初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)（一）函數(shù)與三角形（37張PPT）

2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)（一）

函數(shù)與三角形湖北省仙桃市下查埠學(xué)校初中部饒興國

一、解題方法：1.二次函數(shù)解析式的確定：?根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法。一般來說，有如下三種情況：

①.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

y＝ax2＋bx+c

.(a≠0，a、b、c為常數(shù).)②.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

y＝a(x－x1)(x－x2)

.(a≠0，a、x1、x2

為常數(shù).)③.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)或者對(duì)稱軸或者最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式。

y＝a(x－h(huán))2＋k

.(a≠0，a、h、k

為常數(shù).)2.二次函數(shù)為背景的動(dòng)點(diǎn)的確定：(1)動(dòng)點(diǎn)形成等腰三角形，可以畫“一線兩圓”來確定動(dòng)點(diǎn)；(2)動(dòng)點(diǎn)形成直角三角形，可以根據(jù)直角作垂直或畫圓來確定動(dòng)點(diǎn)；(3)動(dòng)點(diǎn)形成的相似三角形，可以根據(jù)確定三角形的形狀去確定動(dòng)點(diǎn)；(4)動(dòng)點(diǎn)形成的平行四邊形，可以通過平移或旋轉(zhuǎn)來確定動(dòng)點(diǎn)；(5)動(dòng)點(diǎn)形成的面積問題，可以直觀確定。3.一次函數(shù)解析式的確定：y＝kx+b.(k≠0，k、b為常數(shù).)①.根據(jù)直線的解析式和圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來確定；②.根據(jù)直線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來確定；③.根據(jù)函數(shù)的圖像來確定；④.根據(jù)直線的對(duì)稱性來確定；⑤.根據(jù)平移規(guī)律來確定。4.全等三角形判定方法：①三角形的其中兩條邊對(duì)應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(邊角邊SAS)②三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(邊邊邊SSS)③三角形的其中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且兩個(gè)角夾的邊也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(角邊角ASA)④三角形的其中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)相等的角所對(duì)應(yīng)的邊也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(角角邊AAS)⑤在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.(斜邊、直角邊HL)附加:平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)φ鄣膬蓚€(gè)三角形全等.5.相似三角形的判定方法：①平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。②如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似。③如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似。④如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似。⑤直角三角形的斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。6.等邊三角形的判定方法：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。③有兩個(gè)角是60度的三角形是等邊三角形。④有一個(gè)角為60度的等腰三角形是等邊三角形。7.等腰三角形的判定方法：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩底角相等的三角形是等腰三角形。③高是底邊中線或垂直平分線和頂角的角平分線的三角形是等腰三角形。1、如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)，過點(diǎn)

和

，過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸與點(diǎn)C。（1）求拋物線的解析式。（2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)。（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得

若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。二、真題解析：

（1）因?yàn)辄c(diǎn)A、B在拋物線上，把點(diǎn)

代入二次函數(shù)解析式得：

所以拋物線解析式為：{∴{①②①×9－②得：代入①得：解：（2）

A、C、D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以

由題意，在△ADP與△ACO中，

∠ACO=∠ADP=90°，在Rt△ACO中，30?①如圖：當(dāng)∠APD=30?時(shí)，△ADP∽△ACO，則：又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以{所以如果以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，那么∠APD=30?或∠PAD=30??？梢苑譃橐韵氯N情況討論：即{{因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)P不重合，②如圖：當(dāng)∠PAD=30?時(shí)，△ADP∽△ACO，則：30?B又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以{即{{因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)P不重合，③如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC的下方時(shí)，∠PAD=30?，△ADP∽△ACO，則：又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以{即{{因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)P不重合，（3）如圖，在CA的延長線上取點(diǎn)M，使AM=3CA，因?yàn)镃A∥x軸，則：如圖，過點(diǎn)M作AO的平行線，與拋物線交于點(diǎn)Q，那么，S△AOQ

=S△AOM,作QN⊥AC于N，那么，∠NQM=∠CEM=∠COA=30°，E即{{2、如圖所示，二次函數(shù)y＝k(x-1)2+2的圖象與一次函數(shù)y＝kx-k+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k＜0．（1）求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．CBADo

