三年高考（2019-2021）數(shù)學（理）試題分項匯編-專題19 不等式選講（教師版）

專題19不等式選講1．【2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題】已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結合求解.2．【2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題】已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應的數(shù)軸上的點到所對應的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法．解含有兩個絕對值，且其中的的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號的條件.3．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【解析】（1）由題設知的圖像如圖所示．（2）函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖像．的圖像與的圖像的交點坐標為．由圖像可知當且僅當時，的圖像在的圖像上方，故不等式的解集為．4．【2020年高考全國II卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．（1）當a=2時，求不等式f(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，因此，不等式的解集為．（2）因為，故當，即時，．所以當a≥3或a≤-1時，．當-1<a<3時，，所以a的取值范圍是．5．【2020年高考全國III卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）設a，b，c∈R，，．（1）證明：；（2）用表示a，b，c的最大值，證明：≥．【解析】（1）由題設可知，a，b均不為零，所以.（2）不妨設max{a，b，c}=a，因為，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.6．【2020年高考江蘇】[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設，解不等式．【解析】當x>0時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得．綜上，原不等式的解集為．7．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）因為，又，故有．所以．（2）因為為正數(shù)且，故有=24．所以．【名師點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學生對于基本不等式的變形和應用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立．8．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知（1）當時，求不等式的解集；（2）若時，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當a=1時，．當時，；當時，．所以，不等式的解集為．（2）因為，所以．當，時，．所以，的取值范圍是．【名師點睛】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型．9．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設，且．（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或．【答案】（1）；（2）見詳解．【解析】（1）由于，故由已知得，當且僅當x=，y=–，時等號成立．所以的最小值為．（2）由于，故由已知，當且僅當，，時等號成立．因此的最小值為．由題設知，解得或．【名師點睛】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型．10．【2019年高考江蘇卷數(shù)學】設，解不等式．【答案】．【解析】當x<0時，原不等式可化為，解得x<；當0≤x≤時，原不等式可化