大學(xué)物理課后習(xí)題答案(北郵第三版)下

大學(xué)物理習(xí)題及解答

習(xí)題八

8-1電量都是4的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).試問(wèn)：(1)在這三角形的中

心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫(kù)

侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無(wú)關(guān)系？

解：如題8-1圖示

(1)以A處點(diǎn)電荷為研究對(duì)象，由力平衡知：4,為負(fù)電荷

2—工cos30°=———^―

4兀/a4兀4V32

3"

,V3

q=----q

解得3

(2)與三角形邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).

題8-1圖題

8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是“，都用長(zhǎng)為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線

夾角為2?如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶

的電量.

解：如題8-2圖不

Tcos0=mg

1q?

Tsin8=F

e4兀3(2/sin6)2

解彳uq="sin8J4環(huán))mgtan8

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式4萬(wàn)斯〃，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近任一0)時(shí)，則場(chǎng)強(qiáng)

-8,這是沒(méi)有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解？

E=__W__f

解：4兀￡(/僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)rf()時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再用上式求

場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是

無(wú)限大.

8-4在真空中有A,B兩平行板，相對(duì)距離為d,板面積為S,其帶電量分別為+4和-4.則

二一

這兩板之間有相互作用力/,有人說(shuō)/=44%”，又有人說(shuō)，因?yàn)閒=qE,,所

以/=.試問(wèn)這兩種說(shuō)法對(duì)嗎?為什么？f到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說(shuō)法均不對(duì).第種說(shuō)法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第二種說(shuō)法把

合場(chǎng)強(qiáng)Q>s看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)的.正確解答應(yīng)為一個(gè)

E=d-"工上

板的電場(chǎng)為2/S,另一板受它的作用力2/S2s0S,這是兩板間相互作用

的電場(chǎng)力.

8-5一電偶極子的電矩為場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心。點(diǎn)的距離為廣，矢量尸與'的夾角為

9,(見(jiàn)題8-5圖)，且「>>/.試正一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E在，方向上的分量6和垂直于r的分量

分別為

pcosOpsin。

E,=2兀，E0=4兀％/

證：如題8-5所示，將.分解為與尸平行的分量「sin夕和垂直于產(chǎn)的分量psin0.

r?/

???場(chǎng)點(diǎn)尸在〃方向場(chǎng)強(qiáng)分量

pcosB

2兀

垂直于r方向，即6方向場(chǎng)強(qiáng)分量

psinG

4兀4廠,

8-6長(zhǎng)/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度X=5.0x1Crb'的正電荷.試求:

(1)在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B端相距a\=5.0cm處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上

與導(dǎo)線中點(diǎn)相距“2=5.0cm處。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元也，其上電量d"在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為

%(?-x)

24

Al

22

ns0（4a-I）

9-1

用/=15cm,2=5.0x10C-m（a=12.5cm代入得

1

Ep=6.74x10-N-C方向水平向右

1

df。=~~

⑵同理4?！辏ǎ﹛-+d￡方向如題8-6圖所示

由于對(duì)稱性=°,即后。只有y分量，

」廠1Adxd2

d戶—______________,

..Gv471%/+d；M+dj

Al

2兀4J/2+4虜

-1

以丸=5.0x10—9Ccm,I=15cm,d2=5cm代入得

%=%=1496x102N.C：方向沿y軸正向

8-7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為％,求環(huán)心處。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取出=Rd<P

dq=2d/=R4de,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

亞二3照

4兀方向沿半徑向外

丸

dEv=dEsincp=------sin(pA(p

則4兀4尺

-2

dE=dfcos（?一夕）=------cos陽(yáng)/

v4n%R

E=p---sin^xl^=---

積分'A4兀4R2兀%R

Ev=r----COS69d69=0

＞」）4兀4R

...“2兀4卡,方向沿x軸正向.

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊K為/，總電量為(1)求這正方形軸線上離中心為廣

處的場(chǎng)強(qiáng)E；(2)證明：在「〉〉/處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷4產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E.

