linear system theory lec第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析

LinearSystemTheoryLecture4泰 Add9樓西401第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)交通大學(xué)先進(jìn)控制系定常系

A(t)xB(t)u,xt0x0,tt0,taAx x(0)x0 t交通大學(xué)先進(jìn)控制系0 aij(t)dt,i,j0B(t)各元bik(t)在t0,ta上是平方可積2 i1,·,n;k1,·,20u(t)uk(t)在t0,ta上是平方可積2uk(t)dt k1,·,20交通交通大學(xué)先進(jìn)控制系（強(qiáng)迫運(yùn)）自治方程A(t)x,xt0x0,tt0,ta的解，用t,t0,x0表示，稱其為零輸入交通大學(xué)先進(jìn)控制系零初始狀態(tài)下的強(qiáng)A(t)xB(t)u,xt00,tt0,ta的解，用t,t0,0,表示，稱其為零狀態(tài)t,t0,x0,ut,t0,x0,0t,t0,0,交通大學(xué)先進(jìn)控制系齊次線性方)A(t)x(t)(t(t)1(t)2(t)…n稱為方程的基本解陣交通大學(xué)先進(jìn)控制系性質(zhì) 如果 滿足方且對某個(gè)t0 ，t0非奇異，那么(t) 證明：反證

inaiit0 a1,a2,...,ni交通大學(xué)先進(jìn)控制系與t交通大學(xué)先進(jìn)控制系

存在且不全為性質(zhì) 對任意t，基本解陣(t)是非奇異的證明：若t0奇異，1t02t0·nt0naiit0 a1a2 ni定義

x(t)aiinn

是解，并滿x(t0因?yàn)?也是滿足初始條件x(t0)0的解，唯一n得 x(t)aii(t) 與(t)非奇ni交通大學(xué)先進(jìn)控制系注：(t)或恒等于交通大學(xué)先進(jìn)控制系令t是齊次方程的基本解陣，則矩t,t0t t0,t稱t,t0為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣交通大學(xué)先進(jìn)控制系狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的 t,t:對任意t0t1t,tt,t 傳遞性:對任意t0、t1和t2t2,t0t2,t1t1,t0交通大學(xué)先進(jìn)控制系 設(shè)t,t0為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且系統(tǒng)滿足解的存在惟一性條件，則t,t0與(t,t0A(t)(t(t,t)證明

(t)A(t)x(t) 22(t)1

基解交通大學(xué)先進(jìn)控制系t,t02

1

(t)PP

1

1t

1

1

t,t 交通大學(xué)先進(jìn)控制系A(chǔ)(t)xB(t)u,x(t0)x0,t[t0,tayC(t)x零輸入響零初始狀態(tài)

(t,t0,x0,(t,t0,0,時(shí)變線性系統(tǒng)的零輸入響A(t)x,x(t0)x0,t(t,t0,x0,交通大學(xué)先進(jìn)控制系結(jié)論設(shè)線性系統(tǒng)滿足解的存在惟一性條件(tt0)為其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則(t,t0,x0,0)(t,t0)上述定理說明了(t,t0,x00)是初值x0在算子(t下的

零輸入的輸出響應(yīng)：即下述自由系A(chǔ)(t)x,x(t0)x0,tyC(t)(t,t0,x0,0)C(t)(t,t0)交通大學(xué)先進(jìn)控制系時(shí)變線性系統(tǒng)的零初始狀態(tài)零初始狀態(tài)下的狀態(tài)響應(yīng)：(t,t00u)即如下受A(t)xB(t x(t0)0,t足方程即結(jié)論設(shè)系統(tǒng)滿足解的存在惟一性條件，記足方程即t0(t,t0,0,u)t(t,)B()u(0交通大學(xué)先進(jìn)控制系(t,t,0,0 (t,)B(t)d(t,t)B(t)u(t)0

(t,)B()u()d

方A(t)(t,t0,0,u)方滿足初始條(t0,t0,0,u滿足初始條的輸(t,t00u)為：A(t)xB(t)u, x(t0)0,t(t,t,0,u)C0(t,t,0,u)C00交通大學(xué)先進(jìn)控制系時(shí)變線性系統(tǒng)的整體整體狀態(tài)響

(t,t0,x0,整體輸出響(tt0,x0則 (t,t0,x0,u)(t,t0,0,u)(t,t0,x0,(t,t0,x0,u)(t,t0,0,u)(t,t0,x0,(t,t,x,u)(t,t) (t,00 tt0(t,t,x,t00C )xC (t,t0交通大學(xué)先進(jìn)控制系線性定常系A(chǔ)x x(t0)x0,tyCx矩陣指數(shù)函數(shù)

IAt

A2t2.