（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k(x-1)2+2＝kx-k+2，

整理得：(x-1)2＝x-1,(x-1)(x-2)＝0.解之得：xA＝1，xB＝2.則故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(2,k+2).{{解：（2）在△OAB中，已知O(0,0)，A(1,2)、B(2,k+2)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：OA2=12+22，AB2=12+k2,①當(dāng)OA＝AB時(shí)，即:5＝1+k2，解得：k＝±2（舍去2）；②當(dāng)OA＝OB時(shí)，即:5＝4+(k+2)2，解得:k＝-1或k＝-3；故k的值為:-1或-2或-3.OB2=22+(k+2)2.（3）存在，理由：〈1〉當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，在x軸上取點(diǎn)F(3,0),因?yàn)閤E=1，xB=2，所以，點(diǎn)B在EF的垂直平分線上，延長FB交y軸于點(diǎn)H，那么：∠EBH=2∠BEC，所以，∠ODC=∠EBH.①延長BE交y軸于點(diǎn)G，在△GDB和△GBH中，因?yàn)椤螱DB=∠GBH，∠DGB=∠HGB，所以，△GDB∽△GBH，那么，②作BM⊥x軸M，E是OM的中點(diǎn)，OE=EM，∠GEO=∠BEM，所以：△GOE≌△BEM，GO=BM=k+2，GB=2EB.則有，GB2=4EB2=4[12+(k+2)2].在Rt△OFH和Rt△MFB中，BM∥HO，∠HFO=∠BFM，所以，△OFH∽△MFB，那么，HO=3BM=3(k+2),GH=GO+HO=k+2+3(k+2)=4(k+2).在直線y＝kx-k+2上,當(dāng)x=0，y=2-k,即，D(0,2-k),DO=2-k.所以，GD=GO+DO=k+2+2-k=4.由GB2=GH·GD,得：4[12+(k+2)2]=4×4(k+2).整理，得：k2-3=0,〈2〉當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，在x軸上取點(diǎn)F(3,0),延長FB交y軸于點(diǎn)H，延長BE交y軸于點(diǎn)G.由∠ODC=2∠BEC=∠HBG，∠DHB=∠GHB，得:△DHB∽△GHB，HB2=HG·HD.作BM⊥x軸M，E是OM的中點(diǎn)，OE=EM，∠GEO=∠BEM，∠HFO=∠BFM，所以：△GEO≌△BEM，GO=BM，由B(2,k+2)得，BM=GO=-(k+2).所以：△OFH∽△MFB，HO=3BM=-3(k+2),因?yàn)镚H=GO+HO=-(k+2)-3(k+2),所以GH=-4(k+2).又因?yàn)镠D=HO+DO=-3(k+2)+2-k,所以HD=-4(k+1).所以：HB=2BF,HB2=4BF2,由BF2=[-(k+2)]2+12=(k+2)]2+12，得：HB2=4[(k+2)2+12]由HB2=HG·HD，得：4[(k+2)2+12]=[-4(k+2)][-4(k+1)]，整理，得：3k2+8k+3=0,3.如圖,拋物線y＝ax2＋bx+c,(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,5),與x軸相交于B(-1,0),C(3,0)兩點(diǎn).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上,且位于x軸的上方,將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D,若點(diǎn)C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上,求點(diǎn)C'和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)設(shè)P是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)△CPQ為等邊三角形時(shí),求直線BP的函數(shù)表達(dá)式.解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,5),與x軸相交于B(-1,0),C(3,0)兩點(diǎn).設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為y＝a(x+1)(x-3).代入點(diǎn)A(-2,5),得，5=a(-2+1)(-2-3).5=5a,a=1.所以，y＝(x+1)(x-3)=x2-2x-3.

（2）如圖，因?yàn)椤鰾CD沿直線BD翻折得到△BC'D，點(diǎn)C'落在拋物線的對(duì)稱軸上,連接C'C，所以，BC=BC',BC'=C'C，則，△BC'C是等邊三角形，∠CBD=∠C'BD=30°，又因?yàn)閽佄锞€與x軸相交于B(-1,0),C(3,0)，所以，BC=1+3=4，

BC'=C'C=4，因?yàn)閷?duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，且x=1，所以，H點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),BH=2.在Rt△BHD中，∠HBD=30?,BH=2,在Rt△BHC'中，BC'=4，BH=2,C'H2+BH2=C'B2,(3)等邊三角形BC'C與等邊三角形QCP有一個(gè)公共點(diǎn)C，分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，△BCQ繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與△C'CP重合.所以，PC'=BQ，PC=QC.當(dāng)點(diǎn)Q落在對(duì)稱軸上時(shí)，BQ=QC，等量代換，得到PC'=PC，所以點(diǎn)P在線段C'C的垂直平分線上.又因?yàn)橹本€BD垂直平分C'C，所以直線BP就是BD.設(shè)