畢業(yè)：復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其應(yīng)用(完整版)資料

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畢業(yè)：復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其應(yīng)用（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）論文題目：復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)生學(xué)號(hào)：專業(yè)班級(jí)：學(xué)院名稱：2011年4月7日復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其應(yīng)用摘要孤立奇點(diǎn)的應(yīng)用在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)以及學(xué)習(xí)中有著重要的作用。而留數(shù)的計(jì)算是復(fù)變函數(shù)中經(jīng)常碰到的問(wèn)題，本文主要探討了孤立奇點(diǎn)在留數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用。函數(shù)在不同的孤立奇點(diǎn)的不同類型處，其計(jì)算的方法也不同，所以首先我們要對(duì)其做出判斷。再根據(jù)孤立奇點(diǎn)類型的不同對(duì)應(yīng)不同的留數(shù)求法，分別從可去奇點(diǎn)，本質(zhì)奇點(diǎn)處留數(shù)的求法，極點(diǎn)處留數(shù)的求法，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的求法，其中在本文中因?yàn)榭紤]極點(diǎn)處的留數(shù)求法又根據(jù)：?jiǎn)螛O點(diǎn)、二階極點(diǎn)、階極點(diǎn)的求法不同，結(jié)合例子給出極點(diǎn)階數(shù)的判斷方法。另外，還采用了變量替換的方法，增加了一個(gè)計(jì)算留數(shù)的公式。關(guān)鍵字：孤立奇點(diǎn)；可去奇點(diǎn)；極點(diǎn)；本質(zhì)奇點(diǎn)；留數(shù)；IsolatedsingularitiesanditsapplicationAbstractIsolatedsingularpointintheapplicationofcomplexfunctionofteachingandlearningplaysanimportantrole.Theresidueofthecalculationiscomplexfunctionoftenencounterproblems,thepaperfocusedonasingularpointinisolationremaininthecalculationofthenumberofapplications.Differentfunctionsintheisolationofthedifferenttypesofsingularpoint,thecalculationmethodsarealsodifferent,sofirstofallwehavetomaketheirjudgement.Accordingtoisolatedifferenttypesofsingularpointtodifferentstayforafew,weretogofromthesingularpointis,inessence,tostayafewcriticalpointsforthelaw,thenumberofPolesseekingtostaythelaw,infinitenumberofpointstostayforthelaw,whichinthispaperInviewofthePolestostayforafewinaccordancewithlaw:aunipolarpoint,second-orderpole,thepole-ordersolutiondifferent,withexamplesgivenpoleorderofthejudgementmeans.Inaddition,thevariablesusedtoreplacethemethod,anincreaseofaformulaforcalculatingthenumberofstay.Keywords:isolatedsingularpoint;singularpointtogo;pole;natureofsingularityandreservations目錄摘要…………………ⅡAbstract…………Ⅱ孤立奇點(diǎn)的定義3孤立奇點(diǎn)的判別方法4孤立奇點(diǎn)的應(yīng)用6參考文獻(xiàn)10第一章孤立奇點(diǎn)的定義假設(shè)X是一個(gè)代數(shù)簇，P∈X是X上的一個(gè)奇點(diǎn)，如果存在一個(gè)包含P的開(kāi)鄰域（又稱開(kāi)集)U，使得U中不在包含其他的奇點(diǎn)，那么就稱P是孤立奇點(diǎn)。f（z）在0＜｜z－a｜≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇點(diǎn)留數(shù)定理及其應(yīng)用，則稱積分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz為f（z）關(guān)于a點(diǎn)的留數(shù)，記作Res[f（z），a]。如果f（z）是平面流速場(chǎng)的復(fù)速度，而a是它的旋源點(diǎn)（即旋渦中心或源匯中心），則積分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的強(qiáng)度——環(huán)流量，所以留數(shù)是環(huán)流量除以2πi的值。由于解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近可以展成羅朗級(jí)數(shù)：f（z）＝∑ak（z－a）k，將它沿｜z－a｜＝R逐項(xiàng)積分，立即可見(jiàn)Res[f(z)，a]＝a-1，這表明留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的羅朗展式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)。函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn).如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).如果在洛朗級(jí)數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的可去奇點(diǎn)如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn).不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級(jí)零點(diǎn).留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開(kāi)式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.