Aktk k0k矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本交通大學(xué)先進(jìn)控制系結(jié)論ARnn1limeAt1t2eA(teAteAeAeAtt,3eAt為可逆矩(eAt)1e4、對于與A可交換的n階方陣Fe(AF eAteFteFte5、d

AeAteAt6(eAt)meAmtm0,18eAtL1(sI

eAtPeFtP交通大學(xué)先進(jìn)控制系(此處L為交通大學(xué)先進(jìn)控制系方法 基于Levirrier算法求取e系統(tǒng)的書，此處略方法 基于Jordan分解求取e

，找線設(shè)A具有互異特征值i,i1,2,.,n,pi為A的與i相對應(yīng)的特征向量，記P p2.pn

e2t

.ent

P

Pdiag(J1,J2,.,Jl交通大學(xué)先交通大學(xué)先進(jìn)控制系

Pdiag(eJ1t,eJ2t,.,eJlt)P結(jié)結(jié)

1t

tp1 ( · tp2

(

; 方法 利用Cayley-Hamilton定理計(jì)算eCayley-Hamilton定理eAt可表為下述eAt(t)I(t)A· 其中的系數(shù)i(t),i0,1,2,·n命題計(jì) 交通大學(xué)先進(jìn)控制系1設(shè)A為階方0(t)

·

1e

11(t) 11

n1 e2t

·:

:

n1

t

·

neAt(t)I(t)A· eAtPeJtP[0(t)I1(t)J·n1

n10(t)I1(t)J·n1

P1eAtP交通大學(xué)先進(jìn)控制系2當(dāng)A具有重特征值但為循環(huán)陣時(shí)，比如其證明交通大學(xué)先進(jìn)控制系0(t)

(n1)(n

1

n3 t2e1t (t)

1 1

(n

n2

te1t 2(t)

2 3

n

e (t)

3 3

(n

t4(t)

te

3

5(t)

3

:

:

2

3 3

en3 交通大學(xué)先進(jìn)控制系線性定常系統(tǒng)定理定常線性Ax x(t0)x0,tyCx的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為(t,)eA(t證明：解的唯一性+矩陣指數(shù)函數(shù)的性)A(t,t0(t,t)I, 0,t 移矩陣卻為一單元函數(shù)(t)。交通大學(xué)先進(jìn)控制系定理給定線性定常系0(t,t,x,0)eA(tt0)00,0)0,0)

,

0A(tt0(t,t0,0,

t(t,t0,0,u)t Bu()dtA(t0t (t,t,x,u)eA(tt0)xeA(t)Bu( 0t0(t,t0,x0,u)CeA(tt0)0

tCeA(t)Bu()d交通大學(xué)先進(jìn)控制系ipCi

,i1,2,.,n

P

.pn則(t,t,x,0)

e2(tt0)

.en(tt0)

證明

P1AP PeJtP交通大學(xué)先進(jìn)控制系結(jié)構(gòu)配P結(jié)構(gòu)配

e2t

·ent

P t(t,t0,x0,0)eA(tt0

e2(tt0) ·en(tt0)

00交通大學(xué)先進(jìn)控制系 CeA(tt0)x0 PeJtPttCeA(t)Bu()d0 1x0u,t例已知系

求其在初始狀態(tài)下x(0)[1 和在u1(t)作用下的零初始狀態(tài)響應(yīng)。A

1,B 交通大學(xué)先進(jìn)控制系矩陣A的特征值 11,2相對應(yīng)的兩個(gè)特征

p1,p1 1 2 2P 1,P1 eAt

et

p2

et2e2t

(t,t0,x0,0)et,t