建筑力學(xué)位移法三力矩分配法

建筑力學(xué)位移法三力矩分配法第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.27第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日在M作用下，結(jié)點(diǎn)1產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移θ1。利用位移法轉(zhuǎn)角位移方程，可以寫出各桿端彎矩(θ1尚為未知)：

M12=3i12θ1M13=4i13θ1M14=i14θ1M21=0M31=2i13θ1M41=-i14θ1(a)(b)第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日取結(jié)點(diǎn)1為隔離體如圖15.27(b)所示。由平衡條件∑M1=0得

M12+M13+M14=M將式(a)代入式(c)，解得

θ1=M/（3i12+4i13+i14）將θ1代回式(a)和式(b)，即可求出各桿的桿端彎矩值如下：

M12=3i12M/(3i12+4i13+i14)M13=4i13M/(3i12+4i13+i14)M14=i14M/(3i12+4i13+i14)(e)(d)(c)第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

M21=0M31=1/2×4i13M/(3i12+4i13+i14）M41=-i14M/(3i12+4i13+i14)由此可繪出結(jié)構(gòu)的彎矩圖M如圖15.27(c)所示。（1）

轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S式(a)中列出的各桿桿端彎矩式可統(tǒng)一寫成

M1k=S1kθ1式中：S1k稱為1k桿1端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日（2）

分配系數(shù)μ式(e)中的各桿端彎矩可統(tǒng)一寫成

第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日（3）

傳遞系數(shù)C式(f)中的各桿端彎矩可統(tǒng)一寫成

Mk1=C1kM1k式中：C1k稱為1k桿1端的傳遞系數(shù)。傳遞系數(shù)即表示當(dāng)桿件近端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日掌握了上述基本運(yùn)算，再利用疊加原理，即可用力矩分配法計(jì)算荷載作用下具有一個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角的結(jié)構(gòu)。其計(jì)算步驟為

(1)

先在本來能發(fā)生轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點(diǎn)i處假想加入附加剛臂，使其不能轉(zhuǎn)動(dòng)。由表14.2算出匯交于i結(jié)點(diǎn)各桿端的固端彎矩后，利用該結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件求出附加剛臂給予結(jié)點(diǎn)的約束力矩，它等于匯交于該結(jié)點(diǎn)各桿的固端彎矩之和，并以MFi表示。約束力矩規(guī)定以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?5.7.2具有一個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)的計(jì)算第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(2)結(jié)點(diǎn)i處并沒有附加剛臂，也不存在約束力矩，為了能恢復(fù)到實(shí)際狀態(tài)，抵消掉約束力矩MFi的作用，我們?cè)诮Y(jié)點(diǎn)i處施加一個(gè)與它反向的外力偶Mi=-MFi。結(jié)構(gòu)在Mi作用下的各桿端彎矩，應(yīng)用一次基本運(yùn)算即可求出。

(3)結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力狀態(tài)，為以上兩種情況的疊加。將第1步中各桿端的固端彎矩分別和第2步中各桿端的分配彎矩或傳遞彎矩疊加，即得匯交于i結(jié)點(diǎn)之各桿的近端或遠(yuǎn)端的最后彎矩。第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日【例15.11】試作圖15.28(a)所示連續(xù)梁的彎矩圖。【解】

(1)

先在結(jié)點(diǎn)B加一附加剛臂(圖15.28(b))使結(jié)點(diǎn)B不能轉(zhuǎn)動(dòng)，此步驟常稱為“固定結(jié)點(diǎn)”。此時(shí)各桿端產(chǎn)生的固端彎矩由表19.2求得：

