高考數(shù)學重點考點解析考前沖刺三第一類第2講 三角恒等變換與解三角形

第2講三角恒等變換與解三角形

高考定位1.三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中關(guān)鍵是利用兩角和

與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等進行恒等變換，“角”的變換是三角恒

等變換的核心；2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主

要考查邊、角、面積的計算及有關(guān)的范圍問題.

真題感借I考點整合明考向扣要點

真題感悟

1.（2018.全國II卷）在△ABC中，cos苧=骼BC=\,AC=5,則AB=（）

A.4^2B.V30C.^29D.2小

解析因為cos予=乎，

所以cosC=2cos2亨一1=2X。^）—1=—1.

于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2—2ACXBCXCOS。=52+仔—

2X5X1X（-1|=32.

所以AB=W1

答案A

2.（2017?全國I卷）已知aG（0,3，tana=2,貝Ucos（a—：）=.

解析YaG（0,舒，且tana=2,/.sina=2cosa,

又sin2Q+COS2a=1,所以sina=Z^5,cosa=羋.

缶”（叫返...3?

所以cosla-1=2（cos夕十sina）=.

宏安出叵

口木]0

3.（2018?全國I卷）在平面四邊形ABC。中，ZADC=90°,NA=45。，AB=2,BD

=5.

⑴求cosNADS；

(2)若0c=2啦，求BC.

D4DS0

解⑴在△加中，由正弦定理得目=sinZADB,即sin45°=sinNAQ8'

所以sinZADB=^-.

由題設(shè)知，ZADB<90°,

所以cosNADB=y^1一

(2)由題設(shè)及(1)知，cosZBDC=sinZADB=^~.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2~2-BD-DC-cosZBDC

5

=25+8—2X5X2啦X半=25.

所以BC=5.

4.(2018?浙江卷)已知角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它

的終邊過點/(一|，圄

⑴求sin(a+兀)的值；

⑵若角夕滿足sin(a+/?)=V，求cosP的值.

解⑴由角a的終邊過點尸(一|,一§,

得sina=-5,

一4

所以sin(a+ju)=—sin?=y

(2)由角a的終邊過點/(一,,一§,得cosa=—|,

512

由sin(a+￡)=g，得cos(a+.)=±行.

由4=(儀+夕)一a得cosy?=cos(a+/?)cosa+sin(a+4)sina,

所以cos夕=-If或cos4=||?

考點整合

1.三角函數(shù)公式

⑴兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a±/?)=sinacos夕土cosasin夕；

cos(a±y?)=cosacos￡干sinQsin￡；

/c、tang±tan[i

tan(a±￡)jTtan^tari￡?

(2)二倍角公式：sin2a=2sinacosa,cos2?=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a.

(3)輔助角公式：tzsinx+bcosx=^/a2+/?2sin(x+^),其中tan夕=§.

2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式

(1)正弦定理

在△ABC中，京=熹=/7=2/?(火為AABC的外接圓半徑);

sin/isinLJsinL

變形：〃=2RsinA,sinA=會，

。：。：c=sinA：sin8：sinC等.

(2)余弦定理

在△ABC中，a2=h2+c2~2hccosA；

廿+d-/

變形：b2+c1-c^=2bccosA,cos4=------------

(3)三角形面積公式

SzxABC=%》sinC=gbcsinA=%csinB.

隰點聚焦分類突破研熱點析考法

熱點一三角恒等變換及應(yīng)用

4、「4

【例1】(2018?江蘇卷)已知a,p為銳角，tana、，cos(a+夕)=一當

⑴求cos2a的值；

(2)求tan(a一夕)的值.

4sin4

解(1)因為tana=Q,tana=1---,所以sina=Qcosa.

jcosaJ

9

因為sin%-Feos2a=1,所以cos2a=行，

7

因止匕，cos2a=2cos%—1=一%.

(2)因為a,4為銳角，所以a+46(0,兀).

又因為cos(a+/)=一乎，

所以sin(a+/>)=^1—cos2(a+/>)

因此tan((z+4)=—2.

