教育測(cè)量 第五講 幾種常用的檢驗(yàn)方法

教育測(cè)量第五講幾種常用的檢驗(yàn)方法第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)幾種常用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法一、關(guān)于統(tǒng)計(jì)值之間差異的研究這些差異一般分為兩種情況討論：樣本統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的總體參數(shù)的差異兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量之間的差異。我們所關(guān)心的是從樣本統(tǒng)計(jì)值得到的差異能否作出一般性的結(jié)論——也就是總體參數(shù)之間是否確實(shí)存在差異。第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題二、關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)中進(jìn)行由樣本差異推斷總體差異的推論過程，稱為是假設(shè)檢驗(yàn)。經(jīng)過檢驗(yàn)，如果所得到的差異超過了統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)定的某一誤差限度，則表明這個(gè)誤差已經(jīng)不屬于抽樣誤差，而是總體確實(shí)有差異，這種情況就叫差異顯著；反之，差異達(dá)不到規(guī)定限度，說明該差異主要來源于抽樣誤差，稱差異不顯著。第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題具體來說，如果樣本統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的總體已知參數(shù)差異顯著，則意味著該樣本已基本不屬于已知總體；若兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的差異顯著，則意味著各自代表的兩個(gè)總體參數(shù)之間確實(shí)存在差異。第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題三、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的意義統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的一個(gè)重要內(nèi)容就是進(jìn)行差異的顯著性檢驗(yàn)（檢驗(yàn)差異到底是來自總體還是來自樣本）如果在某種標(biāo)準(zhǔn)下，檢驗(yàn)結(jié)果差異顯著，則差異來自總體；如果差異不顯著，差異來自于樣本，或者說，差異是由于抽樣的原因而引起的。第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題四、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的思想和方法檢驗(yàn)的思想是用反證法。檢驗(yàn)時(shí)，我們先假設(shè)兩個(gè)總體平均數(shù)沒有顯著性差異，即μ1=μ2，這種假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)H0,然后通過檢驗(yàn),檢驗(yàn)其是否成立.如果差異大,就否定假設(shè)H0,如果差異小,就接受假設(shè)H0.統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有無差異必須以一定的標(biāo)準(zhǔn)去衡量.第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題五、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1、提出原假設(shè)H0，即零假設(shè)；2、選擇和計(jì)算教育統(tǒng)計(jì)量；3、對(duì)給定的顯著性水平α確定臨界值；4、將統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，從而決定是拒絕還是接受原假設(shè)。第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日Z檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）2、分類根據(jù)樣本的多少可以分為單總體的Z檢驗(yàn)和雙總體的Z檢驗(yàn)。

適用條件：1、已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，或者總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但樣本為大樣本的平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)。因?yàn)榇髽颖镜钠骄鶖?shù)的抽樣分布服從于正態(tài)分布。故可采用統(tǒng)計(jì)量Z

檢驗(yàn)。1、已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，或者總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但樣本為大樣本的平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)。因?yàn)榇髽颖镜钠骄鶖?shù)的抽樣分布服從于正態(tài)分布。故可采用統(tǒng)計(jì)量Z

檢驗(yàn)。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日單總體的Z檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）1、適用條件：檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與一個(gè)已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這里，Z作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，μ為總體平均數(shù)，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本容量。第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日單總體的Z檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）3、檢驗(yàn)過程：①建立虛無假設(shè)：②計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：③確定顯著性水平α的值。若α為0.01,則臨界值為2.58；若α為0.05,則為1.96.④比較，作出判斷。若Z﹥Z0.05(或Z0.01),即Z﹥1.96,或Z﹥2.58,則說明在顯著性水平α=0.05(0.01)的水平上,差異是顯著的,否則,就說明差異不顯著.第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日雙總體的Z檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）1、適用條件：檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)各自代表的總體平均數(shù)的差異是否顯著。2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這里，Z作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，是兩樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，n1,n2分別為兩樣本的容量。第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日雙總體的Z檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）3、檢驗(yàn)過程：①建立虛無假設(shè)：②計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：③確定顯著性水平α的值。若α為0.01,則臨界值為2.58；若α為0.05,則為1.96.④比較，作出判斷。若Z﹥Z0.05(或Z0.01),即Z﹥1.96,或Z﹥2.58,則說明在顯著性水平α=0.05(0.01)的水平上,差異是顯著的,否則,就說明差異不顯著.第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日適用條件：1、總體呈正態(tài)分布。如果總體標(biāo)準(zhǔn)未知而且樣本為小樣本（t≤30）的平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)。2、分類根據(jù)樣本的多少可以分為單總體的t檢驗(yàn)和雙總體的t檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日單總體的t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）1、適用條件：檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與一個(gè)已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這里，t作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，μ為總體平均數(shù)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本容量。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日單總體的t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）3、檢驗(yàn)過程：①建立虛無假設(shè)：②計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：③確定顯著性水平α的值。并根據(jù)自由度和顯著性水平查表，得到臨界值。④比較，作出判斷。若t﹥t(n-1)0.05(或t(n-1)0.01),則說明在顯著性水平α=0.05(0.01)的水平上,差異是顯著的；否則,就說明差異不顯著.第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日1、適用條件是檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)與其各自代表的總體的差異是否顯著。2、分類相關(guān)樣本的平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)獨(dú)立樣本的平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)雙總體的t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日雙總體的t檢驗(yàn)——相關(guān)樣本