設(shè)是解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，我們把在處的洛朗展開(kāi)式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)稱為在處的留數(shù).記作，即=.顯然，留數(shù)就是積分的值，其中C為解析函數(shù)的的去心鄰域內(nèi)繞的閉曲線.第二章孤立奇點(diǎn)的判別方法設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，C是D內(nèi)包圍各奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，那么.一般來(lái)說(shuō)，求函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)只須求出它在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中項(xiàng)系數(shù)就可以了.但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利.例如，如果是的可去奇點(diǎn)，那么.如果是本性奇點(diǎn)，那就往往只能用把在展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法來(lái)求.若是極點(diǎn)的情形，則可用較方便的求導(dǎo)數(shù)與求極限的方法得到留數(shù).函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1：如果為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，則（5.4）法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點(diǎn)，則為的一階極點(diǎn)，且.（5.5）法則3：如果為的m階極點(diǎn)，則.（5.6）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義5.5設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即在圓環(huán)域內(nèi)解析，則稱（）為在點(diǎn)的留數(shù)，記為，這里是指順時(shí)針?lè)较颍ㄟ@個(gè)方向很自然地可以看作是繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向）.如果在的洛朗展開(kāi)式為，則有.這里，我們要注意，即使是的可去奇點(diǎn)，在的留數(shù)也未必是0，這是同有限點(diǎn)的留數(shù)不一致的地方.定理5.8如果在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)），設(shè)為，則在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零.關(guān)于在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算，我們有以下的規(guī)則.法則4：.孤立奇點(diǎn)的應(yīng)用例1指出下列函數(shù)在零點(diǎn)z=0的級(jí)：（1）（2）.解（1）用求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證：記，不難計(jì)算即故為函數(shù)的四階零點(diǎn).由泰勒展式：由展開(kāi)式可知其中內(nèi)解析，.故為函數(shù)的四階零點(diǎn).（2）由展開(kāi)式可知其中在內(nèi)解析，.故是函數(shù)的15階零點(diǎn).例2證明不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.即若不恒為零的函數(shù)在內(nèi)解析，，則必有a的一個(gè)領(lǐng)域，使得在其中無(wú)異于a的零點(diǎn)（解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性）.分析由于解析函數(shù)不恒為零且，所以利用在點(diǎn)a的泰勒展開(kāi)式可知，總存在自然數(shù)，使，（否則獨(dú)所有m，，由泰勒定理矛盾）.于是可設(shè)a為的m階零點(diǎn)，然后由零點(diǎn)的特征來(lái)討論.證（不妨設(shè)）a為的m階零點(diǎn)，其中內(nèi)解析，.因在a處解析，則有，可取，存在著，當(dāng)時(shí)，，由三角不等式便知當(dāng)時(shí)即有，故在a的鄰域內(nèi)使.例3確定函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型.解因?yàn)椋允欠帜傅牧A零點(diǎn)，從而是函數(shù)的六階極點(diǎn).例4判別函數(shù)的有限奇點(diǎn)的類型.解因?yàn)樵跊](méi)有定義，更不解析，所以是的奇點(diǎn)，在內(nèi)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：

，有無(wú)窮多負(fù)冪項(xiàng)，故是的本性奇點(diǎn).例5考察函數(shù)在點(diǎn)的特性.解因?yàn)槭欠帜傅牧泓c(diǎn)，所以這些點(diǎn)是的極點(diǎn)..從而知是這些極點(diǎn)的極限點(diǎn)，不是孤立奇點(diǎn).例6求出函數(shù)的全部奇點(diǎn)，并確定其類型.解分母有四個(gè)一階零點(diǎn)，它們不是分子的零點(diǎn)，因此是函數(shù)的一階極點(diǎn).又，所以是的可去奇點(diǎn).例7求出函數(shù)的全部奇點(diǎn)，并確定其類型.解容易求得是的一階極點(diǎn)，這是因?yàn)?當(dāng)，而 ，所以，是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，是的一階極點(diǎn).又是極點(diǎn)當(dāng)時(shí)的極限點(diǎn)，不是孤立奇點(diǎn).例8求所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)：解：函數(shù)有孤立奇點(diǎn)0和，而且易知在內(nèi)有洛朗展開(kāi)式這既可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式，也可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式.所以.