MFBA=ql2/8=180kN·m

MFCB=-100kN·m

MFCB=100kN·m由結(jié)點(diǎn)B的平衡條件∑MB=0求得約束力矩：

MFB=MFBA+MFBC

=(180-100)kN·m=80kN·m第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.28第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(2)為了消除約束力矩MFB，應(yīng)在結(jié)點(diǎn)B處加入一個(gè)與它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(圖15.28(c))，在約束力矩被消除的過程中，結(jié)點(diǎn)B即逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)到無附加約束時(shí)的自然位置，故此步驟常簡(jiǎn)稱為“放松結(jié)點(diǎn)”。將圖15.28(b)和圖15.28(c)相疊加就得到圖15.28(a)中的結(jié)果。對(duì)于圖15.28(c)，我們可用上述力矩分配法的基本運(yùn)算求出各桿端彎矩。為此，先按式(15.12)算出各桿端分配系數(shù)：SBA=3iBA=3×2EI/12=1/2EISBC=4iBC=4×EI/8=1/2EI第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日則μBA=SBA/(SBA+SBC)=0.5μBC=BBC/(SBA+SBC)=0.5利用公式∑μ1k=1進(jìn)行校核：∑μBk=μBA+μBC=0.5+0.5=1所以分配系數(shù)計(jì)算正確。根據(jù)公式(151.11)計(jì)算各桿近端的分配彎矩：MμBA=μBA·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·mMμBC=μBC·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·m第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日然后計(jì)算各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩：MCAB=CBA·MμBA=0MCCB=CBC·MμBC=1/2×(-40)kN·m=-20kN·m

(3)最后將各桿端的固端彎矩(圖15.28(b))與分配彎矩、傳遞彎矩(圖15.28(c))相加，即得各桿端的最后彎矩值：MAB=MFAB+MCAB=0MBA=MFBA+MμBA=(180-40)kN·m=140kN·mMBC=MFBC+MμBC=(-100-40)kN·m=-140kN·mMCB=MFCB+MCCB=(100-20)kN·m=80kN·m第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日【例15.12】用力矩分配法作圖15.29(a)所示封閉框架的彎矩圖。已知各桿EI等于常數(shù)?！窘狻恳蛟摲忾]框架的結(jié)構(gòu)和荷載均有x、y兩個(gè)對(duì)稱軸，可以只取四分之一結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖15.29(b)所示。作出該部分彎矩圖后，其余部分根據(jù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱荷載作用彎矩圖亦應(yīng)是對(duì)稱的關(guān)系便可作出。

(1)

計(jì)算固端彎矩由表14.2查得各桿的固端彎矩為MF1A=-ql2/3=-7.5kN·mMFA1=-ql2/6=-3.75kN·m寫入圖15.29(c)各相應(yīng)桿端處。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.29第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日(2)

計(jì)算分配系數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：S1A=i1A=EI/1.5S1C=i1C=EI/1=EI分配系數(shù)：μ1A=S1A/(S1A+S1C)=0.4μ1C=S1C/(S1A+S1C)=0.6將分配系數(shù)寫入圖15.29(c)結(jié)點(diǎn)1處。第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日(3)

進(jìn)行力矩的分配和傳遞，求最后桿端彎矩。

①結(jié)點(diǎn)力的約束力矩MF1=MF1A+MF1C=-7.5kN·m，將其反號(hào)并乘以分配系數(shù)，便得到各桿近端的分配彎矩。

②將各桿分配彎矩乘以傳遞系數(shù)便得到遠(yuǎn)端的傳遞彎矩(C1A=C1C=-1)。

③最后將各桿端的固端彎矩和分配彎矩(或傳遞彎矩)相疊加即可得到各桿端的最后桿端彎矩。在最后彎矩下畫雙橫線。以上工作均在圖15.29(c)所示圖上進(jìn)行。(4)

作彎矩圖根據(jù)對(duì)稱關(guān)系作出彎矩圖如圖15.29(d)所示。第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日15.8用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和結(jié)點(diǎn)無側(cè)移剛架對(duì)于具有多個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的連續(xù)梁和無側(cè)移的剛架，只要逐次對(duì)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)應(yīng)用上一節(jié)的基本運(yùn)算，就可求出各桿端彎矩。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日【例15.13】試用力矩分配法作圖15.30(a)所示連續(xù)梁的彎矩圖?！窘狻浚?）

計(jì)算分配系數(shù)結(jié)點(diǎn)B：SBA=3iBA=3×4EI/2=6EISBC=4iBC=4×9EI/3=12EIμBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3校核：1/3+2/3=1第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.30第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日結(jié)點(diǎn)C：SCB=SBC=12EISCD=4iCD=4×4EI/2=8EIμCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5μCD=SCD/(SCB+SCD)=2/5校核：3/5+2/5=1將分配系數(shù)填入圖15.30(b)的相應(yīng)位置。(2)

