微分方程的反問題解題思路(1)已知通解求方程:對通解直接求二階導(dǎo)數(shù)即可還原所求方程;或由通解的結(jié)構(gòu)由特征根求出特征方程還原齊次方程;(2)已知非齊次方程的兩個或三個特解求方程:用解的結(jié)構(gòu)定理求解;(3)已知非齊次方程和其特解求方程所含常數(shù):將特解代入方程比較系數(shù)求解。(4)已知齊次方程和其一個解求方程通解:可設(shè)另一個線性無關(guān)解為,代入方程求出,從而求出通解;例18求滿足下列條件的微分方程(1);(1)解對通解求導(dǎo),,得,(2);(2)解通解改寫為,求導(dǎo)得(3)(3)解齊次方程通解,特征復(fù)根,則設(shè)非齊次方程,將代入得,故所求方程為例19求滿足下列條件的微分方程及其通解(1)未知方程為二階常系數(shù)線性方程,且有三個特解,,;解由題設(shè)及線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知:非齊次特解齊次特解可知齊次方程有兩個線性無關(guān)的特解,,特征根為,則特征方程為,齊次方程為。設(shè)非齊次方程為,將代入得,故所求方程為(2)未知方程為二階常系數(shù)非齊次線性方程,有兩個特解,;解由題設(shè)知,為對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的解,特征方程有兩個共軛復(fù)根,,且為非齊次方程的一個解。設(shè)原方程形式為,將代入得故所求方程為(3)設(shè)有特解解法1將代入方程,得比較系數(shù)得,解得,,故原方程為,特征根,,原方程通解為,(,)解法2由特解知,為齊次方程兩個線性無關(guān)解,為非齊次方程的特解(自由項,則不是非齊次方程特解),所對應(yīng)齊次方程為,非齊次方程為,將代入得故(4)未知方程為四階常系數(shù)齊次線性方程,有兩個特解,解由,得;由,得,則特征方程為所求方程為通解為例20求滿足下列條件的微分方程通解或特解(1)已知是方程的一個解,求其通解解設(shè)另一個線性無關(guān)的特解為,則,代入方程得,設(shè),,則取,得,故原方程通解為(2)設(shè)方程的三個解,,,,求此方程滿足初始條件,的解解由題設(shè)知,為對應(yīng)齊次方程的兩個解,且常數(shù)(線性無關(guān)),則齊次通解為;非齊次通解為;由,得,,,所求特解為8.二階微分方程綜合題解題思路(1)利用偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系及全微分條件列方程求函數(shù)解析式;(2)利用反函數(shù)關(guān)系進行反函數(shù)代換化簡方程求解;(3)利用已知關(guān)系建立方程或已知微分方程求冪級數(shù)的和函數(shù)。例21求解下列各題(1)設(shè)滿足微分方程,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求所滿足的微分方程,并由此求出解;,();(2)已知為全微分方程,其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,,求及全微分方程的通解解由全微分方程的充要條件得通解為,由,得,故特解為,代入原方程得(3)設(shè)方程為某單值函數(shù)的全微分,其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,,試求解,,由題設(shè)知比較的系數(shù)得由,得,,故例22設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且,是的反函數(shù)。(1)試將所滿足的方程變換為所滿足的微分方程;(2)求變換后方程滿足條件,的解解(1),代入原方程得齊次方程通解為(2)特征根,不是特征根,設(shè),代入方程得,非齊次通解為例23設(shè)函數(shù)滿足,,且,,求解,即特征根齊次方程通解為因不是特征根,設(shè)其特解為,代入方程可得,原方程通解為,由,,得,,則故例24利用微分方程求下列冪級數(shù)的和函數(shù)(1)已知滿足(為正整數(shù))且,求函數(shù)項級數(shù)之和解由,得,,則當時,收斂;當時,發(fā)散;故,(2)設(shè),,且,求解,,即,通解為,由,得,,故(3)設(shè),滿足,求及解,,代入方程得由,得,故,(4)驗證滿足方程,并由微分方程求出的和函數(shù)解,,其中,是的一種加括號級數(shù),收斂級數(shù)的任意加括號級數(shù)收斂于同一和。特征方程,特征根齊次通解為,不是齊次方程特征根,設(shè)其特解為,代入方程可得,原方程通解為由,,故所求和函數(shù)為9.微分方程的幾何應(yīng)用例25試求在過點的直線束中使得為最小的直線方程解過點的直線束代入積分得,令得唯一駐點,,故使最小的直線方程為例26設(shè)曲線上任意點處的切線在軸上的截距等于該點的法線在軸上的截距,求解處的切線為,軸上的截距為;處的法線為,軸上的截距為,由題意有令,,,原方程化為故原方程為,其極坐標方程為()例27設(shè)在上連續(xù),且在上的平均值等于與的幾何平均值,求解由題意,即當時,;當,即時,求導(dǎo)得伯努利方程,令,則上式化為,其通解為,例28設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo),,,過曲線上任意點作切線及軸的垂線,兩直線與軸所圍三角形面積為,曲線與軸所圍曲邊梯形面積為,且,求解點的切線為,與軸的交點為,且由,知,則;,令,,方程化為由得,,由得,故10.微分方程在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用例29
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024版北京房地產(chǎn)經(jīng)紀公司服務(wù)標準合同3篇
- 2024年標準化排水溝建設(shè)承包合同版
- 2024年度個人寵物護理個人承攬合同樣本3篇
- 2024年標準版解除戀愛關(guān)系合同模板版
- 2024版農(nóng)村房屋拆除與土地補償協(xié)議書3篇
- 森林旅游示范帶項目初步設(shè)計
- 2024版多子女家庭老年醫(yī)療費用分攤合同
- 2024全新家政服務(wù)標準化合同簽訂與家政服務(wù)行業(yè)規(guī)范3篇
- 景區(qū)旅游基礎(chǔ)設(shè)施項目建議書
- 內(nèi)蒙古科技大學(xué)《金融科技》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 中國常用漢字大全
- PPT:增進民生福祉提高人民生活品質(zhì)
- 開具紅字發(fā)票情況說明
- 2022 年奧賽希望杯二年級培訓(xùn) 100題含答案
- 水利工程建設(shè)匯報材料(通用3篇)
- 10篇罪犯矯治個案
- 中央企業(yè)商業(yè)秘密安全保護技術(shù)指引2015版
- 艾草種植基地建設(shè)項目可行性研究報告
- 留守兒童一生一檔、聯(lián)系卡
- GB/T 2007.2-1987散裝礦產(chǎn)品取樣、制樣通則手工制樣方法
- GB/T 19068.1-2017小型風力發(fā)電機組第1部分:技術(shù)條件
評論
0/150
提交評論