魚(yú)_

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷W在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)d￡p方向如圖，大小為

_4(C0S。1-cos%)

d七p=t--

4麻。9+：

題8-8圖

由于對(duì)稱性，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿方向，大小為

8-9(1)點(diǎn)電荷4位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過(guò)立方體的一

個(gè)面的電通量；(2)如果該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的?個(gè)頂點(diǎn)匕這時(shí)穿過(guò)立方體各面

的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷4的電場(chǎng)中取半徑為R的圓平面.勺在

R

a-arctan—

該平面軸線上的A點(diǎn)處，求：通過(guò)圓平面的電通量.（x）

亞西=幺

解：（1）由高斯定理與

立方體六個(gè)面，當(dāng)“在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

①?gòu)V告

，各面電通量6，）.

（2）電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長(zhǎng)2a的立方體，使4處于邊K2a的立方體中心，則

①

邊長(zhǎng)2a的正方形上電通量6%

①,=-q—

對(duì)于邊長(zhǎng)。的正方形，如果它不包含“所在的頂點(diǎn)，則’24%,

如果它包含q所在頂點(diǎn)則①，二°

題8-9(a)圖題8-9(b)圖題8-9(c)圖

（3）:?通過(guò)半徑為R的圓平面的電通量等于通過(guò)半徑為的球冠面的電通量，球冠

面積*

S=27r(/?2+x2)[l--.%]

yjR2+x2

①=強(qiáng)-----__「工1-Y

...￡()4兀(R~+x~)24[ylR~+x2j

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見(jiàn)題8-9(c)圖

S=j2itrsina-rda

=271r*Jsina-da

=2兀廠2(1—cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2X1。％?m'求距球心5cm,

8cm,12cm各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

《后E4兀產(chǎn)=Z1

解：高斯定理%,4

當(dāng)r=5cm時(shí)，Z"=°,后=0

_4兀

r=8cm時(shí)，￡qP3("一「內(nèi))

冷(f)

E=—3——--

...4無(wú)￡。廣?3.48xl04N-C-',方向沿半徑向外.

-12cm時(shí)，、“不小感

(，外T)

E=—=2-------------?4.10xl04

..?4%廠N-C-1沿半徑向外.

8-11半徑為與和a(%>&)的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電量4和-乙

RR

試求：(1"〈凡；(2)i<r<2i(3)「>此處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

我西=堂

解：高斯定理J

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=2ml

iE-d5=E2nrl

則*

對(duì)⑴J>=°，E=°

⑵R,<r<R2￡q=l九

2?！?/沿徑向向外

⑶r>R2EK

E=0

題8-12圖

8-12兩個(gè)無(wú)限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為2和62,試求空間各處場(chǎng)

強(qiáng).

解：如題8T2圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為0與0'2,

-1_

E=-—(CT,-c)H

兩面間，2s°2

-1、一

E=--------(<T?+CT,)〃

6面外，2%

-1一

E-----(巧+cr2)n

外面外，2f0

?：垂直于兩平面由外面指為“面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為P,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為，＜R的

小球體，如題8-13圖所示.試求：兩球心。與°’點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是

均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電P的均勻球與帶電一夕的均勻小球的組合，見(jiàn)題8-13圖(a).

(1)+夕球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)品=°,

43

nrp

瓦。=Jr旃

一夕球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)47l￡od

Eo=—^-00,

：.。點(diǎn)電場(chǎng)3￡°d.

4.3

-加夕

J

E1(r-——^00,

(2)+「在。'產(chǎn)生電場(chǎng)4?！辍鉪

一。球在。'產(chǎn)生電場(chǎng)M。'=o

題8-13圖（a）

(3)設(shè)空腔任一點(diǎn)P相對(duì)°’的位矢為尸，相對(duì)°點(diǎn)位矢為尸(如題8-13(b)圖)

則

EP=EP0+Epo,=上-(尸一尸)=2旃=旦

..."P0P0343%3小

???腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是均勻的.

8-14一電偶極子由4=1.0X10%的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm,把這電

偶極子放在LOXIO^^L的外電場(chǎng)中，求外電場(chǎng)作用于電偶極子上的最大力矩.

