江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（含答案 解析 ）

第1頁/共1頁江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上相應(yīng)的位置.2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分請將答案寫在答題卡內(nèi)．）1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定集合P，Q中的元素，再求即可.【詳解】，故選：B.2.若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件求出關(guān)系，然后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，則觀察得僅滿足故選：D.3.用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（）A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形【答案】D【解析】【分析】用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形.【詳解】如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，不可能為七邊形，故選:D.4.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出.【詳解】因?yàn)?，，的面積為，所以,所以.由余弦定理得：.故選：D.5.將數(shù)據(jù)這五個數(shù)中隨機(jī)刪去兩個數(shù)，則所剩下的三個數(shù)的平均數(shù)大于5的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出所有的隨機(jī)刪去兩個數(shù)的方法，再求出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的刪去方法，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】從5個數(shù)中隨機(jī)刪去兩個數(shù)有共10種方法，要使剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5，刪去的兩個數(shù)可以是共有4種，所以剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為，故選：C6.已知的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由得，解得或即函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故的單調(diào)減區(qū)間即為的單調(diào)增區(qū)間,故的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.7.若函數(shù)在上僅有一個最值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換求得的解析式，再討論函數(shù)的最值，列出不等式即可求解.【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時，即時函數(shù)有最大值，當(dāng)時，即時函數(shù)有最小值，且區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以要使得函數(shù)在上僅有一個最值，則解得，故選:B.8.已知是拋物線上一動點(diǎn)，直線的方程為，定點(diǎn)，到的距離為.則的最小值為（）A. B. C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義，利用幾何法求出的最小值.【詳解】如圖示：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.過作于,于，則.由拋物線的定義可知：.所以（當(dāng)且僅當(dāng)在，即三點(diǎn)共線時“=”成立）.故選：B9.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故故選：B10.朱世杰是元代著名的數(shù)學(xué)家，有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之稱.其著作《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，受到數(shù)學(xué)史研究者的高度評價.《四元玉鑒》下卷“雜范類會”中第一問為：“今有沈香立圓球一只，徑十寸，今從頂截周八寸四分，問厚幾何？”大意為現(xiàn)有一個直徑為10的球，從上面截一小部分，截面圓周長為8.4，問被截取部分幾何體的高為多少.已知朱世杰是以圓周率為3來計算，則《四元玉鑒》中此題答案為（）（注：）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】A【解析】【分析】利用圓的周長公式算出截面的半徑，再根據(jù)勾股定理可得，解方程即可.【詳解】設(shè)截面圓半徑為，截下來的幾何體高為，若以3作為圓周率，則，又，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了球截面，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.11.若，令，則的最小值屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性并確定極值點(diǎn)，進(jìn)而可表示出的最小值，利用雙勾函數(shù)性質(zhì)確定的取值范圍.【詳解】令，則，所以，令，令，所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，因?yàn)樗源嬖谑沟?，且，所以?dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，根?jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)，即的最小值屬于區(qū)間，故選:B.12.已知向量、滿足，與夾角為，若存在實(shí)數(shù)，有解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對兩邊同時平方，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，整理為關(guān)于的一元二次不等式有解，利用判別式即可求解.【詳解】對不等式兩邊同時平方，得，即，因?yàn)?所以，整理得有解，所以得，解得，又因?yàn)?，所以，故選:C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若展開式中的系數(shù)為30，則________.【答案】【解析】【分析】求出展開式通式和相乘，然后利用的系數(shù)為30列方程求解.【詳解】展開式通式為則，，解得故答案為：.14.若，則________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及倍角公式變形計算即可.【詳解】故答案為：.15.已知函數(shù)，，，若所有點(diǎn)，構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，單調(diào)遞增，且，所以，又因?yàn)?，且?gòu)成一個正方形區(qū)域，所以，解得，故答案為:.16.如圖，在中，，且，則面積的最大值________.【答案】【解析】【分析】以為基底表示，然后利用平方的方法進(jìn)行化簡，結(jié)合基本不等式以及三角形的面積公式求得正確答案.詳解】由于，所以，兩邊平方得,所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，則為銳角，所以，所以面積.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23匙為選考匙，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知為數(shù)列的瞐項(xiàng)和.