2017屆衡南縣“五科聯(lián)考”數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2、答案必須寫在答題卷上相應(yīng)的地方，寫在試卷上無效；3、不能使用計(jì)算器。一、選擇題（每小題5分，共30分）1、如圖，四邊形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，則對角線AC的長為（）2213D．【分析】延長DC與AB交于一點(diǎn)K．解直角三角形求出DK，再求出AD，利用勾股定理求出AC．【解答】解：延長DC，交AB的延長線于點(diǎn)K在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠K＝30°，BC＝1∴CK2，BK3DKCDCK4∴∴ADDK43tan60322212243在Rt△ADC中，ACAD2DC233故選擇：D．【點(diǎn)評】考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形ADK．2、如果方程x2x4xm0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，則m的取值范圍是（）2A．0m2B．3m4C．m3D．3m4【分析】根據(jù)原方程可知x20，x24xm0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2x4xm0有三個(gè)20x24xm0的根的判別式，然后再由三角形的三邊關(guān)系來確定m的取值范圍．根，所以【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2x4xm0有三個(gè)根2∴①x20，解得：x21②x24xm0∴424m164m0，解得：m4x24m，x24m∴23又∵這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，且最長邊為x2xxx2∴13∴224m24m，解得：3m4故選擇：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及三角形的三邊關(guān)系．解答此題時(shí)，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊．（）cm2D．7【分析】已知AE＝BF，可設(shè)梯形的高為h，E到AD的距離為m．則可根據(jù)梯形性質(zhì)和三角形面積求解．【解答】解：設(shè)梯形的高為h，E到AD的距離為m，則1SSADBCm①2ADEBCF1SSADBChm②2ADFBCE①+②，得SSSSBCEADEBCFADFDOEADEEOFSSSSSSSSBCFADEBCFEOFCOFDOE2SSSSSCOFADEBCFEOFS梯形ABCDADE又∵SSSSSSSBCFEOFCODDOECOF梯形ABCD∴SSSS12ADEBCFEOFCODADE∴SSSSSSSS3412210（cm2）陰EODCOF梯形ABCDBCFEOFCOD故選擇：A．【點(diǎn)評】本題考查了梯形和三角形的面積，難度較大，做題關(guān)鍵是記住等底等高的三角形面積相等．4、直線yx1與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C最多有（）個(gè)①以AB為底，C在原點(diǎn)②以AB為腰，且A為頂點(diǎn)，C點(diǎn)有3種可能位置③以AB為腰，且B為頂點(diǎn)，C點(diǎn)有3種可能位置∴滿足條件的點(diǎn)C最多有7個(gè)故選擇：D．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．1115、已知abc，abc，則a2b2c2（）bcaA．5B．1C．3.5D．0.5111【分析】由已知abc，去分母得出a2bcacab2cababc2bc，經(jīng)過移項(xiàng)、因式分bca解等整式變形，即可得到a2b2c2的值．111【解答】解：∵abcbca∴a2bcacab2cababc2bc由a2bcacab2cab，得abcababc①由ab2cababc2bc，得abcbcbca②由abc2bca2bcac，得abccacab③①×②×③，得a3b3c3abbccaabcabbcca∵abc，abc0∴abcabbcca0∴a2b2c21故選擇：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的等式變形，運(yùn)用“去分母法”化分式為整式是解決問題的關(guān)鍵．6、為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺100條“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（）C．602D．704【分析】由搭第1個(gè)圖形需8根火柴，此后，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多用6根，故按照上面的規(guī)律可得：擺n條“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為86n1根．【解答】解：∵搭第1個(gè)圖形需8根火柴，此后，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多用6根∴按照上面的規(guī)律，擺100條“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為861001602根故選擇：C．【點(diǎn)評】對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．二、填空題（每小題5分，共30分）n201622017n72016nn2017________．7、已知2，則【分析】將已知等式根據(jù)x2y2xy2xy變形可得．2【解答】解：∵n20162017n722n20162017n2n20162017n72∴12n20162017n7n20162017n3∴∴2016nn20173故答案為：－3．【點(diǎn)評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵．8、已知ab2a14b23c31c5，則2abc________．2【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵ab2a14b23c31c521a12a11b24b24c36c390∴21222∴a11b22c3302∴a110，b220，c330∴a2，b6，c12∴2abc2261236故答案為：36．【點(diǎn)評】本題考查了初中階段有三種類型非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值、偶次方、二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加的和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．