解：V電偶極子P在外場(chǎng)E中受力矩

M=pxE

：."max=pE=qlE代入數(shù)字

-635

Mmax=1.0xl0x2xl0-xl.OxlO=2.0x107N.m

8-15兩點(diǎn)電荷％=1.5X10'a^2=3.OX108C,相距：=42cm,要把它們之間的距離變?yōu)?/p>

r2=25cm,需作多少功？

A=「月而=「^；=皿己—口

解：+工4兀4廠面/八々

—6.55x10-6j

外力需作的功A'=—A=—6.55x10-6j

題8T6圖

8-16如題8T6圖所示，在A,8兩點(diǎn)處放有電量分別為+4,-4的點(diǎn)電荷，A8間距離為

2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷夕。從。點(diǎn)經(jīng)過(guò)半圓弧移到0點(diǎn)，求移動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力作的

功.

解：如題8~16圖不

“專看立。

Uo=W-(9_3=--J

4兀%3RR6兀

A=q.(Uo-Uc)=-^-

?OT%R

8-17如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為％的正電荷,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和

半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心0點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì).

解：(1)由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，48和0。段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相抵消，取

d/=Rd。

則dq=4Rde產(chǎn)生。點(diǎn)d應(yīng)如圖，由于對(duì)稱性，。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

—_____.z7V,71

一~Ansin(---)—sin—

4兀[22]

—丸

2716,()7?

(2)43電荷在°點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以“8=°

〃pAdx坪AdxA..

5=-----=-----=-----In2

"般4兀4?！?

力=」一山2

同理CD產(chǎn)生-4兀4

nRAA

4

半圓環(huán)產(chǎn)生癡％??4%

41c丸

?！猯n2+——

u=1+4+4=271

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以2X10%?sT的勻速率作圓周運(yùn)動(dòng).求帶電直線

上的線電荷密度.(電子質(zhì)量機(jī)。=9.IX10"kg,電子電量e=1.60X10'C)

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為％,在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng)

E=-^—

2?！?/

eX

電子受力大小2兀//

eAv2

-------=mi—

2兀￡(/

八2兀%能u2

Z=——2——=12.5x10-13

得eC-m

8-19空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為E=30kV?cm\超過(guò)這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放

電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為"=0.5cm,求此電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng)

U=Ed=1.5x107

8-20根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)后與電勢(shì)u的關(guān)系E=-VU,求下列電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)：(1)點(diǎn)電荷4的電場(chǎng)；

(2)總電量為4,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*(3)偶極子p=q/的「＞〉/處(見(jiàn)題

8-20圖).

P(r.e)

U二—^—q/+q

解：(1)點(diǎn)電荷4兀￡。廠0—7^-?-一一題8-20圖

Eeu-q

￡=r=無(wú)-

-^°^7%為r方向單位矢量.

(2)總電量4,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸匕一點(diǎn)電勢(shì)

uq

4兀4JR2+/

后=&qx

2”

84無(wú)分(廢+工

(3)偶極子九="在「〉＞/處的一點(diǎn)電勢(shì)

1qlcos0

U=------Y---------------Y-------]=

4兀4(「——cos3)(l+—cos6)4兀4/

22

「dUpcos3

Er=------=---------

dr2兀//

IdU_psind

rd?45/

8-21證明：對(duì)于兩個(gè)無(wú)限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來(lái)說(shuō)，(1)相向的兩面上，

電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而

符號(hào)相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、3的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為°2,

(1)則取與平面垂直且底面分別在A、8內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有

<fE-dS=(o-2+CT3)AS=0

.cr2+(T3=0

說(shuō)明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反；

(2)在A內(nèi)部任取一點(diǎn)尸，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而

成的，即

_￡j___Z2___Z3__￡j_=o

2424242%

又：%+%=°

說(shuō)明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同.

8-22三個(gè)平行金屬板A,8和C的面積都是200cm:4和8相距4.0mm,4與C相距2.0

mm.B,0都接地，如題8-22圖所示.如果使A板帶正電3.0X10匕略去邊緣效應(yīng)，問(wèn)

B板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢(shì)為零，則4板的電勢(shì)是多少？

解：如題8-22圖示，令A(yù)板左側(cè)面電荷面密度為6,右側(cè)面電荷面密度為1

p\=F

...(AC~d

6_EAC_d—_2

/.02E^Bd/

且b]+(T2s

b)-，bI-....