42tana24

因為tana=Q，所以tan2a=

1—tan-。T

—,tan2。—tan(a+￡)2

因止匕，tan(a-所tan[2a-(a+協(xié)=1+32.(a+尸)=一1?

探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.

2.解決條件求值問題的三個關(guān)注點

(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角.

(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三南函數(shù)值來表示.

(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，

然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.

【訓練1]⑴(2018?廣西三市聯(lián)考)已知尤G(0,7i),且cosf2x-^=sin2x,則

L

anr-等r1

11

BC

A.3--3-

(2)如圖，圓0與1軸的正半軸的交點為A,點C,8在圓。上，且點C位于第一

象限，點8的坐標為(H，一爸，NAOC=a.若則小cos]—si或.cos5一

半的值為.

解析⑴由cos^2x—^j=sin2x得sin2x=sin2x,

又x￡(0,7i),貝Utanx=2,

(兀、tanx-1i

故utaV-?J=7+^=

3,

(2)由題意得|OC|=|OB|=|8C|=1,從而△OBC為等邊三角形,

兀5

所以

sinZAC>B=sin|aT3J

又因為小cos]-sin5cos—為

答案(1)A(2偌

熱點二正弦定理與余弦定理

考法1利用正(余)弦定理進行邊角計算

【例2一1](2018.濰坊一模)△A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已

矢口(a+2c)cos8+bcosA=0.

⑴求&

(2)若b=3,△ABC的周長為3+2小，求AABC的面積.

解(1)由已知及正弦定理得

(sinA+2sinQcosB+sinBcosA=0,

(sinAcos8+sinBcosA)+2sinCeos8=0,

sin(A+B)+2sinCeos8=0,

又sin(A+3)=sinC,且CW(0,兀)，sinCWO,

AcosB=—^9V0<B<TI9.\B=^n.

(2)由余弦定理，得9=a2+c1-26/ccosB.

/.a2-{~c1-\-ac=:9,則(o+c)?—ac=9.

,.,Q+〃+C=3+2^/§,.??a+c=2，§,

.一?c_1-R13―

??etc3,??\&ABC2〃csinD?X3X14.

【遷移探究1】若本題第(2)問條件變?yōu)椤叭鬮=3,&ABC=乎”，試求a+c的

值.

白力H-!C_1.D3V§

解由SAABC-]ac?sinB一彳，

.1近州mni

??]〃(7?2=4'cic—3.

由余弦定理，得Z>2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-ac,

所以(a+c)2=/?2+ac=9+3=12,故a+c=2小.

【遷移探究2】在第(2)問中，保留條件8=3,刪去“條件△ABC的周長為3+

2小”，試求△ABC面積的最大值.

解由/=/+d—2accosB=a2+c2—ac,

貝U9=a2+c2—ac^2ac—ac=ac,

所以acW9(當且僅當a=c=3時，取等號)，

痂c_1.兀9V§

SAABC2“csinX9sin34，

所以AABC面積的最大值為乎.

探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等

基本計算，或?qū)蓚€定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.

2.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三

角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意'‘三統(tǒng)一"，即“統(tǒng)

一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.

【訓練2】(2018?佛山調(diào)研)在△A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己

,^A+B

知2cos^^—-cos2C=1,3sinB=2sinA,a—b=\.

⑴求角C的大??；

(2)求與的值.

解(1)由2cos—-cos2c=1,得cos2C+cosC=0,

所以2cos2。+cosc-l=o,

解得cos。/,cosC=-1(舍去)，

從而C=1.

(2)因為3sin3=2sinA,所以為=2a,

又a—b=l,所以a=3,b=2,

根據(jù)余弦定理可得c=7a2+*一2abcos。=[9+4—6=小,

所以￡=坐

考法2應(yīng)用正、余弦定理解決實際問題

【例2—2］（2018.衡水質(zhì)檢）某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”

氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處（點C在水平地面下方，。為C"與水平

地面ABO的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點A,8兩地相距

100米，ZBAC=60°,其中A到C的距離比B到C的距離遠40米工地測得該儀

器在。處的俯角為NOAC=15。，A地測得最高點〃的仰角為N”AO=30。，則該

儀器的垂直彈射高度。”為（）

A.210（加+6）米B.14（）V^米

C.21W米D.20（加一啦）米

解析由題意，設(shè)AC=尤米，則BC=（x—40）米，在△ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2

=BA2+CA2-2BA-CA-cosZBAC,

即（%—40）2=*2+10000-1001-,解得x=420（米）.