x15x3①9、關(guān)于x的不等式組2只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是________．2x2xa②3【分析】此題可先根據(jù)一元一次不等式組解出x的取值，再根據(jù)不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，寫出5個(gè)整數(shù)解后，再求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由①，得x21由②，得x23a∴不等式組的解集為23ax21∵不等式組只有5個(gè)整數(shù)解∴整數(shù)解為20，19，18，17，16∴1523a16，解得：a3314133．故答案為：a3【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解題中要注意分析不等式組的解集的確定，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．10、如圖，已知點(diǎn)（1，3）在函數(shù)ykx0（）的圖象上．正方形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)E是對xk角線BD的中點(diǎn)，函數(shù)yx0x（）的圖象又經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)設(shè)出A和E的坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過這兩點(diǎn)，把設(shè)出的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到函數(shù)解析式中得到①和②，聯(lián)立即可求出a和b的值，得到E的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)（1，3）在雙曲線ykx0（）上x∴k133∴雙曲線為y3x33設(shè)A（a，）（），則點(diǎn)C為（，0）a0aaa∵點(diǎn)E是對角線BD的中點(diǎn)∴點(diǎn)E是正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a33，）2a2a∵雙曲線y3x0（）經(jīng)過點(diǎn)Ex33a36（負(fù)值舍去）a∴，解得：2a2a2∴a36，362a2a26∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）626故答案為：（，）．62【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生會根據(jù)一點(diǎn)的坐標(biāo)求反比例的解析式，靈活運(yùn)用正方形及反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題，是一道中檔題．11、已知0ab1，1ab4，那么當(dāng)a2b達(dá)到最大值時(shí)，2017a2016b的值等于________．用、表示出來，再利用不等式求得a2b的【分析】此題首先利用二元一次方程組求得a2babab取值范圍，進(jìn)一步結(jié)合已知推出a、b的值，代入代數(shù)式求值即可解答．【解答】解：令mabnaba2b，則mnanmba2b3mmn12∴，解得：nm21n231a2babab2∴20ab1①∵1ab4②∴2a2b1a1∴a2b的最大值為1，此時(shí)b2a1把b代入①、②，得20a11a3∴a1a1∴b02∴2017a2016b2017故答案為：2017．【點(diǎn)評】此題主要考查二元一次方程組、不等式的性質(zhì)以及求代數(shù)式的值，解答時(shí)要充分分析題目中的已知與所求之間的聯(lián)系．12、一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在同一條直線上朝同一方向行駛，在某一時(shí)刻，貨車在中，客車在前，小轎車在后，且它們的距離相等．走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又走了5分鐘，小轎車追上了客車．問貨車走了________分鐘，貨車追上了客車．①，【分析】設(shè)小轎車速度為a，貨車為b，客車為c，某一刻的相等間距為m，則m10ab2m105ac②，可得到210c10a15c15b，求得c與a、b之間的關(guān)系式，代入貨車追客車所得到的路程之間的相等關(guān)系中，即可求得時(shí)間．【解答】解：設(shè)小轎車速度為a，貨車速度為為b，客車速度為c，某一刻的相等間距為m，則m10ab①2m105ac②②①，得3ac22ab∴a4b3c假設(shè)再過t分鐘，貨車追上客車，則15tbc10ab∴15tbc104b3cb，解得：t15【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．要注意本題中的時(shí)間和路程之間的關(guān)系較復(fù)雜，要理清思路，找到它們之間的路程倍數(shù)關(guān)系和時(shí)間之間的關(guān)系，用路程之間的關(guān)系作為等量關(guān)系求解．13、（10分）如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東65°方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了200米到B處，測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東45°方向（點(diǎn)A、B、C在同一平面上），請你利用小明測得的關(guān)相數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin250.4226，cos250.9063，tan250.4663，sin650.9063，cos650.4226，tan652.1445）【分析】如圖，作CD⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)D，在Rt△ACD和Rt△BCD中分別表示出AC的長就可以求得AC的長．在Rt△ACD和Rt△BCD中，設(shè)ACx，則ADxsin65，BDCDxcos65∴200xcos65xsin65200x413（米）∴sin65cos65答：湖心島上迎賓槐C處與涼亭A處之間的距離約為413米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出直角三角形并正確的求解．x22a1xa20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且x2x211，12xx14、（10分）已知：、是關(guān)于x的方程12求a的值．【分析】欲求a的值，代數(shù)式x2x2xx2xx4，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，121212可以求得兩根之積或兩根之和，代入即可得到關(guān)于a的方程，即可求a的值．