計(jì)算固端彎矩固定剛結(jié)點(diǎn)B和C，則連續(xù)梁變成三根單跨超靜定梁，因此可由表19.2求得各桿的固端彎矩：第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日MFBA=3/16Pl＝18.75kN·mMFBC=-ql2/12=-15kN·mMFCB=ql2/12=15kN·m其余各固端彎矩均為零。將各固端彎矩填入圖15.30(b)所示相應(yīng)位置。結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)C的約束力矩分別為MFB=MFBA+MFBC=(18.75-15)kN·m=3.75kN·mMFC=MFCB+MFCD=15kN·m由圖15.30(b)中可以很清楚看出各結(jié)點(diǎn)的約束力矩。第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(3)

放松結(jié)點(diǎn)C(結(jié)點(diǎn)B仍固定)：對(duì)于具有多個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，可按任意選定的次序輪流放松結(jié)點(diǎn)，但為了使計(jì)算收斂得快些，通常先放松約束力矩較大的結(jié)點(diǎn)。在結(jié)點(diǎn)C進(jìn)行力矩分配(即將MFC反號(hào)乘以分配系數(shù))，求得各相應(yīng)桿端的分配彎矩為MμCB=3/5×(-15)kN·m=-9kN·mMμCD=2/5×(-15)kN·m=-6kN·m同時(shí)可求得各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩(即將分配彎矩乘上相應(yīng)的傳遞系數(shù))為MCBC=CCB·MμCB=1/2×(-9)kN·m=-4.5kN·mMCDC=CCD·MμCD=1/2×(-6)kN·m=-3kN·m第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(4)重新固定結(jié)點(diǎn)C，并放松結(jié)點(diǎn)B：在結(jié)點(diǎn)B進(jìn)行力矩分配，注意此時(shí)結(jié)點(diǎn)B的約束力矩為MFB+MCBC=(3.75-4.5)kN·m=-0.75kN·m然后將其反號(hào)乘以分配系數(shù)，即得相應(yīng)的分配彎矩為MμBA=1/3×0.75kN·m=0.25kN·mMμBC=2/3×0.75kN·m=0.5kN·m傳遞彎矩為MCAB=0MCCB=CBC·MμBC=1/2×0.5kN·m=0.25kN·m將計(jì)算結(jié)果填入圖15.30(b)相應(yīng)位置。第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(5)

進(jìn)行第二輪計(jì)算按照上述步驟，在結(jié)點(diǎn)C和B輪流進(jìn)行第二次力矩分配與傳遞，計(jì)算結(jié)果填入圖15.30(b)相應(yīng)位置。這樣輪流放松、固定各結(jié)點(diǎn)，進(jìn)行力矩分配與傳遞。由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)均小于1，所以收斂是很快的。由上看出，經(jīng)過兩輪計(jì)算后，結(jié)點(diǎn)的約束力矩已經(jīng)很小，附加剛臂的作用基本解除，結(jié)構(gòu)已接近于實(shí)際的平衡狀態(tài)，若認(rèn)為已經(jīng)滿足計(jì)算精度要求時(shí)，計(jì)算工作便可以停止。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(6)最后將各桿端的固端彎矩和每次的分配彎矩、傳遞彎矩相加，即得最后的桿端彎矩。見圖15.30(b)，最后桿端彎矩下畫雙橫線。

(7)已知桿端彎矩后，應(yīng)用擬簡(jiǎn)支梁區(qū)段疊加法可畫出彎矩圖M如圖15.30(c)所示。

第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

現(xiàn)將用力矩分配法計(jì)算一般連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)側(cè)移剛架的步驟歸納如下：

①計(jì)算匯交于各結(jié)點(diǎn)的各桿端的分配系數(shù)μik，并確定傳遞系數(shù)C1k。

②根據(jù)荷載計(jì)算各桿端的固端彎矩MFik及各結(jié)點(diǎn)的約束力矩MFi。

③逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)，并對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)按分配系數(shù)將約束力矩反號(hào)分配給匯交于該結(jié)點(diǎn)的各桿，然后將各桿端的分配彎矩乘以傳遞系數(shù)傳遞至另一端。按此步驟循環(huán)計(jì)算直至各結(jié)點(diǎn)上的傳遞彎矩小到可以略去時(shí)為止。第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