參考文獻(xiàn)：[1]高等教育出版社《高等代數(shù)》[2]對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社《考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練經(jīng)典題集》[3]實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第3版）程其襄[4]復(fù)變函數(shù)論(第三版)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解王玉玉目錄摘要……………1引言……………2一凸函數(shù)概念及其定義………3（一）凸函數(shù)的幾種不同定義………………3（二）幾種不同定義之間的相互聯(lián)系………5二凸函數(shù)的有關(guān)結(jié)論…………6（一）凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)……………………6（二）凸函數(shù)的其它性質(zhì)……………………7（三）凸函數(shù)的充要條件……………………9三對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)……………11（一）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的定義…………………12（二）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)……………13（三）與對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)的定理…………………14（四）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用……………15結(jié)束語(yǔ)…………17參考文獻(xiàn)………………………17淺談凸函數(shù)及其應(yīng)用摘要：凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見(jiàn)于jensen著作中它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃，對(duì)策論數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，變分學(xué)和最優(yōu)控制學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)他們?cè)趯?shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定及其應(yīng)用，總結(jié)了凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)，列舉了凸函數(shù)的幾個(gè)著名的不等式引入對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的概念,獲得了對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的若干基本性質(zhì),并討論了對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)的一些應(yīng)用,受文[1]的啟發(fā),在文[1]的基礎(chǔ)上,在本文中,我們獲得了對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的七個(gè)基本性質(zhì)，并討論了對(duì)數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。其中包括應(yīng)用比較廣泛的詹森（Jensen）不等式、赫爾德（H?lder）不等式、閔可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.關(guān)鍵詞：凸函數(shù);對(duì)數(shù)性凸函數(shù)；不等式;證明;應(yīng)用ConvexFunctionanditsApplicationAbstract:convexfunctionisakindofimportantfunction,itsconceptformmostearlyinJenseninthewriting.IthasnumerousapplicationinbroadfieldsofpureMathematicsandappliedMathematics.Convexfunctionisnowplaysimportanttheoreticalbasicandusefultoolstomangsubjectssuchasmathematicalplanningtheory,responsetheory,numericaleconomics,changehotheoryandsub-optimalcontrolandsoon.Fortheoreticalbreakthrough,reinforcetheirapplicationinpractice,producedgeneralizedconvexfunction.Enumeratedconvexfunctionisintroducedseveralfamousinequalitylogarithmicratioconvexfunctionconcept,wonthelogarithmicratiosomebasicpropertiesofconvexfunction,anddiscussedthelogarithmicratioofbasicpropertiesofconvexfunctionbysomeoftheapplication,theinspirationof[1],[1]inthebasis,inthispaper,weobtainthelogarithmicsexconvexfunctionissevenbasicproperties,anddiscussesthepropertiesoflogarithmicratioconvexfunctionapplications.Thispaperinvestigatesthecriterionsofconvexfunctionanditsapplicationsbasedonthedefinitionofconvexfunction,summarizesmanyimportantpropertiesofconvexfunctions,andlistsseveralwell-knowninequalitiesofconvexfunction,includingJenseninequality,H?lder'sinequality,Minkowskiinequalityandsomeelementaryinequalities,whicharewidelyapplied.Keywords:convexfunction;Logarithmicallyconvexfunctionsex；inequality;proof;application引言一、凸函數(shù)的概念及其定義（一）凸函數(shù)的幾種不同定義定義1如果函數(shù)在上連續(xù)，對(duì)上任意不同的兩點(diǎn)，有,則稱是上的下凸函數(shù).定義2設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù)有，則稱是區(qū)間上的下凸函數(shù).定義3設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，對(duì)于上任意三點(diǎn)，下列不等式中任何兩個(gè)組成的不等式成立，，稱是區(qū)間上的下凸函數(shù).注：（1）若將定義1，2，3中的“”改為“”，則稱為上的嚴(yán)格下凸函數(shù).（2）若定義1，2，3中的“”改為“”，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù).