二項分布與普哇松分布及其應用

關于二項分布與普哇松分布及其應用第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日二項分布與普哇松分布及其應用

一．二項分布（binomialdistribution）的概念及應用條件二．二項分布的應用三．Poisson分布的概念及應用條件四.Poisson分布的應用第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日一．二項分布（binomialdistribution）的概念及應用條件

1．概念拋一枚均勻硬幣,正面朝上的出現次數X:X01P0.50.5X的分布稱作為二點分布,如果將此試驗重復若干次，如10次，正面朝上的出現次數X可以為0,1,2,…,10第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日從一個人群中隨機抽樣，假定已知這個人群中某病的患病率為0.10，則隨機抽出一人，患病人數的分布服從二點分布，X01p0.90.1第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日將此過程重復若干次，如n次，即抽取了n人，則患病人數的分布即為二項分布。

X0123……np?????第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日應用條件：①每個觀察單位只能有2個互相對立的一個結果，如陽性與陰性，生存與死亡，發(fā)病與未發(fā)病。②

每次試驗的條件不變。③

n個觀察單位的結果相互獨立。第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例1設小白鼠接受某種毒物一定劑量時。其死亡率為80%，對于每只小白鼠來說，死亡概率0.8，生存概率0.2。如果每組有甲乙丙三只小白鼠第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2．二項分布的概率

設陽性結果發(fā)生的概率為π，則n個觀察單位有x個呈陽性的概率第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3．二項分布的累計概率最多有k例陽性的概率p(x≤k)=P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)最少有k例陽性的概率p(x≥k)=P(X=k)+P(X=k+1)+……+P(X=n)第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例2（藥效的判斷問題）已知某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給10個病人服用，且事先規(guī)定一個決策規(guī)則：若這10個病人中至少有4人治好此病，則認為這種藥有效，提高了痊愈率，反之，則認為此藥無效。求新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率。第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

4．二項分布的性質

(1)π=0.5時分布對稱，π≠0.5分布偏態(tài)第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(2)

π不接近0或1，n較大時，近似正態(tài)，一般地要求nπ>5且n(1-π)>5第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(3)

均數μ=nπ標準差σ=(4)

陽性率的均數μp=π

標準差σp=

（率的標準誤）第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例3在某鎮(zhèn)按人口的1/20隨機抽取329人，作血清登革熱血凝抑制抗體反應檢驗，得陽性率p=8.81%,則此陽性率的抽樣誤差

第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日二．二項分布的應用

1.總體率的區(qū)間估計①查表法n≤50②正態(tài)近似法np>5n(1-p)>5p±uasp第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

例4在血吸蟲病流行區(qū)中，某縣根據隨機原則抽查4000人， 其血吸蟲感染率為15%，如全縣人口為205000人，試以99%的可信區(qū)間估計該縣血吸蟲感染人數至少有多少？至多有多少？總體率的99%可信區(qū)間即0.1354~0.1646至少0.1354×205000=27757至多0.1646×205000=33743

第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2．率的假設檢驗

①樣本率與總體率比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體率π與已知的總體率π0是否相等。②兩樣本率比較的u檢驗第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日①樣本率與總體率比較

方法一：直接計算概率法

例5據以往經驗，新生兒染色體異常率一般為1%，某醫(yī)院觀察了當地400名新生兒，只有1例異常，問該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0:π=0.01H1:π<0.01α=0.05P=p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)p>0.05不拒絕H0第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日問題:P=P(x≤1),而不是P=P(x≤2)P=P(x≤1),而不是P=P(x=1)3.P=P(x≤1),而不是P=P(x≥1)第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例用一種新藥治療某種寄生蟲病,受試者50人在服藥后1人發(fā)生某種嚴重反應,這種反應在此病患者中也曾有發(fā)生，但過去普查結果約為每5000人中僅有1人出現。問此新藥是否提高了這種反應的發(fā)生率?第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

方法二：正態(tài)近似法（n較大）第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例6根據以往經驗，一般胃潰瘍病患者有20%發(fā)生胃出血癥狀，現某醫(yī)院觀察65歲以上潰瘍病人304例，有31.6%發(fā)生胃出血癥狀,問老年胃潰瘍病患者是否較容易出血?H0:π=0.2H1:π>0.2α=0.05

p<0.05拒絕H0，認為……第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

②兩樣本率比較的u檢驗第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例7某山區(qū)小學男生80人，其中肺吸蟲感染23人，感染率為28.75%,女生85人感染13人,感染率為15.29%,問男女生的肺吸蟲感染率有無差別?H0:π0=π1H1:π0≠π1α=0.05pc=(23+13)/(80+85)=0.2182查u界值表得0.01<p<0.05第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日三．Poisson分布的概念及應用條件

