二項式定理各種題型歸納

關(guān)于二項式定理各種題型歸納第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

二項式定理二項式展開的通項復(fù)習(xí)舊知第項第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)1在二項展開式中，與首末兩端等距離的任意兩項的二項式系數(shù)相等.性質(zhì)2：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)最大；性質(zhì)3：性質(zhì)4：(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和.第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型一利用的二項展開式解題解法1例1求的展開式直接用二項式定理展開第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型一利用的二項展開式解題例1求的展開式解法2化簡后再展開第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題2若,則的值()A一定為奇數(shù)C一定為偶數(shù)B與n的奇偶性相反D與n的奇偶性相同解:所以為奇數(shù)故選(A)思考能用特殊值法嗎?偶偶奇A第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日熟記二項式定理,是解答與二項式定理有關(guān)問題的前提條件,對比較復(fù)雜的二項式,有時先化簡再展開更便于計算.例題點評第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型二利用通項求符合要求的項或項的系數(shù)例3求展開式中的有理項解:令原式的有理項為:第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例4(04全國卷)的展開式中的系數(shù)為__________解:設(shè)第項為所求的系數(shù)為第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日分析：第k+1項的二項式系數(shù)---第k+1項的系數(shù)-具體數(shù)值的積。解：第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日求二項展開式的某一項,或者求滿足某種條件的項,或者求某種性質(zhì)的項,如含有x項的系數(shù),有理項,常數(shù)項等,通常要用到二項式的通項求解.注意(1)二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.(2)表示第項.3例題點評第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型3二項式定理的逆用例6計算并求值解(1):將原式變形第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型3二項式定理的逆用例7計算并求值解:(2)原式第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點,也是重點,只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型4求多項式的展開式中特定的項(系數(shù))例8的展開式中,的系數(shù)等于___________解:仔細觀察所給已知條件可直接求得的系數(shù)是解法2運用等比數(shù)列求和公式得在的展開式中,含有項的系數(shù)為所以的系數(shù)為-20第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例9．求展開式中的系數(shù)。解:可逐項求得的系數(shù)的展開式通項為當時系數(shù)為的展開式通項為當時系數(shù)為所以展開式中的系數(shù)為的展開式通項為當時系數(shù)為-4第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(某項的系數(shù)),可以逐項分析求解,常常對所給代數(shù)式進行化簡,可以減小計算量例題點評第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型5求乘積二項式展開式中特定的項(特定項的系數(shù))例題10:求

的展開式中項的系數(shù).解的通項是的通項是的通項是第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日由題意知解得所以的系數(shù)為:

例題點評對于較為復(fù)雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（題型6）求展開式中各項系數(shù)和解：設(shè)展開式各項系數(shù)和為1例題點評求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項式中的字母為1∵上式是恒等式，所以當且僅當x=1時，(2-1)n=∴=（2-1）n=1例11.的展開式的各項系數(shù)和為____第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型7：求奇數(shù)(次)項偶數(shù)(次)項系數(shù)的和(1)(2)第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型7：求奇數(shù)(次)項偶數(shù)(次)項系數(shù)的和所以（3）第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評求二項展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)二項式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型8三項式轉(zhuǎn)化為二項式解：三項式不能用二項式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項式再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得=1107第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日______________解：原式化為其通項公式為240例題點評括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項,合并時要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二項式.第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型9求展開式中系數(shù)最大(小)的項解:設(shè)項是系數(shù)最大的項,則二項式系數(shù)最大的項為第11項,即所以它們的比是第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例16在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項，則所以當時，系數(shù)絕對值最大的項為第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例17求的展開式中數(shù)值最大的項解：設(shè)第項是是數(shù)值最大的項展開式中數(shù)值最大的項是第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項是系數(shù)最大的項，則有由此確定r的取值例題點評第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型10整除或余數(shù)問題例18解:前面各項均能被100整除.只有不能被100整除余數(shù)為正整數(shù)注意第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點評第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型11證明恒等式析:本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和.因為由此分析求解兩式相加第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種最常見的方法,證明等式常用下面的等式第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例20．證明：

證明通項所以題型12證明不等式第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評利用二項式定理證明不等式,將展開式進行合理放縮第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型13近似計算例21.某公司的股票今天的指數(shù)為2,以后每天的指數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,則100天后這公司的股票股票指數(shù)為_____(精確到0.001)解:依題意有2(1+0.2%)100所以100天后這家公司的股票指數(shù)約為2.44點評近似計算常常利用二項式定理估算前幾項第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日鞏固練習(xí)一選擇題1(04福建)已知展開式的常數(shù)項是1120,其中實數(shù)是常數(shù),則展開式中各項系數(shù)的和是()C2若展開式中含項的系數(shù)與含項的系數(shù)之比為-5,則n等于()A4B6C8D10B3．被4除所得的系數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3A第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日展開式中的系數(shù)是______________2被22除所得的余數(shù)為

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