④將各桿端的固端彎矩與歷次的分配彎矩和傳遞彎矩相加，即得各桿端的最后彎矩。

⑤繪彎矩圖，進(jìn)而可作剪力圖和軸力圖。第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日【例15.14】試用力矩分配法作圖15.31(a)所示連續(xù)梁的彎矩圖?！窘狻?/p>

(1)

計(jì)算分配系數(shù)結(jié)點(diǎn)B：SBA=4iBA=4×6=24SBC=4iBC=4×4=16μBA=SBA/(SBA+SBC)=24/(24+16)=0.6μBC=SBC/(SBA+SBC)=16/(24+16)=0.4校核：0.6+0.4=1第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.31第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日結(jié)點(diǎn)C：SCB=4iCB=4×4=16SCD=4iCD=4×4=16μCB=SCB/(SCB+SCD)=0.5μCD=SCD/(SCB+SCD)=0.5校核：0.5+0.5=1結(jié)點(diǎn)D：SDC=4iDC=4×4=16SDE=4iDE=4×6=24第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日μDC=SDC/(SDC+SDE)=16/(16+24)=0.4μDE=SDE/(SDC+SDE)=0.6校核：0.4+0.6=1結(jié)點(diǎn)E：SED=4iED=4×6=24SEF=0μED=SED/(SED+SEF)=1μEF=SEF/(SED+SEF)=0校核：1+0=1將分配系數(shù)填入圖15.31(b)的相應(yīng)位置。第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(2)

計(jì)算固端彎矩將結(jié)點(diǎn)B、C、D、E固定，由表14.2求各桿的固端彎矩分別為MFBC=-Pab2/l2=-90×2×42/62kN·m=-80kN·mMFCB=Pa2b/l2=40kN·mMFCD=-ql2/12=-60kN·mMFDC=ql2/12=60kN·mMFDE=-Pl/8=-30kN·mMFED=Pl/8=30kN·mMFEF=-Pl=-20×2kN·m=-40kN·m第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日將各固端彎矩填入圖15.31(b)所示相應(yīng)位置。

(3)按先B、D后C、E的順序，依次在結(jié)點(diǎn)處進(jìn)行力矩分配與傳遞，并求得各桿端的最后彎矩，如圖15.31(b)所示。

(4)作M圖根據(jù)各桿端彎矩和荷載，用疊加法作彎矩圖如圖15.31(c)所示。第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日【例15.15】試作圖15.32(a)所示剛架的內(nèi)力圖。【解】

(1)

計(jì)算分配系數(shù)結(jié)點(diǎn)B：SBA=4iBA=4×EI/8=0.5EISBC=4iBC=4×2EI/8=EIμBA=SBA/(SBA+SBC)=0.333μBC=SBC/(SBA+SBC)==0.667校核：0.333+0.667=1結(jié)點(diǎn)C：SCB=4iCB=EISCE=4iCE=4×2EI/8=EI第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日?qǐng)D15.32第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日SCD=4iCD=4×EI/8=0.5EIμCB=SCB/(SCB+SCD+SCE)=0.4μCE=SCE/(SCB+SCD+SCE)=0.4μCD=SCD/(SCB+SCD+SCE)=0.2校核：0.4+0.4+0.2=1將分配系數(shù)填入圖215.32(b)的相應(yīng)位置。

(2)

計(jì)算固端彎矩利用表14.2求得各桿的固端彎矩MFCE=-ql2/12=-53.3kN·mMFEC=ql2/12=53.3kN·m第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

其余各固端彎矩均為零。將固端彎矩填入圖15.32(b)所示的相應(yīng)位置。

(3)在結(jié)點(diǎn)C、B循環(huán)交替進(jìn)行力矩分配與傳遞，并通過疊加求得各桿端最后彎矩，計(jì)算過程如圖15.32(b)所示。

(4)作M圖根據(jù)桿端最后彎矩和荷載作彎矩圖如圖15.32(c)所示。

(5)作Q圖根據(jù)各桿的桿端彎矩及桿上的荷載，逐桿求出桿端剪力作剪力圖。由圖15.32(a)、(c)可見：①AB、BC、CD各桿無荷載，其剪力均等于常數(shù)，且Q=-∑M桿端/l于是第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日QAB=QBA=0.7kNQBC=QCB=-2.8kNQCD=QDC=-2.2kN②