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）①相關(guān)樣本所謂相關(guān)樣本，是指兩個(gè)樣本之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。譬如，同一組被試在實(shí)驗(yàn)前與實(shí)驗(yàn)后結(jié)果的比較；同一組被試在兩種不同條件下結(jié)果的比較；被試的兩組是經(jīng)過有意匹配的對(duì)偶組；實(shí)驗(yàn)時(shí)經(jīng)過匹配的實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組的結(jié)果的比較，等等。都是相關(guān)樣本的比較。第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日雙總體的t檢驗(yàn)——相關(guān)樣本

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）②獨(dú)立樣本

所謂獨(dú)立樣本，是指從兩個(gè)無關(guān)的總體中隨即抽取的兩個(gè)樣本稱為是獨(dú)立樣本。譬如，男女性別的差異比較；沒有經(jīng)過匹配的、僅僅是隨機(jī)選擇的實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較；等等，都屬于獨(dú)立樣本的比較。第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）1、適用條件：檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)各自代表的總體平均數(shù)的差異是否顯著。2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這里，t作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，是兩總體方差的估計(jì)值，n1,n2分別為兩樣本的容量。第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日相關(guān)樣本的t檢驗(yàn)

（平均數(shù)的差異性檢驗(yàn)）1、適用條件：檢驗(yàn)兩個(gè)配對(duì)樣本平均數(shù)各自代表的總體平均數(shù)的差異是否顯著。2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：這里，t作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，是兩樣本方差，n為相關(guān)樣本的容量。r為相關(guān)樣本的相關(guān)系數(shù)。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日思考題1、為了研究男女生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的情況，從某校中隨機(jī)抽取男生10名，女生8名，測(cè)驗(yàn)得到男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是80.4分，標(biāo)準(zhǔn)差是7.6分，女生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是71.8分，標(biāo)準(zhǔn)差是7.5分，問男生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否比女生高？請(qǐng)問：進(jìn)行男女生數(shù)學(xué)成績(jī)的差異性檢驗(yàn)時(shí)，是按照相關(guān)樣本還是按照獨(dú)立樣本進(jìn)行？為什么？第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日思考題2、從某個(gè)人多次的視反應(yīng)時(shí)測(cè)量的結(jié)果隨即抽取40個(gè)數(shù)據(jù)，再?gòu)钠渎牱磻?yīng)時(shí)的多次測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)抽取40個(gè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行視、聽反應(yīng)的差異檢驗(yàn)時(shí)，是按照獨(dú)立樣本還是按照相關(guān)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)？為什么？3、對(duì)于上題進(jìn)行數(shù)據(jù)收集的時(shí)候，如果每個(gè)被試只收集視、聽反應(yīng)時(shí)的數(shù)據(jù)各一個(gè)，如果共有40個(gè)被試，則進(jìn)行視、聽反應(yīng)的差異檢驗(yàn)時(shí)，是按照獨(dú)立樣本還是按照相關(guān)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)？為什么？第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日4、為了研究數(shù)學(xué)統(tǒng)編教材和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的優(yōu)劣。某學(xué)校對(duì)一個(gè)班先用實(shí)驗(yàn)教材授課，時(shí)間為一年。然后用統(tǒng)編教材授課一年。兩種教材使用前都進(jìn)行前測(cè)，結(jié)束后進(jìn)行后測(cè)。從該班中抽取10名學(xué)生，檢驗(yàn)他們?cè)谑褂脙煞N不同教材的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異性檢驗(yàn)，是按照獨(dú)立樣本還是按照相關(guān)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)？為什么？思考題第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日5、為了研究數(shù)學(xué)統(tǒng)編教材和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的優(yōu)劣。某學(xué)校對(duì)一個(gè)班先用實(shí)驗(yàn)教材授課，時(shí)間為一年。然后用統(tǒng)編教材授課一年。兩種教材使用前都進(jìn)行前測(cè)，結(jié)束后進(jìn)行后測(cè)。如果已知該班的人數(shù)為35人，實(shí)驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)兩種教學(xué)結(jié)果，要檢驗(yàn)他們?cè)谑褂脙煞N不同教材的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異性檢驗(yàn)，應(yīng)該按照什么樣的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)？思考題答案：雙總體的Z檢驗(yàn)第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日平均數(shù)的檢驗(yàn)方法小結(jié)11、前提是兩個(gè)總體方差相同，或至少?zèng)]有顯著性差異。2、檢驗(yàn)的方法有兩種：總體服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，不管是大樣本還是小樣本，均用Z檢驗(yàn)。