定義4利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:例設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)⑴在內(nèi)嚴(yán)格上凸;⑵在內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一(用Taylor公式)對(duì)設(shè),把在點(diǎn)展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式，有其中和在與之間.注意到,就有于是,若有上式中,即嚴(yán)格上凸若有上式中,即嚴(yán)格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若則有嚴(yán)格單調(diào)增.不妨設(shè),并設(shè)分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理,有有，又由，，即，嚴(yán)格下凸.可類證情況.（二）幾種不同定義之間的相互聯(lián)系（1）在定義2中區(qū)間，為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，定義2即為定義1.（2）令，那么，令，代入定義3中任意一式，變形后即得定義2中的形式.二凸函數(shù)的有關(guān)結(jié)論（一）凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1若為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)2若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).推論若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)3若為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù),為上的下（上）凸增函數(shù)，且，則為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)4若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，則也是區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).（二）凸函數(shù)的其他性質(zhì)定理1設(shè)為區(qū)間上的嚴(yán)格下凸函數(shù),若有是的極小值點(diǎn)，則是在上唯一的極小值點(diǎn).證明若有異于的另一極小值點(diǎn)，不妨設(shè)，由于是區(qū)間上嚴(yán)格下凸函數(shù),故對(duì)于任意的,都有

.于是對(duì)任意,只要充分接近1，總有但是,.這與是的極小值點(diǎn)矛盾，從而是在上唯一的極小值點(diǎn).定理2設(shè)為開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)任何上滿足Lipchitz條件，即存在,對(duì)任何，成立.證明當(dāng)取定后，因?yàn)槭情_(kāi)區(qū)間，必能在中選取四點(diǎn)滿足.任取,現(xiàn)令則有，,由于上述常數(shù)與中的點(diǎn)無(wú)關(guān)，因此在上滿足Lipchitz條件：存在,使得,對(duì).定理3設(shè)是上的下凸函數(shù),則在上處處存在左、右導(dǎo)數(shù),且證明，記.任意且定義3得即在上單調(diào)遞增;再在QUOTE右方任取一定點(diǎn),由定義3得所以在上單調(diào)遞增且有上界,故由單調(diào)原理極限QUOTE存在,即存在;同理可證,極限存在,即存在,任意由定義3有在上式中令，,則有（三）凸函數(shù)的充要條件定理4設(shè)為上的可微函數(shù),則如下三者互相等價(jià):為區(qū)間上的下凸函數(shù);為區(qū)間上的遞增函數(shù);對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn),有.

證明在區(qū)間上任取兩點(diǎn)及充分小的正數(shù)根據(jù)的凸性及定義3有.由的可微性,當(dāng)時(shí),有，所以為區(qū)間上的遞增函數(shù).

在以,為端點(diǎn)的區(qū)間上,應(yīng)用拉格朗日中值定理,存在介于與之間的點(diǎn),使得

.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,設(shè)有,因而就有和最后合并上兩式即得

設(shè),為上任意兩點(diǎn),，令，則.由有分別用和分別乘以上面兩式并相加得到從而,為區(qū)間上的凸函數(shù).

推論設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則為下凸函數(shù)

.定理5為區(qū)間上下凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)為上的凸函數(shù),,.證明必要性.設(shè)為上的下凸函數(shù),那么對(duì)任意的及,總有.充分性.設(shè)為上的下凸函數(shù),那么對(duì)任意的,及，總有.由定義2知為上的下凸函數(shù).三對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)（一）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的定義定義1設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，如果在區(qū)間上為下凸函數(shù)，即對(duì)任意的和所有的實(shí)數(shù)(2)成立，則稱在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，如果對(duì)于，（2）式嚴(yán)格不等式成立，則稱在區(qū)間上為嚴(yán)格對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。若（2）式中不等號(hào)反向，則稱在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性上凸函數(shù)。（二）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)引理若則，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng).定理1設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的和所有的實(shí)數(shù)定理2設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)且二階可導(dǎo)，則在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意有性質(zhì)1如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。推論1如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)2如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。