函數(shù)知識點與典型例題總結(jié)

函數(shù)知識點與典型例題總結(jié)第一頁，共77頁。函數(shù)定義域奇偶性圖象值域單調(diào)性函數(shù)的復習主要抓住兩條主線1、函數(shù)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。2、幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì)。二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)冪函數(shù)第二頁，共77頁。函數(shù)的概念

——定義——表示——列表法，解析法，圖象法

——三要素——定義域，對應關(guān)系，值域

——值域與最值——觀察法、判別式法、分離常數(shù)法、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、三角法、圖象法、線性規(guī)劃等

——函數(shù)的圖象函數(shù)的基本性質(zhì)

——單調(diào)性——1.求單調(diào)區(qū)間：定義法、導數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性.2.復合函數(shù)單調(diào)性：同增異減.——對稱性——軸對稱：f(a-x)=f(a+x);中心對稱:f(a-x)+f(a+x)=2b

——奇偶性——1.先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(-x)=f(x)還是-f(x).2.奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，若x=0有意義，則f(0)=0.3.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立.——周期性——f(x+T)=f(x)；周期為T的奇函數(shù)有f(T)=f(T/2)=f(0)=0.函數(shù)常見的幾種變換——平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換基本初等函數(shù)——正(反)比例函數(shù);一次(二次)函數(shù);冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)

(定義，圖象，性質(zhì)，應用)復合函數(shù)——單調(diào)性：同增異減;奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外抽象函數(shù)——賦值法函數(shù)的應用

——函數(shù)與方程——函數(shù)零點、一元二次方程根的分布

——常見函數(shù)模型——冪、指、對函數(shù)模型；分段函數(shù)；對勾函數(shù)模型第三頁，共77頁。函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值函數(shù)的奇偶性函數(shù)知識結(jié)構(gòu)第四頁，共77頁。BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則A.B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)。一、函數(shù)的概念：第五頁，共77頁。二、映射的概念設A,B是兩個非空的集合,如果按照某種確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對應,那么就稱對應f:A→B為集合A到集合B的一個映射映射是函數(shù)的一種推廣,本質(zhì)是:任一對唯一第六頁，共77頁。函數(shù)的定義域：使函數(shù)有意義的x的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)1、分式的分母不為零.2、偶次方根的被開方數(shù)不小于零.3、零次冪的底數(shù)不為零.4、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零.5、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.6、實際問題中函數(shù)的定義域第七頁，共77頁。（一）函數(shù)的定義域1、具體函數(shù)的定義域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】第八頁，共77頁。

2、抽象函數(shù)的定義域1）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[1，3]，求f(2x-1)的定義域2）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定義域3)1.[1,2];2.[1,4);3.[-]第九頁，共77頁。思考：若值域為R呢？分析：值域為R等價為真數(shù)N能?。?，+∞）每個數(shù)。當a=0時，N=3只是（0，+∞）上的一個數(shù)，不成立；當a≠0時，真數(shù)N取（0，+∞）每個數(shù)即第十頁，共77頁。2．函數(shù)的值域

(1)在函數(shù)y＝f(x)中,與自變量x的值相對應的y的值叫________，_____________叫函數(shù)的值域．

(2)基本初等函數(shù)的值域函數(shù)值函數(shù)值的集合基本初等函數(shù)值域①y＝kx＋b(k≠0)②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)③④y＝ax(a>0且a≠1)⑤y＝logax(a>0且a≠1)⑥y＝sinx,y＝cosx⑦

y＝tanx第十一頁，共77頁。求值域的一些方法：

1、圖像法，2、配方法，3、分離常數(shù)法，4、換元法，5單調(diào)性法。1)2)3)4)第十二頁，共77頁。三、函數(shù)的表示法1、解析法2、列表法3、圖象法

第十三頁，共77頁。例10求下列函數(shù)的解析式待定系數(shù)法換元法第十四頁，共77頁。（5）已知：對于任意實數(shù)x、y，等式恒成立，求賦值法

構(gòu)造方程組法

(4)已知,求的解析式配湊法第十五頁，共77頁。1．函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2

當x1<x2時,都有____________,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當x1<x2時，都有__________,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是______自左向右看圖象是_____f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(1)單調(diào)函數(shù)的定義第十六頁，共77頁。寫出常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并指明是增區(qū)間還是減區(qū)間１、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是

2、函數(shù)y=ax+b（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是3、函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是第十七頁，共77頁。用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)設元，設x1,x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2;(2)作差，f(x1)－f(x2);(3)變形，通過因式分解轉(zhuǎn)化為易于判斷符號的形式(4)判號，判斷f(x1)－f(x2)的符號；（5）下結(jié)論.第十八頁，共77頁。1.函數(shù)f(x)=2x+1,(x≥1)４－x,(x＜1)則f(x)的遞減區(qū)間為()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,0]B2、若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍3

判斷函數(shù)的單調(diào)性。第十九頁，共77頁。拓展提升復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的定義：設y=f(u)定義域A，u=g(x)值域為B，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f[g(x)]叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量第二十頁，共77頁。復合函數(shù)的單調(diào)性若u=g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)則y=f[g(x)]增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不相同時，其復合函數(shù)是減函數(shù)。“同增異減”第二十一頁，共77頁。復合函數(shù)的單調(diào)性例題：求下列函數(shù)的單調(diào)性y=log4(x2－4x+3)解設

y=log4u（外函數(shù)）,u=x2－4x+3（內(nèi)函數(shù)）.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原復合函數(shù)的定義域為{x|x＜1或x＞3}.當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(－∞，1)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當x∈(3，±∞)時，u=x2－4x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+∞)是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.第二十二頁，共77頁。例4：求的單調(diào)區(qū)間.解:設由u∈R,u=x2－2x－1,