23s135

得

2

qc=-<JiS=--(iA=-2x10-

而

外=-%S=-1x10,c

3

UA=EACdAC=^-dAC=2M0

⑵4V

8-23兩個(gè)半徑分別為&和%(Ry^2)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+夕，試計(jì)

算：

(1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大?。?/p>

(2)先把外球殼接地，然后斷開(kāi)接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)；

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變量.

解：(1)內(nèi)球帶電+4;球殼內(nèi)表面帶電則為一。，外表面帶電為+"，且均勻分布，其電勢(shì)

題8-23圖

2

同尾47r^or4兀47?

(2)外殼接地時(shí)，外表面電荷+“入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為一".所以球殼電

勢(shì)由內(nèi)球+“與內(nèi)表面一4產(chǎn)生：

U=—4--------①—=0

4?！?)/?24兀

⑶設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為,：則外殼內(nèi)表面帶電量為一/,外殼外表面帶電量為

一"+’(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且

------j二”。：=0

47l￡oR[4兀4/?24兀4色

，%

q=—^q

得&

外球殼上電勢(shì)

Tl_q'q',—q+q'_(曷一尺2跖

4兀4仆4兀分%4兀分此4TI6?0/?2

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為d=3R處有

一點(diǎn)電荷+4,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為,，則球接地時(shí)電勢(shì)°。=°

d=3"+</

8-24圖

由電勢(shì)橙加原理有：

U0=4n￡nR4n￡03R

q

得/=-3

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫(kù)侖力

為心.試求：

(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫(kù)侖力；

(2)小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫(kù)侖力.

2

F°二q-

解：由題意知°4兀4尸

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

〃3

q=：q

4

/.此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

32

小上二一區(qū)二3

4A兀％〃2A4兀4產(chǎn)->o8"o

%

(2)小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量均為3.

22

&=上飛」q飛一q=一4心

小球1、2間的作用力4兀題19

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為"，分別維持電勢(shì)

"=U,08=0不變.現(xiàn)把一塊帶有電量4的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面

積也是S,片的厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢(shì).

解：依次設(shè)A,C,8從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為2，b?,03,°4,%，%

如圖所示.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持U"可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

(y+cr=q.

i2S；5

q

s

=%

一Sd

=0

=0

與心+4+…%+%

解得

=-u1--q-

所以C8間電場(chǎng)d24S

qd

Uc==b2]=5(U+)

2e（）S

u^—t/=—

注意：因?yàn)镃片帶電，所以c2,若C片不帶電，顯然c2

8-27在半徑為鳥(niǎo)的金屬球之外包有一層外半徑為此的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常

數(shù)為邑，金屬球帶電2.試求：

（1）電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)；

（2）電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)：

（3）金屬球的電勢(shì).

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理"'Ng

（i）介質(zhì)內(nèi)（&＜「＜此）場(chǎng)強(qiáng)

方=當(dāng),%=Qr

4兀4%/

介質(zhì)外（「＜七）場(chǎng)強(qiáng)

AQr8Qr

U=------速外=----------7

4nz4兀

⑵介質(zhì)外（「＞號(hào)）電勢(shì)

U=1瓦卜.而=詈-

-4兀

介質(zhì)內(nèi)（&＜「＜此）電勢(shì)

U=1扁TF+「瓦卜?近

=q（i」）+Q

TI

4兀rR246：0/?2

4?！觯辍竢R2

⑶金屬球的電勢(shì)

u=C昂.d亍+￡&卜?df

二「2Qdr?pQclr

入471^^r2凡4兀

4兀R{R2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為J的電介質(zhì).試

求：在有電介質(zhì)部分和無(wú)電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為后2,真空部分場(chǎng)強(qiáng)為瓦，自由電荷面密度

分別為“與6

由=口。得

3=6,D2="