推論2如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)3如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性上凸函數(shù)。性質(zhì)4設(shè)為定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，為區(qū)間，為區(qū)間上嚴(yán)格增的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)且在區(qū)間上為下凸函數(shù)，則為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)5如果一個(gè)正值函數(shù)在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則對(duì)所有的值是下凸函數(shù)。性質(zhì)6如果任意為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則是區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。（三）與對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)的定理推論1如果函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則（為正實(shí)數(shù)）也為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。證明：令，由于為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)故兩邊同乘以正實(shí)數(shù)，則即故故由定理,為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，同理也是區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。又由性質(zhì)2有，為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù).推論2設(shè)和為區(qū)間上的正數(shù),，，若在上是對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則是下凸函數(shù)。證明：由于函數(shù)是對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，故對(duì)任意的和所有的實(shí)數(shù)，由定理1有因?yàn)樗?所以,由引理知即所以,是下凸函數(shù)。定理3設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，則函數(shù)在的任意閉子區(qū)間上有界。證明：設(shè)為任意閉子區(qū)間（Ⅰ）.下證在上有上界事實(shí)上，，因?yàn)閰^(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù),故由定理，知，其中（Ⅱ）.下證在上有下界記為a,b的中點(diǎn),,設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，則.因?yàn)闉閰^(qū)間上的對(duì)數(shù)性下凸函數(shù),故由定義2,得所以,令,則，有，,.故,所以在有下界.定理4設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對(duì)上任意三點(diǎn)，總有證明：必要性：，記，則，由于在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，所以為下凸函數(shù)，故故即+整理，得即充分性：在上任取，在上任取一點(diǎn)，，則由于故整理，得由于，故，于是所以為區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。定理5設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對(duì)上任意三點(diǎn)，都有證明：必要性：，記，則，由于在區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)，所以為下凸函數(shù)，故故即將式用行列式表示，得充分性：在上任取，在上任取一點(diǎn)，，則由于所以整理，得即由于，故，于是故所以為區(qū)間上為對(duì)數(shù)性下凸函數(shù)。（四）對(duì)數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例1.證明：，其中證明：令，則，故所以為對(duì)數(shù)性上凸函數(shù),因此.例2.如果則，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng).證明：（1）.當(dāng)時(shí)，顯然成立，（2）.當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則所以由定理2可知，函數(shù)為對(duì)數(shù)性上凸函數(shù)。又因?yàn)椋视啥ɡ?,有,于是（3）..“”.當(dāng)顯然成立.“”.對(duì)求的偏導(dǎo)數(shù)，得,即,,故.例3.證明：.證明：構(gòu)造函數(shù)，則.由定理2,為對(duì)數(shù)性上凸函數(shù)，于是由定理,令，則而故即結(jié)束語(yǔ)凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，在許多證明題中我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明可以非常簡(jiǎn)潔巧妙.本文把凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)充分運(yùn)用于各類不等式的證明之中,從而顯示出凸函數(shù)在數(shù)學(xué)歷史上的迅速發(fā)展以及凸函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域上的廣泛應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1]劉芳園等編：對(duì)數(shù)性凸函數(shù)的一些性質(zhì)，新疆，《新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)》，2006.[2]田宏根等編：數(shù)學(xué)分析[M]（上冊(cè)），北京，高等教育出版社，2002.[3]劉玉璉,傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義[M]（上冊(cè)第三版），北京，高等教育出版社，1998.[4]裴禮文等編：數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法，北京，高等教育出版社，2005.[5]梅向明等編：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]，北京，高等教育出版社，1980.[6]吳良森等：數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M]，北京，科學(xué)出版社,2001.

