誤差與范數(shù)概念附習(xí)題與答案

00x第一章

誤差與范誤的源例1.1.1用差商

f

f(a)f()h

求

f(xln

在

x

處導(dǎo)數(shù)的近似值取，1=0.000000000000001和h=0.000000000000分別用MATLAB軟計(jì)算，取十位數(shù)字計(jì).解在工窗口輸入下面程序運(yùn)行后得將此程序中

改為0.0001，運(yùn)行后得后者比前者.再取h=0.000000000000001，運(yùn)行后得不如前者好取h=0.000000000000000，運(yùn)行后得算出的結(jié)果反而毫無價(jià)值.例1.1.2分別求方程AX在列情況時(shí)的解，中

A

1

.（）

b

;（）

2b

.解1）首將方程組化為同解方程輸入程序

XA

，然后在MATLAB工窗口運(yùn)行后輸出當(dāng)

b的為

；2（）理可得，當(dāng)bAX的為例1.1.3計(jì)算近似值

.解泰級數(shù)e

1

x

x2xx4xn2!4!

(

取

x

，得

1!4!

（1.2）這是一個(gè)無限過程，計(jì)算機(jī)無法求到精確只能在1.2）取有限項(xiàng)時(shí)計(jì)，再估計(jì)誤差如果取有限項(xiàng)11()2!!n作為

的值必然會有誤差，根據(jù)泰勒余項(xiàng)定理可知其截?cái)嗾`差為/

4８６=4８６=e

s(1)

(n

如果?。?.2）的前九項(xiàng)，輸入序或運(yùn)行后結(jié)果因?yàn)榻財(cái)嗾`差為

e3(8

-6

(0

所以e的似值

s

1111112!!!7!8!

1.2誤和效字例1.2.1取28作e的舍五入近似值時(shí)，求其絕對誤差和相對誤.解在工窗口輸入程序運(yùn)行后輸出結(jié)果為例1.2.2

計(jì)算

20

sinxx

d的近似值，并確定其絕對誤差和相對誤.解因被積函數(shù)

xx

的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故用泰勒級數(shù)求sinxxxx!５!

(

（1.5）這是一個(gè)無限過程，計(jì)算機(jī)無法求到精確可用（）前四項(xiàng)

xx!５!

代替被積函數(shù)

xx

，得y

20

sinx

d0

(

1

()x2x4x６!!2

()()727

=y.根據(jù)泰勒余項(xiàng)定理和交錯級數(shù)收斂性的判別定理，得到絕對誤差/

2**kkkk2**kkkkRy

()

=，在MATLAB命窗口輸入計(jì)算程序如下：因?yàn)檫\(yùn)行后輸出結(jié)果為：y

，

R

WU=

所以，

的絕對誤差為

，故

y

20

sinx

d

x

.

的相對誤差為

r

1.3707

3%.1.3

誤估的本法例1.3.4設(shè)計(jì)三種算求方程并研究每種算法的誤差傳播情.

2在的個(gè)根

的近似值，解為已知方程我可以設(shè)計(jì)如三種算法然后將計(jì)算結(jié)果與此方程的精確解

x2.5

比較，觀察誤差的傳.算1將知方程化為解方程

xx

2

.取初值

x2

，按迭代公式kk依次計(jì)算xxx,，果列入表–3.2n15算2將知方程化為解方程2x15x2xx,依次計(jì)算，結(jié)果列入表1–中2n

.取值

x

，按迭代公式算

將已知方程化為同解方程

x

xx

.取初值

x2

，按迭代公式為依次計(jì)算

xx,2n

2x4k，結(jié)果列入表1–中我們?yōu)檫@三種算法的計(jì)算編寫兩套MATLAB序如下：（）主序輸入的量是值迭代次數(shù)和精確輸出的量每次迭代次數(shù)和代值的對差和相對誤，/

程中用（）調(diào)函數(shù)程序及其計(jì)算結(jié)果①算法2的MATLAB調(diào)函數(shù)程②將ATLAB主程序和調(diào)用函數(shù)序分別命liti112.m和l.m分別保存文件，然后在MATLAB工作窗口輸入命令③運(yùn)行后輸出計(jì)算結(jié)果列入表13和表1-4.④將算法2的MATLAB調(diào)用函程序的函分別用y1=15-2*x^2和y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)替得到算法算法3的用函數(shù)程序，將其保存，行后將三種算法的前8個(gè)迭值

xx,2

列在一見1-3比.將三種算法的

xx,2

對應(yīng)的絕對誤差和相對誤差的值列在一起（見表1-4行比較表1-3例1.3.4中種算法的計(jì)算結(jié)果算法

算法1的迭代結(jié)果

算法2的代結(jié)果

算法3的迭結(jié)果迭代次數(shù)

