誤差與范數(shù)概念附習題與答案

00x第一章

誤差與范誤的源例1.1.1用差商

f

f(a)f()h

求

f(xln

在

x

處導數(shù)的近似值取，1=0.000000000000001和h=0.000000000000分別用MATLAB軟計算，取十位數(shù)字計.解在工窗口輸入下面程序運行后得將此程序中

改為0.0001，運行后得后者比前者.再取h=0.000000000000001，運行后得不如前者好取h=0.000000000000000，運行后得算出的結果反而毫無價值.例1.1.2分別求方程AX在列情況時的解，中

A

1

.（）

b

;（）

2b

.解1）首將方程組化為同解方程輸入程序

XA

，然后在MATLAB工窗口運行后輸出當

b的為

；2（）理可得，當bAX的為例1.1.3計算近似值

.解泰級數(shù)e

1

x

x2xx4xn2!4!

(

取

x

，得

1!4!

（1.2）這是一個無限過程，計算機無法求到精確只能在1.2）取有限項時計，再估計誤差如果取有限項11()2!!n作為

的值必然會有誤差，根據(jù)泰勒余項定理可知其截斷誤差為/

4８６=4８６=e

s(1)

(n

如果?。?.2）的前九項，輸入序或運行后結果因為截斷誤差為

e3(8

-6

(0

所以e的似值

s

1111112!!!7!8!

1.2誤和效字例1.2.1取28作e的舍五入近似值時，求其絕對誤差和相對誤.解在工窗口輸入程序運行后輸出結果為例1.2.2

計算

20

sinxx

d的近似值，并確定其絕對誤差和相對誤.解因被積函數(shù)

xx

的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故用泰勒級數(shù)求sinxxxx!５!

(

（1.5）這是一個無限過程，計算機無法求到精確可用（）前四項

xx!５!

代替被積函數(shù)

xx

，得y

20

sinx

d0

(

1

()x2x4x６!!2

()()727

=y.根據(jù)泰勒余項定理和交錯級數(shù)收斂性的判別定理，得到絕對誤差/

2**kkkk2**kkkkRy

()

=，在MATLAB命窗口輸入計算程序如下：因為運行后輸出結果為：y

，

R

WU=

所以，

的絕對誤差為

，故

y

20

sinx

d

x

.

的相對誤差為

r

1.3707

3%.1.3

誤估的本法例1.3.4設計三種算求方程并研究每種算法的誤差傳播情.

2在的個根

的近似值，解為已知方程我可以設計如三種算法然后將計算結果與此方程的精確解

x2.5

比較，觀察誤差的傳.算1將知方程化為解方程

xx

2

.取初值

x2

，按迭代公式kk依次計算xxx,，果列入表–3.2n15算2將知方程化為解方程2x15x2xx,依次計算，結果列入表1–中2n

.取值

x

，按迭代公式算

將已知方程化為同解方程

x

xx

.取初值

x2

，按迭代公式為依次計算

xx,2n

2x4k，結果列入表1–中我們?yōu)檫@三種算法的計算編寫兩套MATLAB序如下：（）主序輸入的量是值迭代次數(shù)和精確輸出的量每次迭代次數(shù)和代值的對差和相對誤，/

程中用（）調(diào)函數(shù)程序及其計算結果①算法2的MATLAB調(diào)函數(shù)程②將ATLAB主程序和調(diào)用函數(shù)序分別命liti112.m和l.m分別保存文件，然后在MATLAB工作窗口輸入命令③運行后輸出計算結果列入表13和表1-4.④將算法2的MATLAB調(diào)用函程序的函分別用y1=15-2*x^2和y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)替得到算法算法3的用函數(shù)程序，將其保存，行后將三種算法的前8個迭值

xx,2

列在一見1-3比.將三種算法的

xx,2

對應的絕對誤差和相對誤差的值列在一起（見表1-4行比較表1-3例1.3.4中種算法的計算結果算法

算法1的迭代結果

算法2的代結果

算法3的迭結果迭代次數(shù)

763-378840

0000000000857148378496356

0000055556550060000600000

-2.8704-1.6478

9635677484

0000000000

-5.4307

90165

00000

-Inf2.50001表1-4例1.3.4中種算法計算結果的誤差

00000算法

算法1的差

算法2的差

算法3的差迭代

絕對誤差

相對誤差

絕對誤差

相對誤差

絕對誤差

相對誤差次數(shù)

0.5004.500000001300378326

0.2500.6421.0300.0001.000

0.5000.5000.3570.3370.253

0.2500.166666700.1190.112

0.5000.0550.0000.0000.000

0.2500.0210.0000.0000.000

2.8701.647

35

11

0.2300.178

0.0840.076

00

00

5.430Inf

1

0.1570.000

0.0590.000

00

001.4

數(shù)計中注的題/

77例1.4.1求

值解（1直接用命運行后輸出結果問題出現(xiàn)在兩個相近的數(shù)

1

與

相減時，計算機運行程序運行后輸出結果由于計算機硬件只支持有限位機器數(shù)的運算，因此在計算中可能引入和傳播舍入誤差因有效數(shù)字的嚴重損失輸出

的結果為算機不能再與數(shù)

7

15繼續(xù)進行真實的計算，所以，最后輸出的結果與（2如果化為

的精確值不x

1

，1

再用命運行后輸出結果這是因為

1

化為

8

后，計算機運行程序1運行后的結果為由于有效數(shù)字的損失甚少，所以運算的結果

-18

再與

7

15

繼續(xù)計算，最后輸出的結果與

的精確值相差無.例1.4.2求

2

的近似值解（1直接用程運行后輸出結果輸入程序運行后輸出結果（）為

中的

x

很大，如果采用倒變法zx1

1x

2

，即

2

ln

130302

ln(30900

.輸入程運行后輸出結果（3輸入MATLAB程/

yx而yx而y.為什么僅僅比*151運行后輸出結果可見）算的近似值比1）的誤差小.參加計算的數(shù)，有時數(shù)量級相差很如果不注意采取相應的措施，在它們的加減法運算中，絕對值很小的那個數(shù)經(jīng)常會被絕對值較大的那個數(shù)“吃掉發(fā)其作用，造成計算結果失.例1.4.4

請在16位進制數(shù)值精度計算機上利用軟件MATLAB計下面的兩個數(shù)x*1110.10.3

和

y*將計算結果與準確值比較，解釋計算結解在工窗口輸入下面程序運行后輸出結果，從輸出的結果可以看出

x

****

多一位而

y

*

呢？這是因計機行算，首要參運的寫絕值于而“碼相的這一過稱數(shù)對在16位十制數(shù)值精度計算機上利用軟件MATLAB計算這兩個數(shù)，把運算的數(shù)寫成浮點規(guī)格化形式為x

*

15

0.000

15315，在16位進制數(shù)值精度計算機的數(shù)都表示為小數(shù)點后面16位字的數(shù)與

1

之積，所以，計算機沒有對數(shù)進行截斷，而是按原來的三個數(shù)進行計因此，計算的結