摘要本文首先提出了凸函數(shù)的幾種等價(jià)定義并說(shuō)明凸函數(shù)的幾何意義，接著探討了凸函數(shù)的幾條定理及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，比如最優(yōu)化應(yīng)用及風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度應(yīng)用，以及函數(shù)的凸性在有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中發(fā)揮的作用，并從數(shù)學(xué)的角度詳細(xì)說(shuō)明了經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中一些結(jié)論的來(lái)源，如對(duì)經(jīng)濟(jì)曲線的分析.關(guān)鍵字：凸函數(shù)；曲線分析；最優(yōu)化；風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度 目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 12.凸函數(shù)的定義及幾何意義 12.1凸函數(shù)的幾種定義 12.2凸函數(shù)的幾何意義： 33.凸函數(shù)的判定定理 34.函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 74.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用 74.2凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化中的應(yīng)用 114.3凸函數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度中的應(yīng)用 145.總結(jié) 17參考文獻(xiàn) 181.引言凸函數(shù)是一個(gè)十分重要的函數(shù)，它的定義最早是由Jensen給出.凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖像以及證明不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)凸性分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題是在十九世紀(jì)五十年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃、最優(yōu)控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用學(xué)科的興起而發(fā)展起來(lái)的.經(jīng)濟(jì)學(xué)中所涉及的函數(shù)大多數(shù)都有一定的凸性，從而凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題的研究成為了當(dāng)今的一大熱點(diǎn).人們經(jīng)常用它來(lái)研究系統(tǒng)中人、財(cái)、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問(wèn)題，以發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益.2.凸函數(shù)的定義及幾何意義2.1凸函數(shù)的幾種定義定義1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，從幾何上來(lái)看，若的圖像上任意兩點(diǎn)和之間的曲線段總位于連接這兩點(diǎn)的線段之下（上），則稱該函數(shù)是凸（凹）.參見(jiàn)圖1.定義2：設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上有定義，若有則稱在區(qū)間是下凸函數(shù)或簡(jiǎn)稱函數(shù)在區(qū)間是凸的.若記，則.由的凸性可知：從而有即，整理后可得 這就是凸函數(shù)的另一種定義.定義3：在區(qū)間上有定義且連續(xù)，稱為上的凸函數(shù)，如果,有將“”改為“”，函數(shù)便成為嚴(yán)格凸函數(shù).定義4：在區(qū)間上有定義且連續(xù),稱為上的凸函數(shù)，如果，有.2.2凸函數(shù)的幾何意義：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示了區(qū)間中的某一點(diǎn)，即.在下圖中弦的方程是：將代入上式得：圖1但因此不等式（1）在幾何上表示為也就是說(shuō)，曲線在弦下方，呈現(xiàn)為下凸的形狀，而上凸函數(shù)的圖象則呈現(xiàn)為上凸的形狀.（圖1）圖1凸函數(shù)除了上面的定義以外，還可以給出連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)的等價(jià)性定義.如下所示：3.凸函數(shù)的判定定理定理1設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng).證明：根據(jù)中值定理對(duì)一切及必存在使得：又由凸函數(shù)定義得在上是凸函數(shù).任取滿足.我們來(lái)證明：及在區(qū)間上嚴(yán)格增加，設(shè)從中存在數(shù)使得，根據(jù)的嚴(yán)格下凸條件得：即上式表明的函數(shù)在嚴(yán)格增加.由此可見(jiàn)記起并以此類推可得在嚴(yán)格增加..定理2設(shè)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，則下述論斷相互等價(jià)：1）為上凸函數(shù)；2）為上的增函數(shù)；3）對(duì)上的任意兩點(diǎn)，有（3）證明:若在是凸函數(shù)，則由定理1有在上單調(diào)增加有同理可證明當(dāng)時(shí)也有若有令則對(duì)有：對(duì)有：從而：即在是凸函數(shù).定理3如果函數(shù)在上有存在二階導(dǎo)函數(shù),若對(duì)，有，則函數(shù)在上是一個(gè)凸函數(shù).