數(shù)列求和7種方法方法全例子多

11n1數(shù)列求的本方法技（配以應(yīng)的練）11n1一總：列和種法利等、比列和式錯(cuò)相法和反相法和分相法和裂消法和分求法合法和利數(shù)通法和二等數(shù)求的法逆相法等數(shù)的和法錯(cuò)相法三逆相法錯(cuò)相法數(shù)求的個(gè)本法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容又學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基.在考和各種數(shù)競賽中都占有重要的地.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和需要一定的技巧下，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技一利常求公求利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方、等數(shù)列求和公式：

Sn

n)1nnad2、等比數(shù)列求和公式：

na(1)n11

((、

(n

、

nnk

2

n、

3n(n

[例1]已

x3

32

，求

x3

的前和.1

333nnnnn333nnnnn解：由

xx32由等比數(shù)列求和公式得

23

（利用常用公式）x)＝＝1

1)

＝1

12[設(shè)S＝1+2+3+，nN*求

f(n(nS

的最大解：由等差數(shù)列求和公式得

Sn

11n(2

（利用常用公式）∴

f(n

(n

＝

n

n34n64＝

1＝64n34(n

18n

)50

150∴當(dāng)

n

88

，即＝8時(shí)

f(nmax

150題1.比數(shù)列

的前ｎ項(xiàng)和S＝2ｎ１，則＝ｎ題21

2

2

+(

3

,.=

二錯(cuò)相法和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)公式時(shí)所用的方法這種方法主要用于求{·}前n項(xiàng)和，其中{a}別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[求和：

xx2x3

……①解：由題可知，{

(2nx

}通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通與等比數(shù){

}通項(xiàng)之積設(shè)

xSx

x

……….②

（設(shè)制錯(cuò)位）2

nnnnnn①－②得

(1Sxx

x

2

nx

（錯(cuò)位相）再利用等比數(shù)列的求和公式得：

Sxn

1n1

(2

n∴

Sn

(2)2[求數(shù)列

2,,,232n

前的和.21解：由題可知，{}通項(xiàng)是等差數(shù){2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}通項(xiàng)之積2n2設(shè)

242nS22232

………………①22nS2223n

……………②設(shè)制錯(cuò)位）222n①－②得)S222122n2n

（錯(cuò)位相）∴

S4n

n21練習(xí)題2答案：

的前項(xiàng)和為_三反相法和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)

()

[求證：

(n1)2

證明：設(shè)

…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Cnnnn

（反序）3

又由

C

可得C

C

C

…………..……..②①②

(2n2)(C01nnn

（反序相加）∴

(n)

[求

sin222289

的值解：設(shè)

Ssin

sin

sin

sin

………….①將①式右邊反序得Ssin

sin

3sin

1

………②

（反序）又因?yàn)?/p>

sincos(90

2

xcos

2

x①②21cos12cos2)∴＝

（反序相加）＝89題

12

.1=214

nannnnnannnn.四分法和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即.[求數(shù)列的前項(xiàng)和：

1

1a2a

n

，解：設(shè)

Sn

112)aa2將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1Sa

（分組）當(dāng)a，

Sn

nnn＝22

（分組求和）11當(dāng)a，n1a[求數(shù){的n項(xiàng)和

(3nnn＝22解：設(shè)

k(kkkk

∴

n

(kk

＝

k

k

)k將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

＝

3k

（分組）＝＝

kk2(133n(n2(n1)(222

（分組求和）＝

n(n22

(2)五裂法和5

nnnnnnnnnn這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目.通分解（裂項(xiàng)如：（1

a(f()

（2

sin1cos

n

tan

（3

an

111n(n

（4

n

)()1)(2n2nn（5

an

11[n(n2(n(2)

]

n

12(1則nn(2n(n(n

n（7

a

111()(An)CBAn（8

a

1nn

nn[求數(shù)列

11

12

,

1n

,

的前項(xiàng)解：設(shè)

an

1nn

n

（裂項(xiàng)）則

Sn

11

12

1n

（裂項(xiàng)求和）＝＝

(1)3n

2)[在數(shù)列{}，

a

12n

，又

，求數(shù)列{}前項(xiàng)的和解：∵

an

1nnn2∴

18()nn2

（裂項(xiàng)）∴數(shù)列{}前n項(xiàng)1111S))))]23n

（裂項(xiàng)求和）6

nncos(180nnncos(180n＝

8(1

18)＝n[求證：

11cos0coscos88解：設(shè)

S

110cos1cos2cos89

∵

sin1coscos(

tan(

tann

（裂項(xiàng)）∴

S

110cos1cos2cos89

（裂項(xiàng)求和）＝

1

{(tan1

tan0)(tan

)3

tan2)[tan

88]}＝

11(tan89tan)sin1sin1

＝

cos1sin∴原式成立練習(xí)題.答案：.練習(xí)題2。答案：

=六分求法合法和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求[求°°+cos3°cos178°+cos179°的值解：設(shè)＝°+°cos3°+cos178°+°∵

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴＝（cos1+°+（cos2°cos178°）+（°+°++（°°）cos90＝

（合并求和）7

n200220022002n200220022002[數(shù)列{}

a2,13

n

n

n

，求解：設(shè)＝

aa123

2002由

aa3,a1

n

n

n

可得aa4aa712……a

6

6k

3,a

6

a

6k

a

6k

a

6k

∵

a

6

6

6

6

6k

6k

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴＝

a123

2002

（合并求和）＝

aa1367

6

6

6

1993

1994

1998

a1999

2000

a

2001

2002＝

a1999

a

2000

2001

2002＝

a

6k

6

a

6k

6＝5[在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

aalogalog563

的值解：設(shè)

logn313由等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

anplogNMaaa

得

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）(logaa)logaan331032536

（合并求和）＝＝

(loga(log)33295log933＝108

nS+S＋ＳnnS+S＋Ｓn

題1

設(shè)

，則＝___.題2S

()....nS

A題3

100

2-99

2+98

-97

2+22-1

2

的值是....=(100+99)+(98+97)++(2+1)=5050.B七利數(shù)的項(xiàng)和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的律來求數(shù)列的前和，是一個(gè)重要的方法.[求n1

之和解：由于

個(gè)1

999k個(gè)1

k

（找通項(xiàng)及特征）∴

n個(gè)1＝

111(10999

n

（分組求和）＝＝

1129n1n99＝

181

n

n9

nannnann[已知數(shù){}

n

(nn

求a)nn

的值解：∵

(an

n

)n

1(nn2)(n4)

]

（找通項(xiàng)及特征）＝

8

11(2)(n(nn4)

]

（設(shè)制分組）＝4

11)8()n2n

（裂項(xiàng)）∴

n

(a

n

n

)

n

(

)n

1()

（分組、裂項(xiàng)求和）＝＝

114)3133提高練：．知數(shù)列是其前n項(xiàng)，并且S1