而2=￡。6,02=￡0￡r^2

口口U

品=三7

aD

—2————2—￡：

/2

Q

―--1-------、

題8-28圖題8-29圖

8-29兩個(gè)同軸的圓柱面,長(zhǎng)度均為乙半徑分別為與和&（色>與），且/>〉&-%兩

柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號(hào)電荷。和-2時(shí)，求:

（1）在半徑r處（與</?<&=,厚度為dr,長(zhǎng)為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和

整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量；

（2）電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量；

（3）圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為r的同軸圓柱面（S）

SbdS=2nrlD

則力）

當(dāng)（R]<??<&）時(shí)，￡q=Q

D=-^-

/.2nrl

D2Q2

w=---=---------

(1)電場(chǎng)能量密度2g8/夕2-

dW=wdu=—，八2TIrdrl=°"

薄殼中8rt~srl~4?tsrl

(2)電介質(zhì)中總電場(chǎng)能量

22drQ2

w=(1W=

M4兀印7471n《

2

wQ

⑶電容:"/2C

2

c=-Q---=-----2-7-1-n---

...2Wln(/?2/&)

*8-30金屬球殼A和8的中心相距為r,A和B原來(lái)都不帶電.現(xiàn)在A的中心放一點(diǎn)電荷

在8的中心放一點(diǎn)電荷“2,如題8-30圖所示.試求：

(1)%對(duì)矽作用的庫(kù)侖力，0有無(wú)加速度；

(2)去掉金屬殼8,求名作用在B上的庫(kù)侖力，此時(shí)必有無(wú)加速度.

解：(1)%作用在%的庫(kù)侖力仍滿足庫(kù)侖定律，即

F-1%%

47i￡0r'

但外處于金屬球殼中心，它受合力為零,沒(méi)有加速度.

p_1?%

(2)去掉金屬殼6,%作用在%上的庫(kù)侖力仍是4兀4/，但此時(shí)％受合力不為零,

有加速度.

Cz

~1卜

AB

0~~II-

~Il~

C3

題8-31圖

8-31如題8-31圖所示，G=0.25〃F,02=0.15〃F,03=0.20〃F.G上電壓為50V.求

解：電容G上電量

a=Ga

電容c2與c3并聯(lián)C23=c2+c3

其上電荷Q23=0

_。23_GG_25x50

(J9—----------------------------------------

。23。2335

%=4+力=50(1+石)=86v

8-32G和。2兩電容器分別標(biāo)明“200pF、500V”和“300pF、900V",把它們串聯(lián)起來(lái)后等

值電容是多少?如果兩端加上1000V的電壓，是否會(huì)擊穿？

解：(1)g與02串聯(lián)后電容

C，=_C1C^=200x300=12()

-G+。2-200+300―pF

⑵串聯(lián)后電壓比

正一瓦-5,而4+力=1000

...q=600V,4=400V

即電容G電壓超過(guò)耐壓值會(huì)擊穿，然后02也擊穿.

8-33將兩個(gè)電容器G和02充電到相等的電壓U以后切斷電源，再將每一電容器的正極板

與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián).試求：

(1)每個(gè)電容器的最終電荷；

(2)電場(chǎng)能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為小,“2

題8-33圖

%+以=00一%o=G"一

%_CQ

q?C2U2

則Ui=U2

C,(C,T(C,-C)

—C)_C22

解得⑴41=G+02G+02

⑵電場(chǎng)能量損失

△w=w0-w

弟+&

2CJC

-2u2

G+c?

8-34半徑為4=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為

“2=4.0cm和&=5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷。=3.0X10"C時(shí)，求：

(1)整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量；

(2)如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量：

(3)此電容器的電容值.

解：如圖，內(nèi)球帶電。,外球殼內(nèi)表面帶電一°,外表面帶電0

⑴在1與和&＜「＜&區(qū)域

后=0

Qr

在Ri＜r＜此時(shí)4?！?/3

M=$

廠＞4時(shí)4兀￡。廠

.?.在鳥(niǎo)＜「＜&區(qū)域

=P-f0(-2^)2471r2”

2

金，2°4n￡or

=402"°?(1])

2

k8;i^or8兀44R2

在〃＞此區(qū)域

憶=r-^o(---)247tr2dr=——--

204兀qr「8兀％之

Q2111.