在△人（?”中，AC=420米，NCAH=30°+15°=45°,ZC/7A=90°-30°=60°,

L-rn、心工田CHAC

由正弦正里：sinNC4"=sinNA"C

sinZCAH

可得CH=AC-=140佩米）.

sinZAHC

答案B

探究提高1.實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，

可用正弦定理或余弦定理求解.

2.實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時

需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)

出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求的解.

【訓練3】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路

北側(cè)一山頂。在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達8處，測得此山頂在西

偏北75。的方向上，仰角為30。，則此山的高度CD=m.

解析由題意，在△ABC中，ZBAC=30°,ZABC=180°-75°=105°,故NACB

=45°.

又AB=600m,故由正弦定理得淺1=系2

解得BC=30(hj2(m).

在RtAfiCD中，CD=BCtan30°=300^2X100^6(01).

答案10(h/6

熱點三與解三角形有關(guān)的創(chuàng)新交匯問題

[例3](2018?鄭州質(zhì)檢)已知向量m=(2sincox,COS2G)X_sin2cox)>n=(,\/3coscox,

1),其中①>0,x￡R.若函數(shù)=?〃的最小正周期為兀

⑴求co的值；

(2)在△43C中，若為B)=—2,BC=V§,sin3=/sinA,求放?病的值.

解(1)/(^)=fnn=sinGXCOSCOX+cos269x—sin269x=y[3sin2cox+cos2OJX=

2sin(2①x+"

2兀

因為/U)的最小正周期為無，所以7=瑞=兀

又0>0,所以①=1.

(2)由⑴知fix)=2sin(2x+W.

設(shè)△ABC中角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.

因為/3)=-2,所以2sin(23+2=—2,

即sin(2B+^j=-1,由于0<B<n,解得8=用.

因為即a=小，XsinB=y[3sinA,

所以。=#a,故。=3.

由正弦定理，有必=一三，解得sinA=:

binZX.乙

sinT

由于OVAV?解得A=.

所以。=茅所以c=a=小.

所以麗?的=cacosB=3X小Xcos^=—1.

探究提高1.破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”，

即先活用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三

角函數(shù)進行巧“化簡”；然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對

應(yīng)坐標乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對三角形的邊、角進行互化.

2.這種問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”，轉(zhuǎn)化為三角

函數(shù)的相關(guān)知識進行求解.

【訓練4】（2018.濟南質(zhì)檢）已知向量a=（cos《+xj,sin《+xj）,6=（—sinx,

小sinx）,j（x）=ab.

（1）求函數(shù)7U）的最小正周期及火x）的最大值；

（2）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若（駕=1,a=

2小，求三角形ABC面積的最大值并說明此時該三角形的形狀.

解（1）由已知得。=（—sin犬，cosx）,又b=（—sinx,小sin九）,

則Xx)=ab=sin2x+^/3sinxcosx

=^(1—cos2x)+坐sain2x=sin(2x—皆+/1,

2

.7/（x）的最小正周期7=發(fā)2兀=兀，

yrTT7T3

當2x—j=/+2&兀(&@Z)時，即x=g+E(&￡Z),/(x)取最大值是

(2)銳角△ABC中，由⑴得利=sin(A-W+W=1,

.?.sin(A*1..兀

=2'"=].

由余弦定理得a2=/?2+c2—2bccosA,\2=b2+c2—bc,

：.b2+c1=n+bc^2bc,即bcW12（當且僅當b=c=2小時等號成立）.

.*.S=*csinA=,Z?cW3小.

.?.當AABC為等邊三角形時面積取最大值是3小.

明細總結(jié)思維升華探規(guī)律防失誤

1.對于三角函數(shù)的求值，需關(guān)注：

（1）尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應(yīng)用公式；

（2）注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；

（3）對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對于

很難入手的問題，可利用分析法.