證明：在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)，令函數(shù)在的泰勒公式是當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí) 有即于是或，因此內(nèi)是凸函數(shù).定理4（極值的第二充分條件）設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，.1）若，則在取得極大值.2）若，則在取得極小值.證明：1）由于，故存在一個(gè)的鄰域，在此鄰域內(nèi)有：當(dāng)時(shí)，有，則必須大于0，即因此在的左鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，同理可知道在的右鄰域內(nèi)遞減，有故當(dāng)時(shí)，有在取得極大值.同理可證2）.4.函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用4.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用無(wú)差異曲線的凸性分析無(wú)差異曲線用來(lái)表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合.如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量和商品2的數(shù)量，曲線、分別表示兩條不同商品組合的無(wú)差異曲線.曲線是連續(xù)的，并在軸上的具有二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)又是大于零的，所以無(wú)差異曲線是凸函數(shù).商品1對(duì)商品2的邊際替代率的定義公式為：式中和分別表示為商品1和商品2的變化量.當(dāng)商品數(shù)量的變化趨于無(wú)窮小時(shí)，則商品的邊際替代率公式為：從上式可以看出，無(wú)差異曲線上某一點(diǎn)的邊際替代率就是無(wú)差異曲線在該點(diǎn)上的斜率的絕對(duì)值.利用上圖來(lái)具體說(shuō)明商品的邊際替代率遞減規(guī)律和無(wú)差異曲線形狀之間的關(guān)系.在圖中，當(dāng)消費(fèi)者沿著既定的無(wú)差異曲線由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，商品1的增加量為10，相應(yīng)的商品2的減少量為20.這兩個(gè)變量的比值的絕對(duì)值為.在圖中，由于無(wú)差異曲線是凸函數(shù)，并且斜率是負(fù)的，這就保證了當(dāng)商品1的數(shù)量一單位一單位地逐步增加時(shí)，即由點(diǎn)經(jīng)、、運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，每增加一單位的商品1所需放棄的商品2的數(shù)量是遞減的，也就是說(shuō)兩個(gè)變量的比值的絕對(duì)值是逐漸減小的.這就是在兩商品的代替過(guò)程中普遍存在的邊際曲線代替率遞減規(guī)律.隨著一種商品的消費(fèi)數(shù)量的逐步增加，消費(fèi)者想要獲得更多的這種商品的愿望就會(huì)遞減，從而他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會(huì)越來(lái)越少.經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，我們可以根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查利用無(wú)差異曲線和預(yù)算線等的關(guān)系來(lái)得到商品的需求曲線，廠商會(huì)根據(jù)需求曲線獲得最大的利潤(rùn)的生產(chǎn)組合，而消費(fèi)者也可以得到最滿意的商品組合.所以利用凸函數(shù)的性質(zhì)描繪無(wú)差異曲線在買賣雙方的交易活動(dòng)中起到很大的作用.生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析短期生產(chǎn)函數(shù)表示在資本投入量固定時(shí)，由資本投入量變化所帶來(lái)的最大產(chǎn)量的變化.由該生產(chǎn)函數(shù)可以得到相應(yīng)的資本總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量相互之間的關(guān)系，它們的定義公式分別為：或者根據(jù)三者的定義，可以繪制下圖中的函數(shù)圖像來(lái)表示三者的關(guān)系.圖中的橫軸表示可變要素勞動(dòng)的投入量，縱軸表示產(chǎn)量，、、三條曲線順次表示勞動(dòng)的總產(chǎn)量曲線、平均產(chǎn)量曲線和邊際產(chǎn)量曲線.由圖可以清楚地看到，對(duì)一種可變生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)來(lái)說(shuō)，邊際產(chǎn)量遞減規(guī)律決定了邊際產(chǎn)量表現(xiàn)出先上升而最終下降的特征.根據(jù)邊際產(chǎn)量的定義公式可知，過(guò)曲線任何一點(diǎn)的切線的斜率就是相應(yīng)的值.曲線在的斜率大于零.曲線的一階導(dǎo)數(shù)即為曲線的二階導(dǎo)數(shù).所以曲線在階段的二階導(dǎo)數(shù)大于零，即在階段為凸函數(shù).也就是說(shuō)，邊際產(chǎn)量曲線，在階段上升，達(dá)到最大值后，然后再下降.所以相應(yīng)的總產(chǎn)量曲線的斜率先是遞增的，在到達(dá)拐點(diǎn)，然后再遞減.通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)：根據(jù)在邊際報(bào)酬曲線遞減規(guī)律作用下的邊際產(chǎn)量曲線先上升，最終下降的特征，可以先描繪出曲線.由總產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量之間的關(guān)系可以描繪出曲線的圖象.