xxx22a1xa20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根【解答】解：∵、是方程12xx12a，xxa2∴∵1212x2x21112∴xx2xx4111212∴a2212a70，解得：a1，a512又∵2a124a214a0∴a14∴a1【點(diǎn)評】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．15、（12分）兩個(gè)警察抓兩個(gè)小偷，目擊者說：兩個(gè)小偷分別躲藏在六個(gè)房間中的兩間，但不知道他們到底躲藏在哪兩間．而如果警察沖進(jìn)了無人的房間，那么小偷就會趁機(jī)逃跑．如果兩個(gè)警察隨機(jī)地沖進(jìn)兩個(gè)房間抓小偷．（1）至少能抓獲一個(gè)小偷的概率是多少？（2）兩個(gè)小偷全部抓獲的概率是多少？請簡單說明理由．【分析】（1）設(shè)房間號為1、2、3、4、5、6，其中假設(shè)兩個(gè)小偷分別躲藏1、2，再用列舉法展示所有15種等可能的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；【解答】解：（1）設(shè)房間號為1、2、3、4、5、6，其中假設(shè)兩個(gè)小偷分別躲藏在1、2，任意取兩個(gè)，共有15種等可能的結(jié)果數(shù)：1、2；1、3；1、4；1、5；1、6；2、3；2、4；2、5；2、6；3、4；3、5；3、6；4、5；4、6；5、6其中至少能抓獲一個(gè)小偷占9種93∴至少能抓獲一個(gè)小偷的概率155（2）兩個(gè)小偷全部抓獲的結(jié)果數(shù)占1種，即1、2∴兩個(gè)小偷全部抓獲的概率115【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．16、（12分）如圖，要建造一個(gè)直角梯形的花圃．要求AD邊靠墻，CD⊥AD，AB：CD＝5：4，另外三邊的和為20米，設(shè)AB的長為5x米．（1）請求出AD的長（用含字母x的式子表示）；（2）若該花圃的面積為50米2，且周長不大于30米，求AB的長．【分析】（1）作BE⊥AD于E，就可以得出BE＝CD，在Rt△ABE中由勾股定理就可以求出AE，由BC＝DE就可以表示出AD而得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論根據(jù)梯形的面積公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范圍就可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）作BE⊥AD于E∴∠AEB＝∠DEB＝90°∵BC∥AD∴∠EBC＝90°∴四邊形BCDE是矩形∴BE＝CD，BC＝DE∵AB：CD＝5：4，AB5x∴CD4xBE4x∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AEAB2BE25x4x3x22BC20ABCD205x4x209xDE209x∵∴∴ADAEDE3x209x206x（米）（2）由題意，得50①206x209x4x206x209x4x5x30②2由①，得x5，x1312由②，得x5∴∴3525AB5（米）33【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，梯形的周長公式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，一元一次不等式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件建立方程及不等式是關(guān)鍵．17、（13分）如圖，OPA、APAPPy4x0都是等腰直角三角形，點(diǎn)、在函數(shù)（）的圖象x11112212OAAA上，斜邊，都在x軸上．112PP（1）請求出、的坐標(biāo)；12PP（2）求直線的解析式；12（3）利用圖象直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，yy（yPP是直線的函數(shù)值）．12212PEPFPEOEEA，11【分析】（1）作、分別垂直x軸于點(diǎn)E、F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出12PFAFAFP1P2mn，n）（m0，n0），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)，由此可設(shè)（m，m），（2212PP的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于m、n的分式方程，解方程即可得出m、n值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得、的坐標(biāo)；12PP12ykxbk0PP（），根據(jù)點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直12（2）設(shè)直線的解析式為PP線的解析式；12∵OPA、APA都是等腰直角三角形11122PEOEEA，PFAFAF∴11212P1P2mn，n）（m0，n0）2∴設(shè)（m，m），（∴m4n，4m2mn∴m2，n222經(jīng)檢驗(yàn)，m2，n222是分式方程的解P1P222，222）2∴（2，2），（PP12ykxbk0（），根據(jù)題意，得（2）設(shè)直線的解析式為2kb2k12解得：b22222kb222，y12x22PP12∴直線的解析式為（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)2x22時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方∴當(dāng)2x22時(shí)，yy21【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于m、n的方程；（2）利用待定系數(shù)法求出直PP線的解析式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目12時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．18、（13分）如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上的一點(diǎn)，連結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)M，MN⊥CM交射線AD于點(diǎn)N．（1）當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；ABEF2BCBFAN，求的值；ND（2）若ABEFn，當(dāng)n為何值時(shí)，MN∥BE？（3）若BCBF【分析】（1）如圖1，易證△BMF≌△ECF，則有BM＝EC，然后根據(jù)E為CD的中點(diǎn)及AB＝DC就可得到AM＝EC；（2）如圖2，設(shè)MBa，易證△ECF∽△BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EC2a，