763-378840

0000000000857148378496356

0000055556550060000600000

-2.8704-1.6478

9635677484

0000000000

-5.4307

90165

00000

-Inf2.50001表1-4例1.3.4中種算法計(jì)算結(jié)果的誤差

00000算法

算法1的差

算法2的差

算法3的差迭代

絕對誤差

相對誤差

絕對誤差

相對誤差

絕對誤差

相對誤差次數(shù)

0.5004.500000001300378326

0.2500.6421.0300.0001.000

0.5000.5000.3570.3370.253

0.2500.166666700.1190.112

0.5000.0550.0000.0000.000

0.2500.0210.0000.0000.000

2.8701.647

35

11

0.2300.178

0.0840.076

00

00

5.430Inf

1

0.1570.000

0.0590.000

00

001.4

數(shù)計(jì)中注的題/

77例1.4.1求

值解（1直接用命運(yùn)行后輸出結(jié)果問題出現(xiàn)在兩個(gè)相近的數(shù)

1

與

相減時(shí)，計(jì)算機(jī)運(yùn)行程序運(yùn)行后輸出結(jié)果由于計(jì)算機(jī)硬件只支持有限位機(jī)器數(shù)的運(yùn)算，因此在計(jì)算中可能引入和傳播舍入誤差因有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失輸出

的結(jié)果為算機(jī)不能再與數(shù)

7

15繼續(xù)進(jìn)行真實(shí)的計(jì)算，所以，最后輸出的結(jié)果與（2如果化為

的精確值不x

1

，1

再用命運(yùn)行后輸出結(jié)果這是因?yàn)?/p>

1

化為

8

后，計(jì)算機(jī)運(yùn)行程序1運(yùn)行后的結(jié)果為由于有效數(shù)字的損失甚少，所以運(yùn)算的結(jié)果

-18

再與

7

15

繼續(xù)計(jì)算，最后輸出的結(jié)果與

的精確值相差無.例1.4.2求

2

的近似值解（1直接用程運(yùn)行后輸出結(jié)果輸入程序運(yùn)行后輸出結(jié)果（）為

中的

x

很大，如果采用倒變法zx1

1x

2

，即

2

ln

130302

ln(30900

.輸入程運(yùn)行后輸出結(jié)果（3輸入MATLAB程/

yx而yx而y.為什么僅僅比*151運(yùn)行后輸出結(jié)果可見）算的近似值比1）的誤差小.參加計(jì)算的數(shù)，有時(shí)數(shù)量級相差很如果不注意采取相應(yīng)的措施，在它們的加減法運(yùn)算中，絕對值很小的那個(gè)數(shù)經(jīng)常會被絕對值較大的那個(gè)數(shù)“吃掉發(fā)其作用，造成計(jì)算結(jié)果失.例1.4.4

請?jiān)?6位進(jìn)制數(shù)值精度計(jì)算機(jī)上利用軟件MATLAB計(jì)下面的兩個(gè)數(shù)x*1110.10.3

和

y*將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較，解釋計(jì)算結(jié)解在工窗口輸入下面程序運(yùn)行后輸出結(jié)果，從輸出的結(jié)果可以看出

x

****

多一位而

y

*

呢？這是因計(jì)機(jī)行算，首要參運(yùn)的寫絕值于而“碼相的這一過稱數(shù)對在16位十制數(shù)值精度計(jì)算機(jī)上利用軟件MATLAB計(jì)算這兩個(gè)數(shù)，把運(yùn)算的數(shù)寫成浮點(diǎn)規(guī)格化形式為x

*

15

0.000

15315，在16位進(jìn)制數(shù)值精度計(jì)算機(jī)的數(shù)都表示為小數(shù)點(diǎn)后面16位字的數(shù)與

1

之積，所以，計(jì)算機(jī)沒有對數(shù)進(jìn)行截?cái)?，而是按原來的三個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)因此，計(jì)算的結(jié)