解得原復合函數(shù)的定義域為x∈R.因為在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由二次函數(shù)u=x2－2x－1的單調(diào)性易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調(diào)減，由

x∈R,

(復合函數(shù)定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理［1，+∞)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

第二十三頁，共77頁。復合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié)復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：(1)將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；(3)分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；(4)若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；(5)若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=f[g(x)]為減函數(shù)。

復合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。第二十四頁，共77頁。四、函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù):對任意的,都有2.偶函數(shù):對任意的,都有3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條件:注:要判斷函數(shù)的奇偶性,首先要看其定義域區(qū)間是否關(guān)于原點對稱!定義域關(guān)于原點對稱.第二十五頁，共77頁。奇(偶)函數(shù)的一些特征1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.2.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,且在對稱的區(qū)間上不改變單調(diào)性.3.偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,且在對稱的區(qū)間上改變單調(diào)性第二十六頁，共77頁。一個函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖象關(guān)于原點對稱.一個函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖象關(guān)于y

軸對稱.3.性質(zhì):

奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(2)在定義域的關(guān)于原點對稱的公共區(qū)間內(nèi)奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特點(3)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系第二十七頁，共77頁。(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝______，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_____________的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.3．周期性存在一個最小f(x)第二十八頁，共77頁。例12判斷下列函數(shù)的奇偶性第二十九頁，共77頁。第三十頁，共77頁。第三十一頁，共77頁。函數(shù)的奇偶性與周期性第三十二頁，共77頁。函數(shù)的圖象1、用學過的圖像畫圖。2、用某種函數(shù)的圖象變形而成。（1）關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)系。（2）平移關(guān)系。（3）絕對值關(guān)系。第三十三頁，共77頁。反比例函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象k>0k<0第三十四頁，共77頁。1.二次函數(shù)的定義與解析式①一般式：__________________.②頂點式：__________________,頂點為______.③零點式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的兩根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)(1)二次函數(shù)的定義

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式x1,x2第三十五頁，共77頁。①對稱軸:______②頂點:_________2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)定義域x∈R(個別題目有限制的,由解析式確定)值域a>0a<0奇偶性b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性a>0a<0圖象特點上遞減上遞增上遞增上遞減第三十六頁，共77頁。3.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)與軸兩交點的距離

當Δ＝b2－4ac>0時，圖象與x軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若

[m,n],則①當

x0<m

時,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);②當

x0>n

時,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若

∈[m,n],則

f(x)min=f(x0)=第三十七頁，共77頁。Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩不等實根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有兩相等實根x1=x2無實根{x|x≠x1}R3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系{x|x1<x<x2}??第三十八頁，共77頁。4.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立問題①

ax2+bx+c>0在R上恒成立③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立第三十九頁，共77頁。求二次函數(shù)的解析式【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)．

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；

(3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函數(shù)的類型(模型),求其解析式,用待定系數(shù)法,根據(jù)題設恰當選用二次函數(shù)解析式的形式,可使解法簡捷．第四十頁，共77頁。二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2

】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當a＝－2時，求f(x)的最值；(2)求實數(shù)a的取值范圍,使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當a＝1時,求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．第四十一頁，共77頁。二次函數(shù)的綜合應用【例3】若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

滿足

f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；

(2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立,

求實數(shù)m的取值范圍．第四十二頁，共77頁?！纠?】已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]

上的最大值是2，求實數(shù)a的值.第四十三頁，共77頁。例2.設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切值都恒成立，求實數(shù)

x的取值范圍.解：設f(m)=mx2-2x-m+1,

【點評】解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

則

f(m)是一個以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當-2≤m≤2時，線段在x軸下方,所以實數(shù)

x的取值范圍是第四十四頁，共77頁。則問題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在區(qū)間［2，3］上恒成立，（1）變量分離法(分離參數(shù))例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.

【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．不等式恒成立問題第四十五頁，共77頁。問題等價于f(x)max≤0,解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo（2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題第四十六頁，共77頁。則解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.（３）數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問題第四十七頁，共77頁。解：據(jù)題意，由已知得:不等式解集為：23A例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.（４）不等式解集法不等式恒成立問題第四十八頁，共77頁。

二次方程的實根分布問題

第四十九頁，共77頁。一.函數(shù)零點一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x就做函數(shù)y=f(x)的零點.

由此得出以下三個結(jié)論等價：方程f(x)=0有實根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點第五十頁，共77頁。

涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的實根分布問題,一般情況下要從四個方面考慮:①

f(x)

圖象的開口方向;②方程

f(x)=0的判別式;④區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.

③

f(x)

圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)實根分布問題第五十一頁，共77頁。實根分布問題

★一元二次方程1、當x為全體實數(shù)時的根第五十二頁，共77頁。

★一元二次方程在某個區(qū)間上有實根，求其中字母系數(shù)的問題稱為實根分布問題。實根分布問題一般考慮四個方面，即：（1）開口方向（2）判別式（3）對稱軸（4）端點值的符號。2、當x在某個范圍內(nèi)的實根分布第五十三頁，共77頁。第五十四頁，共77頁。第五十五頁，共77頁。第五十六頁，共77頁。第五十七頁，共77頁。第五十八頁，共77頁。第五十九頁，共77頁。第六十頁，共77頁?？捎庙f達定理表達式來書寫條件也可第六十一頁，共77頁?？捎庙f達定理表達式來書寫條件也可第六十二頁，共77頁。