2019-2020學年山東省淄博市第七高一3月線上考試數學試題（解析版）

2019-2020學年山東省淄博市第七高一3月線上考試數學試題一、單選題1．設i為虛數單位，復數z滿足，則復數z的共軛復數等于（）A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1+i【答案】B【解析】利用復數的運算法則解得，結合共軛復數的概念即可得結果.【詳解】∵復數滿足，∴，∴復數的共軛復數等于，故選B.【點睛】本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．在ABC中，所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,b=,=,則ABC的面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：由余弦定理代入數據得【考點】解三角形點評：解三角形的題目常用到正余弦定理實現邊與角的互相轉化，三角形面積公式為3．為內一點，且，，若，，三點共線，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：由有,所以,因為，，三點共線,所以,則,故有,,選A.【考點】1.向量共線的條件；2.兩向量相等的條件.4．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據誘導公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.5．在中，點D，E分別為邊，的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有（）A．一組 B．二組 C．三組 D．四組【答案】A【解析】結合三角形中位線的性質、相等向量的定義直接求解即可.【詳解】解析：由相等向量的定義可知，題圖中只有一組向量相等，即.故選：A【點睛】本題考查了三角形中位線性質，考查了相等向量，屬于基礎題.6．在中，，，分別是內角，，所對的邊，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形【答案】B【解析】利用正弦定理和兩角和的正弦化簡可得，從而得到即.【詳解】因為，所以，所以即，因為，故，故，所以，為直角三角形，故選B.【點睛】在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.7．對于任意兩個向量和，下列命題中正確的是（）.A．若，滿足，且與同向，則B．C．D．【答案】B【解析】利用向量的概念、向量的加法以及向量的數量積即可一一判斷.【詳解】A項錯誤，向量不能比較大??；B項正確，利用向量加法的運算法則可判斷；C項錯誤，；D項錯誤，.故選：B.【點睛】本題考查了向量的概念、向量加法的三角形法則、向量的數量積，考查了基本知識，屬于基礎題.8．已知平面直角坐標系內的兩個向量,且平面內的任一向量都可以唯一表示成(為實數),則實數m的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】根據已知是平面內向量的一個基底,因此不共線，求出不共線滿足的條件，即可求出結果.【詳解】由題意可知,平面內的任一向量都可以唯一表示成,∴是平面內表示所有向量的一個基底,.∴不共線,∴.故m的取值范圍是.故選B【點睛】本題考查向量基本定理，考查向量不共線的坐標關系，屬于基礎題.9．在中，內角，，所對的邊分別是，，.若，，則的面積是A．3 B． C． D．【答案】C【解析】根據，，結合余弦定理可得，再利用三角形面積計算公式即可得出結果.【詳解】由，可得，由余弦定理，，，則，故選C.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.10．某觀測站在目標的南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得與相距的公路處有一個人正沿著此公路向走去，走到達，此時測得距離為，若此人必須在分鐘內從處到達處，則此人的最小速度為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得，那么，于是在△ABC中，＝24，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.故此人在D處距A處還有15km，若此人必須在20分鐘，即小時內從D處到達A處，則其最小速度為15÷＝45(km/h)．故選B.11．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，根據題意列出關于、的方程組，求出這兩個未知數的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設，其中，則.由題意得，解得，即.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，根據向量數量積和模建立方程組是解題的關鍵，考查方程思想的應用以及運算求解能力，屬于基礎題.12．已知集合，，，，則實數的值為（）A．4 B．－1 C．4或－1 D．1或6【答案】B【解析】根據交集的定義可得，由復數相等的性質列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，可得，故選B.【點睛】復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算.二、填空題13．點在線段上，且，則_______，_______.【答案】【解析】設，根據題中條件，表示出，，進而可求出結果.【詳解】因為，設，則，∴，∴.【點睛】本題主要考查向量的共線，熟記向量的共線定理即可，屬于常考題型.14．已知四邊形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P為線段AC上任意一點，則的取值范圍是______________．【答案】.【解析】以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系，設，利用向量的坐標形式，將表示為的函數，求函數的值域可得.【詳解】以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系，由AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，則,，又P為線段AC上任意一點，設,所以，由，所以.故答案為.【點睛】本題考查向量的數量積，利用向量的坐標形式將向量運算轉化為實數運算是處理向量問題的常用方法，引入變量，建立函數是解本題的關鍵，屬于中檔題.15．在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數分別為,，,則第四個頂點對應的復數為.【答案】【解析】化簡復數為的形式，設出第四個點的坐標和寫出前三個點的坐標，根據這四個點構成正方形，則平行的一對邊對應的向量相等，寫出一對這樣的向量，坐標對應相等，得到所設的坐標，得到結果．【詳解】=1+2i設復數，它們在復平面上的對應點分別是．設正方形的第四個頂點對應的坐標是，∴，，，故答案為．【點睛】本題考查復數與復平面中的點的對應，根據復數對應的點所在的位置，判斷四條邊的位置關系，本題結合復數與點對應，復數與向量對應，是一個很好題目．16．在四邊形ABCD中，且，則四邊形ABCD的形狀為__________.【答案】菱形【解析】根據題意，結合相等向量的定義得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用即可判斷【詳解】∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形.∵，∴四邊形是菱形.故填菱形【點睛】本題考查相等向量的性質，考查向量的實際應用，是基礎題17．已知向量不共線，且，若與同向，則實數λ的值為__________．【答案】【解析】利用向量共線的充要條件及反向時對系數的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程組求解．【詳解】由于與同向，所以，于是整理得，由于，不共線，所以有整理得，所以λ＝1或λ＝－．又因為k＞0，所以λ＞0，故λ＝1．答案：1【點睛】利用向量共線的充要條件及同向時對系數的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程組求解．三、解答題18．已知，，p和q的夾角是60°，求．【答案】24【解析】由運算即可得解.【詳解】解：．【點睛】本題考查了向量數量積的運算，屬基礎題.19．計算：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）【解析】（1）1-2+2即為所求復數的實部，2+1-3為所求復數的虛部；（2）2-（-1）+3為所求復數的實部，-1-5+4為所求復數的虛部；(3)a-(3a)為所求復數的實部，b-(-4b)+5為所求復數的虛部.【詳解】解：（1）原式.（2）原式.（3）原式.【點睛】本題考查了復數加法、減法的混合運算，考查了運算能力，屬于基礎題.20．如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知點D是AB上一點，滿足=λ，點E是邊CB上一點，滿足=λ．①當λ=時，求?；②是否存在非零實數λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①②【解析】（1）利用余弦定理求出的長即得||；

（2）①時，分別是的中點，表示出，，利用向量的數量積計算即可；

②假設存在非零實數，使得⊥，利用分別表示出和求出時的值即可．【詳解】（1）且（2）①λ=時，=，=，∴D、E分別是BC，AB的中點，∴=+=+，=（+），∴?=（+）?（+）=?+?+?+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假設存在非零實數λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴?=λ（1﹣λ）﹣λ?+（1﹣λ）2?﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合題意，舍去）；即存在非零實數λ=，使得⊥．【點睛】本題考查了平面向量的線性表示與數量積的應用問題，也考查了余弦定理的應用問題，是綜合性題目．21．在中，角、、的對邊分別是，，滿足.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解