最后由平均產(chǎn)量和總產(chǎn)量之間的關(guān)系描繪出曲線的圖象.凸函數(shù)在描述三者關(guān)系中間發(fā)揮了很大的作用，利用函數(shù)凸性可以描繪出生產(chǎn)函數(shù)圖象.估算和研究生產(chǎn)函數(shù)，對(duì)于經(jīng)濟(jì)理論實(shí)踐和生產(chǎn)實(shí)踐又是前提.以上兩種經(jīng)濟(jì)曲線的凸性分析，從數(shù)學(xué)的角度使我們對(duì)常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有了更加深入的理解.經(jīng)濟(jì)教材中復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)曲線，通常具有一定的凸性，所以掌握了這種分析方法，對(duì)以后的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題探索有很大的幫助.4.2凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化中的應(yīng)用4.2.1利潤(rùn)最大問(wèn)題利潤(rùn)最大化問(wèn)題的求解取決于廠商的需求函數(shù)、成本函數(shù)以及生產(chǎn)組合情況，它們之間存在一定的函數(shù)關(guān)系.這個(gè)函數(shù)若是凸（凹）函數(shù)的話，就滿足了凸（凹）函數(shù)的性質(zhì).可以用定理4中求極值的充分條件，得到生產(chǎn)關(guān)系中利潤(rùn)函數(shù)的最大值.例1北京一家商場(chǎng)的某商品的需求函數(shù)為（P的單位為元）；該商品的總成本函數(shù)為;且每件商品需要納稅2元，求出使銷售利潤(rùn)最大的產(chǎn)品單價(jià)和最大利潤(rùn)額.解該商品的收入函數(shù)為，將代入得出總成本函數(shù)則利潤(rùn)函數(shù)為由得,又因?yàn)?，則時(shí)，根據(jù)定理3，為凹函數(shù)，則在處取得極大值，由于是唯一的極值點(diǎn)，所以是最大值，當(dāng)單價(jià)為101元時(shí)，銷售利潤(rùn)取得最大，最大利潤(rùn)為元.在解決最大利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，先找到利潤(rùn)和其它生產(chǎn)要素之間的函數(shù)關(guān)系式，對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，得到利潤(rùn)函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).再求利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而判斷利潤(rùn)函數(shù)是否為凹函數(shù),根據(jù)推論求得的利潤(rùn)函數(shù)是凹函數(shù)，則在穩(wěn)定點(diǎn)的函數(shù)值即為極大值,即利潤(rùn)最大值.這樣就把經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)中最優(yōu)化問(wèn)題看成簡(jiǎn)單的凸函數(shù)求極值的問(wèn)題，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便于理解.4.2.2成本最小問(wèn)題下面看一下成本最小問(wèn)題.例2要做一個(gè)容量為的圓柱形飲料罐，當(dāng)罐子的底半徑為多少時(shí)，才能最省材料.解：設(shè)飲料罐的高為，底半徑為，則表面積，由體積得，帶入可得，由得，又因?yàn)椋芍獮橥购瘮?shù)，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，只有一個(gè)極小值點(diǎn)，既是最大值.當(dāng)?shù)装霃綖?.3cm時(shí)，用的材料最少.求成本最小問(wèn)題時(shí)，首先建立起函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)定理4極值的第二充分條件，判斷函數(shù)關(guān)系式是凸函數(shù)，所以在穩(wěn)定點(diǎn)求的函數(shù)值為極小值，即成本最小值.利用凸函數(shù)求極值來(lái)解決這類問(wèn)題，可以在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中節(jié)省資源，避免浪費(fèi).4.2.3最佳庫(kù)存問(wèn)題在生產(chǎn)與銷售管理中，庫(kù)存量一定要適度，庫(kù)存太少，會(huì)造成供不應(yīng)求，失去時(shí)機(jī)；庫(kù)存太多，又會(huì)出現(xiàn)資金積壓或貨物過(guò)期等狀況，生產(chǎn)廠家或銷售公司要想維持正常的生產(chǎn)和銷售,管理者必須確定物資的庫(kù)存量，即何時(shí)補(bǔ)充庫(kù)存，應(yīng)該補(bǔ)充多少等.可以把庫(kù)存問(wèn)題轉(zhuǎn)換化為函數(shù)關(guān)系表示，然后用凸函數(shù)求極值解決最佳庫(kù)存問(wèn)題.例3武漢某公司的A產(chǎn)品年銷售量為10萬(wàn)件，假設(shè)這些產(chǎn)品分成若干批生產(chǎn)，每批需生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)100元；并假設(shè)產(chǎn)品的平均庫(kù)存量為批量的一半，且每件產(chǎn)品庫(kù)存一年需庫(kù)存費(fèi)0．05元.現(xiàn)想要使每年生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為最小，則每批的生產(chǎn)量是多少最合適.解：設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為，批量為，則，由得，又因?yàn)?，可知是凸函?shù).所以當(dāng)時(shí)去的極小值，且是唯一的極小值，即為最小值,所以當(dāng)每批生產(chǎn)2