且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，兩式相減后得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可;（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】①當(dāng)時，②，①-②得，即，又當(dāng)時，，得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；【小問2詳解】由（1）得，18.如圖，在斜三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面上的射影為邊的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明出面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.【小問1詳解】因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)轫旤c(diǎn)在平面上的射影為，所以平面,.因?yàn)槊?，面?所以面.所以面，所以平面平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，為邊的中點(diǎn)，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.設(shè)為平面的一個法向量，為平面的一個法向量.因?yàn)?，即，不妨設(shè)，則.同理可求：.設(shè)為二面角的平面角，由圖可知：為銳角，所以.即二面角的余弦值為.19.為堅持上饒市“創(chuàng)文活動”某社區(qū)特制訂了飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定，為了解社區(qū)住戶對該規(guī)定的態(tài)度（贊同與不贊同），工作人員隨機(jī)調(diào)查了社區(qū)220戶住戶，得到如下2×2列聯(lián)表（單住戶）：贊同規(guī)定住戶不贊同規(guī)定住戶合計家里有寵物住戶7040110家里沒有寵物住戶9020110合計16060220同時工作人員還從上述調(diào)查的不贊同管理規(guī)定的住戶中，用分層抽樣的方法按家有寵物，家里沒有寵物抽取了12戶組成樣本T，進(jìn)一步研究完善寵物的管理規(guī)定；（1）根據(jù)上述列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“社區(qū)住戶對飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定的態(tài)度與家里是否有越物有關(guān)系”?（2）工作人員從樣本T中隨機(jī)抽取6戶住戶進(jìn)行訪談，X為抽取的6戶住戶中為家里沒有寵物住戶的戶數(shù)，求X的分布列及期望.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）不能（2）分布列見解析，期望為【解析】【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念，求得，即可下結(jié)論；(2)利用超幾何概率分布模型求解即可【小問1詳解】因?yàn)椋栽诜稿e誤的概率不超過0.001的前提下，不能認(rèn)為“社區(qū)住戶對飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定的態(tài)度與家里是否有越物有關(guān)系”.【小問2詳解】根據(jù)圖表可得在不贊同管理規(guī)定的住戶中，用分層抽樣的方法按家有寵物，家里沒有寵物抽取了12戶組成樣本T，則家里有寵物住戶有家里沒有寵物住戶有所以可能的取值有，分布列如下，01234所以.20.已知點(diǎn)在橢圓上，且長軸長為4.（1）求橢圓C的方程：（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn).求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由長軸長為4得，再將代入解方程可得；（2）設(shè)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，解得利用直線方程和韋達(dá)定理化簡得，又，結(jié)合函數(shù)知識易得面積的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)殚L軸長為4，所以，將代入解方程得，解得，所以橢圓C的方程為；【小問2詳解】易知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為：則，聯(lián)立得：，，直線的方程為：，令，得即,則化簡得令，易知在上單調(diào)遞增，則代回得，所以的面積的取值范圍為.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1.（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（2）根據(jù)題意可知，恒成立,故設(shè)，借助于處的導(dǎo)數(shù)值以及函數(shù)值結(jié)合可求得，因此要證明此時不等式在上恒成立，故構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求解最值，說明不等式在上恒成立，從而求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，,，令，等號僅在時取得，∴在上為增函數(shù)，則，∴在上為增函數(shù)，∴函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】時，,由已知得，恒成立,令,則,則，又，即的圖象均過點(diǎn)，∴，令，，由（1）可知且，所以，令，，則，令，則，等號僅在時取得，所以在單調(diào)遞增，故，等號僅在時取得，故，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，即在上恒成立，當(dāng)時,，，設(shè)，當(dāng)時，是R上的增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，即時，在上遞增，，故在內(nèi)存在唯一解，當(dāng)時，，則在上遞減，則，則在上遞減，故，當(dāng)時，在上遞減，則，即當(dāng)時，存在x使得，這與不等式在上恒成立矛盾，綜合可知a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式在上恒成立，求參數(shù)的取值范圍時，借助于時的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值，可確定a的范圍，因此下面的關(guān)鍵點(diǎn)就在于要根據(jù)a的范圍，證明恒成立，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，解決問題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為－2cos=3．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；；（2）3．【解析】【分析】（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得到的普通方程，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程間的關(guān)系，可將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）結(jié)合曲線、的極坐標(biāo)方程，可得，設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)的極徑分別為，可求得的值，進(jìn)而可得到的值．【詳解】曲線的普通方程為，即極坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．曲線的極坐標(biāo)方程為，代入，可得，則．【點(diǎn)睛】求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法：（1）直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；（2）轉(zhuǎn)化