2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：

（1）通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；（2）通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；（3）通過三角變換

找出角之間的關(guān)系；（4）通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進

行討論；（5）若涉及兩個（或兩個以上）三角形，這時需作出這些三角形，先解條件

多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理,

有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組）求解.

3.解答與三角形面積有關(guān)的問題時，如已知某一內(nèi)角的大小或三角函數(shù)值，就選

擇S=ga加in。來求面積，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角.

I專題訓練對接高考求落實迎高考

一、選擇題

1.（2018.全國III卷）若sina=；,則cos2a=（）

i27

角星析cos2a=1—2sin2a=1—2X=g.

答案B

2.(2018?湖南師大附中聯(lián)考)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

兀It

A=『a=6,b=8,則c=()

A.4啦一2或4啦+2B.4啦一2

C.4-J2+2D.4

解析由余弦定理得。2—86c+28=0,

即(c—4啦y=4.

解之得c=46±2.

答案A

3.(2018.全國IH卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面

積為----4------,則C=()

▲兀c兀一兀e兀

A，2B.gC'D年

1B+/_J]

=absin

解析因為S^ABc2,，所以----4-----=呼?加inC.由余弦定理/+廿一c?=

兀

2abeosC,得2abeosC=2absinC,即cosC=sinC.所以在△ABC中，。=不

答案C

jr1

4.在△ABC中，Bq,BC邊上的高等于則COSA=()

處遮遮r>_巡

10°10J10u-10

解析在△ABC中，S<MBc=；A3.8CsinB=；X，C3C,解得AB=*BC,根據(jù)

余弦定理得AdnA^+BCa-ZABBCcosS=|BC2,即AC=^BC,

,A-+AC2—BC2遮

COsA=2AB-AC=_10"

答案C

5.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形，且滿

足sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()

A.a=2〃B.h=2aC.A=2BD.B=2A

解析等式右邊=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+

sinB.

等式左邊=2sinBcosC+sinB,

則2sinBcosC+sinB=sinAcosC+sinB,

因為角C為銳角三角形的內(nèi)角，所以cos。不為0.

所以2sin8=sinA,根據(jù)正弦定理，得a=2b.

答案A

二、填空題

，則

6.（2018?全國HI卷）已知tanItana=

解析法一因為

tan5'

5兀

tana-tair^-...

匕匕241tana—1t1曰3o

所以---------w即ri---=不解何

1I57712=57,1+tana5tana=52.

1+tanatan-^-

1

法二因為tan亍

（5兀、,5兀1一

tanl<z—+tan^j~

3

所以tana=tan

?5叫5兀12-

1—tanla-ltan^-1一5X1

3

答案2

7.(2018?東北三省四校模擬)已知角a的終邊經(jīng)過點P(4a,3a)(a<0),貝U25sin夕一

7tan2a的值為.

333

-。-

解析由題意知-na-

tana=1^si-3a-5

45

.2tana_______4___24

??tan=';2-=7=,，

1—tana⑶27

「㈤

.?.25sina-7tan2a=25X（^-|j-7Xy=-39.

答案一39

8.（2018?全國I卷）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知切inC+

csinB=4asinBsinC,b1+c2~a2=S,則△ABC的面積為.

解析由bsinC+csinB=4asinBsinC得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

1/+—02O

因為sinBsinCWO,所以sin4=彳.因為/+（?—/=8,所以cosA=----五---=7T"

2ZbcZbc

scrN-8小"r/c1..11、，8仍、，12s

bcsinAXX=

=2，所以加二十".所以S&ABC—2~73~23~'

答案受

三、解答題

9.（2017?山東卷）在△ABC中，角A,B,9的對邊分別為a,b,c,已知。=3,ABAC

——6,S,、A8C=3,求4和a.

解因為晶?危=-6,所以AcosA=—6,

又因為SAABC=3,所以feesinA—69

3兀

因此tanA=-1,又0<4<兀，所以A=了.

又因為〃=3,所以c=2啦.

由余弦定理?2=Z?2+c2—2/?ccosA,

得/=9+8—2*3義2啦X(一坐)=29,

所以a=-\f29.

10.(20