Poisson分布常用于研究單位容積內某事件的發(fā)生數，如:

某交換臺在某一段時間內所接到的呼喚次數某公共汽車站在一固定時間內來到的乘客數在物理學中，放射性分裂落到某區(qū)域的質點數顯微鏡下落在某區(qū)域中的微生物的數目在工業(yè)生產中，每米布的疵點數紡織機上的斷頭數等等都服從Poisson分布。

第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日醫(yī)學研究中，單位容積中大腸桿菌數粉塵在單位容積的數目放射性物質在單位時間內放射質點數一定人群中患病率較低的非傳染性疾病患病數（或死亡數）的分布。第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1．概率x=0，1，2，……μ是總體均數第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

2．分布特征①

非對稱，但μ增大時趨于對稱第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日②

均數與方差均為μ③

分布的可加性，可使μ>20,使得可用正態(tài)近似第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3.應用條件平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關獨立增量性：在某個觀察單位X的取值與前面n個觀察單位上X的取值獨立.普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日四．Poisson分布的應用

1.區(qū)間估計①查表法x≤50例8將一個面積為100cm2的培養(yǎng)皿置于某病室中，1小時后取出，培養(yǎng)24小時,查得8個菌落,求該病室平均1小時100cm2細菌數的95%可信區(qū)間.X=8,查表得,μ的95%可信區(qū)間是(3.4,15.8)第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日②正態(tài)近似法x>50例9用計數器測得某放射性物質半小時內發(fā)出的脈沖數為360個，試估計該放射性物質每30分鐘平均脈沖數的95%可信區(qū)間。第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2．假設檢驗①樣本均數與總體均數的比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體均數μ是否等于已知的μ0（理論值、標準值或經大量觀察所得的穩(wěn)定值）方法一：直接計算概率法第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例9據以往大量觀察得某溶液中平均每毫升有細菌3個。某研究者想了解該溶液放在5°C冰箱中3天，溶液中細菌數是否會增長?，F采取已放在5°C冰箱中3天的該溶液1毫升，測得細菌5個。問該溶液放在5°C冰箱中3天是否會增長？H0：不會增長，即μ=3溶液中細菌數服從Poisson分布P=P（X≥5）=1-P（X=0）-…-P（X=4）=0.1847所以……第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例10已知接種某疫苗時，一般嚴重反應率為1‰，現用一批該種疫苗接種150人，有2人發(fā)生嚴重反應，問該批疫苗的嚴重反應率是否高于一般。H0:μ=μ0=0.001×150=0.15H1:μ>0.15α=0.05p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α所以拒絕H0注:此題也可用二項分布計算得p=0.0101529第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日方法二:正態(tài)近似法（μ≥20）例11某溶液原來平均每毫升有細菌80個,現欲研究某低劑量輻射能否殺菌。研究者以此低劑量輻射該溶液后取1毫升，培養(yǎng)得細菌40個。試作統計分析。H0:輻射后溶液中平均每毫升細菌數μ0=80H1:μ<80α=0.05u=-4.47,p<0.05拒絕H0,認為……第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日②兩樣本均數比較的u檢驗應用條件：μ1>20μ2>20檢驗統計量

第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例11分別從兩個水源各取10次樣品，從每個樣品取出1ml水作細菌培養(yǎng),甲水源共生長890個菌落，乙水源共生長785個菌落,問兩水源菌落數有無差別？H0:兩水源菌落數相等，即μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05

=2.566查表得p=0.0102所以拒絕H0，認為兩水源菌落數有差別，以甲水源較高。第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例12某車間在改革生產工藝前，測取三次粉塵濃度，每升空氣中分別有38、39、36顆粉塵；改革工藝后，測取兩次，分別有25、18顆粉塵。問工藝改革前后粉塵數量有無差別？H0:μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05查表得p=0.0066所以拒絕H0。

第四十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日經反復多次實踐證明,用一般療法治療某病的治愈率約為20%.現改用新療法治療,并