不知道總體的分布情形，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，當(dāng)樣本為大樣本時(shí)，用Z檢驗(yàn)，這時(shí)用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差就可以了；當(dāng)樣本為小樣本時(shí)，必須用t檢驗(yàn)，這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差可以用總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量S來表示，它與樣本標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系是：第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2、關(guān)于顯著性水平差異性顯著檢驗(yàn)是和顯著性水平α聯(lián)系在一起的。我們說差異顯著不顯著，是針對(duì)特定的α而言的。同一個(gè)問題，由于顯著性水平的不同，可能會(huì)得到完全相反的結(jié)論。3、檢驗(yàn)時(shí)究竟采用單尾還是雙尾檢驗(yàn)，這是假設(shè)檢驗(yàn)中的重要的技術(shù)性的問題。一般情況下，當(dāng)研究者如果想要知道兩個(gè)參數(shù)是否有差異，而不強(qiáng)調(diào)差異的方向時(shí)，用雙尾檢驗(yàn)；反之用單尾檢驗(yàn)。單尾檢驗(yàn)適用于檢驗(yàn)?zāi)骋粎?shù)是否“大于”或“優(yōu)于”、“快于”、“小于”、“劣于”、“慢于”另一參數(shù)的一類問題。平均數(shù)的檢驗(yàn)方法小結(jié)1第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于雙尾與單尾檢驗(yàn)舉例例1：全區(qū)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)平均分標(biāo)準(zhǔn)差某學(xué)校的一個(gè)班（n=41）的數(shù)學(xué)平均成績(jī)問該班成績(jī)與全區(qū)平均成績(jī)差異是否顯著？例2：有人調(diào)查小學(xué)五年級(jí)中經(jīng)過奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生對(duì)其數(shù)學(xué)思維的影響，從受過奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生中隨機(jī)抽取70人，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維能力的測(cè)試，結(jié)果平均成績(jī)是80分（已知小學(xué)五年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的測(cè)試的平均成績(jī)是75分，標(biāo)準(zhǔn)差是15分），能否認(rèn)為受過奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生在數(shù)學(xué)思維能力方面高于一般水平？第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日F檢驗(yàn)（方差的差異檢驗(yàn)）1、適用條件檢驗(yàn)兩個(gè)總體的方差是否有顯著性差異（也稱為是方差齊性檢驗(yàn)）。主要用于兩個(gè)獨(dú)立樣本的方差齊性檢驗(yàn)。由于標(biāo)準(zhǔn)差的抽樣分布受樣本容量的影響，只有樣本容量較大時(shí)，抽樣分布才接近正態(tài)，因此需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，也就是要對(duì)方差進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。2、F檢驗(yàn)是右側(cè)單尾檢驗(yàn)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量時(shí)，應(yīng)該用總體方差估計(jì)值中較大的一個(gè)作為分子，較小的作為分母，使得F≥1，進(jìn)行比較。第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日F檢驗(yàn)（方差的差異檢驗(yàn)）2、關(guān)于F分布若從兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本，以此為基礎(chǔ)，分別求出兩個(gè)相應(yīng)總體方差的估計(jì)值，這兩個(gè)總體方差估計(jì)值的比值稱為F比值，即F比值的抽樣分布稱為F分布，F(xiàn)比值稱為統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量有兩個(gè)自由度，一個(gè)是分子的自由度自由度，分母的自由度性水平α?xí)r的臨界F值，可表示為：第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日F檢驗(yàn)一般步驟1、建立虛無假設(shè)：2、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：3、確定顯著性水平α的值。并根據(jù)自由度df1、df2和顯著性水平查表，得到臨界值：4、比較，作出判斷。若F與臨界值進(jìn)行比較，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決斷。第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日1、適用條件是對(duì)樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否服從于某種理論分布所作的假設(shè)檢驗(yàn)。它適用于計(jì)數(shù)資料的檢驗(yàn)。譬如，根據(jù)類別不同的樣本頻數(shù)來推斷總體的分布。根據(jù)性別分類，按男女性別分別計(jì)數(shù)；根據(jù)年齡分類，可以分為老年、中年、青年等，按照不同年齡段的人數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)。因此，比較適合對(duì)問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日自由度的計(jì)算：?jiǎn)蜗虮淼淖杂啥纫话愕扔诮M數(shù)（K）減1，即df=K-1,而R×C表的自由度需注意計(jì)算公式為df=(R-1)(C-1)1、適用條件是實(shí)得次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的差異程度的差異性顯著檢驗(yàn)。用公式表示為：第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例題分析一一、從某校高中應(yīng)屆畢業(yè)生中抽取54人進(jìn)行體檢，健康狀況屬于良好的有15人，中等的有23人，差的有16人。問該校高中應(yīng)屆畢業(yè)生健康狀況好、中、差的人數(shù)比率是否是1：2：1？第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例題分析二二、某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)分析期中考試中，平均成績(jī)?yōu)?3分，標(biāo)準(zhǔn)差為17分；期末考試以后，隨機(jī)抽取20人的數(shù)學(xué)分析成績(jī)，其平均成績(jī)?yōu)?9.2分，問該年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析成績(jī)是否有明顯進(jìn)步？第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例題分析三三、一次數(shù)學(xué)考試后，從兩個(gè)學(xué)校隨機(jī)抽取試卷n1=10份和n2=9份，算得樣本的修