W=叱+W,----1--------1---)

總能量8兀4%R?&

=1.82x107J

(2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有R1＜，＜&時(shí)4無(wú)￡(/3,%=0

n211

w=w=2一(--------)=1.O1X1O-4

-8兀//?,R2J

「2卬“〃11、

C=K=4H￡O”―/)

(3)電容器電容》“I“2

=4.49x1072F

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)B的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向定

義為磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向？

解：在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因?yàn)榇艌?chǎng)作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向

不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁

場(chǎng)決定的，所以不把磁力方向定義為月的方向.

B

?B2

題9-2圖

9-2(1)在沒(méi)有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度月的大小在沿磁

感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化(即磁場(chǎng)是否?定是均勻的)？

(2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對(duì)？

解：(D不可能變化，即磁場(chǎng)一定是均勻的.如圖作閉合回路abed可證明區(qū)=瓦

Bdi=B{da-B2bc==0

:.Bx-B,

(2)若存在電流，上述結(jié)論不對(duì).如無(wú)限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但以方

向相反，即及力屏.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長(zhǎng)一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)？

答：不能，因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)雖然有軸對(duì)稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路

定理并不適用.

9-4在載流長(zhǎng)螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部B="o〃/,外面8=0,所以在載流螺線管

外面環(huán)繞一周(見(jiàn)題9-4圖)的環(huán)路積分

［瓦卜?d1=0

但從安培環(huán)路定理來(lái)看，環(huán)路L中有電流I穿過(guò)，環(huán)路積分應(yīng)為

，島?—=%/

這是為什么？

解：我們導(dǎo)出8內(nèi)外=0有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線.這

時(shí)圖中環(huán)路L上就一定沒(méi)有電流通過(guò)，即也是4分外?￡1，=〃0苫/=0,與

，瓦卜，￡1『=y)七『=()是不矛盾的.但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型.實(shí)

際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所以使得穿過(guò)心的電流為/,因此實(shí)際螺線管若是無(wú)限長(zhǎng)時(shí)

只是月外的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量5工=""為管外一點(diǎn)到螺線管軸

2"

題9-4圖

9-5如果一個(gè)電子在通過(guò)空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒(méi)有磁場(chǎng)？如果它發(fā)

生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場(chǎng)？

解：如果一個(gè)電子在通過(guò)空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒(méi)有磁場(chǎng)，也可能存

在互相垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電子受的電場(chǎng)力與磁場(chǎng)力抵消所致.如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定

那個(gè)區(qū)域存在著磁場(chǎng)，因?yàn)閮H有電場(chǎng)也可以使電子偏轉(zhuǎn).

9-6已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0肌》?的均勻磁場(chǎng)，方向沿X軸正方向，如題9-6圖所

示.試求：⑴通過(guò)圖中帥cd面的磁通量；(2)通過(guò)圖中生/b面的磁通量；⑶通過(guò)圖中a加

面的磁通量.

解：如題9-6圖所示

⑴通過(guò)Hcd面積酬的磁通是

R=月，=2.0x0.3x0.4=0.24Wb

(2)通過(guò)6次面積52的磁通量

g=巨,s?=o

(3)通過(guò)。加面積邑的磁通量

一一4

03=B-53=2x0.3x0.5xcose=2x0.3x0.5x-=0.24Wb(或曰-0.24Wb)

、R

題9-7圖/B。

9-7如題9-7圖所示，A3、CD為長(zhǎng)直導(dǎo)線，月C為圓心在。點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其

半徑為R.若通以電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-7圖所示，。點(diǎn)磁場(chǎng)由A3、BC.C。三部分電流產(chǎn)生.其中

AB產(chǎn)生=0

產(chǎn)生&=幺叱，方向垂直向里

CD

212/?

u

CD段產(chǎn)生B3=(sin90-sin600)=(1-—)，方向_L向里

'4』2成2

2

/.B0=B1+B2+B3=-^￡(1--+-),方向_L向里.

°1232兀R26

9-8在真空中，有兩根互相平行的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線右和