2022年高考藝術(shù)生專用數(shù)學(xué)講義-第35講直線方程（教師版）

第35講直線方程

1、直線的傾斜角

①直線的傾斜角：0°<?<180°

②直線的斜率：Z=tan*90°）

③已知兩點(diǎn)求斜率：左二%一%（球聲xj

^2-^1

2、兩直線的平行與垂直

①平行：/,///,,貝U仁=心或占、右不存在

②垂直：Z,I/2,則匕&=-1或占=。且左2不存在

3,直線的五種方程

①點(diǎn)斜式：y-%=人（工一%）

②斜截式：y=kx+b

④截距式：—>--=1

ab

⑤一般式：4x+8y+C=。（A、B不能同時為零）

4、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

①聯(lián)立兩直線方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)

5、距離公式

①兩點(diǎn)間距離：\PtP2\=去2-%）2+02-必）2

②點(diǎn)4（%、%））到直線/：Ax+8y+C=。

1AA+By。+C|

距離dp

J2+萬

題型一：直線的傾斜角和斜率

1.（2021?北京八十中高二期中）直線Gx-y+a=0（aeR）的傾斜角為（）

A.30,B.60C.150D.120

【答案】B

【詳解】

由y/3x-y+a=0可得y=>/Jx+〃,

所以直線的斜率為％=G，設(shè)直線的傾斜角為。，

則&=tana=K，

因?yàn)镺Ma<180。，所以a=60

故直線的傾斜角為：60,，

故選：B.

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知直線/經(jīng)過第二、四象限，則直線/的傾斜角a的取值范圍是（）.

A.0<a<90B.0<a<180C.90<a<180D.90<a<180

【答案】D

【詳解】

直線傾斜角的取值范圍是0Ya<180，

乂直線/經(jīng)過第二、四象限，

.?.直線/的傾斜角a的取值范圍是90<a<180，

故選：D.

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）直線百x-y-l=（）的傾斜角為（）.

A.三B.-C.-D.-

12643

【答案】D

【詳解】

依題意可知所求直線的斜率為石，

設(shè)直線的傾斜角為a,則tana=6，

因?yàn)閏s[0,乃），所以。=工

3

即直線的傾斜角為?，

故選：D.

4.（2021?重慶市第七中學(xué)校高二月考）經(jīng)過兩點(diǎn)40,6+1）和8卜1,1-6）的直線/的傾斜角是（）

A.30B.60C.120D.150’

【答案】B

【詳解】

設(shè)直線/的傾斜角為a,直線/的斜率為&=（燈H心）=百，

14-1

*/0<a<180?故a=60.

故選：B.

5.（2021?全國高二課時練習(xí)）圖中的直線4、4、4的斜率分別為勺、與、％，則（)

A.k]<k2<k3B.k3Vk、<k2

C.k3<k2<%D.%<%<k2

【答案】D

【詳解】

由題可得，直線，的傾斜角為鈍角，

，直線h的斜率k<0,

由于4、人的傾斜角為銳角，且右的傾斜角大于直線人的傾斜角，

??k\k,Ak,>,

故選：D.

6.（2021?南昌市第八中學(xué)（文））若直線經(jīng)過兩點(diǎn)45,一團(tuán)），伏-加,2加-1）且傾斜角為45。，則團(tuán)的值

為（）

3

A.2B.3C.-1D.一一

2

【答案】C

【詳解】

由題意，可知直線A3的斜率存在，且心=lan45°=1,

-m-5

解得m=-l.

故選：C.

7.（2021?江蘇）已知點(diǎn)1（2,0）,43,-6）,則直線A3的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】C

【詳解】

點(diǎn)4（2,0）,則直線的斜&=-6，

則直線的傾斜角120°,

故選：C.

8.（2021?全國高二課時練習(xí)）“。=1”是“直線（a+l）x+（/_i）y+3=O的斜率不存在”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

直線（a+l）x+（〃-l）），+3=0的斜率不存在，則4-1=0,a+lHO,

解得"L

“。=1"是"直線3+l）x+（〃-l）y+3=0的斜率不存在”的充要條件，

故選：C.

9.（2021?全國（文））點(diǎn)尸在曲線y=/—x+g上移動，設(shè)點(diǎn)尸處切線的傾斜角為a,則a的取值范

圍是（）

A.（0,9B.U?4）

C.［彳4D.（5，彳］

【答案】B

【詳解】

V/=3*—12—1,

tan。N—1.

VaG［0,萬），

**?。￡［。仁）3,㈤.

故選：B.

10.（2021?江蘇）若直線/過點(diǎn)A（4,l）,8（3,a2）（“eR）,則直線的傾斜角取值范圍是（）

A.卜登）唱乃）C,0,^D.O,：U（M

【答案】D

【詳解】

解：設(shè)直線的傾斜角為。，則

因?yàn)閍wR,所以1一/工1,即tanOWl,

因?yàn)?e［0,萬），所以04,4:JT或々TT＜夕＜乃，

42

所以直線的傾斜角取值范圍是0，?U（］?。?

故選：D

題型二：直線方程

1.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知直線fcr-y-3k+l=0,當(dāng)z變化時，所有直線都恒過點(diǎn)（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（2,1）D.（3,1）

【答案】D

【詳解】

京-y-3A+l=0可化為&（x-3）—（y-l）=O,???直線過定點(diǎn)（3,1）,

故選：D.

2.（2021?江北?重慶十八中高二月考）下列直線方程縱截距為2的選項(xiàng)為（）

A.y=x-2B.x-y+2=0C.—+—=1D.x+>'+2=0

24

【答案】B

直線x+y+2=0的縱截距為_2,直線楙+5=1的縱截距為4,直線x—丫+2=0的縱截距為2,直線尸一

的縱截距為-2.

故選：B.

3.（2021?江蘇蘇州?星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）已知直線/:奴+y_2=0在x軸和y軸上的截距相等，則

實(shí)數(shù)a的值是（）

A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1

【答案】A

解：根據(jù)題意當(dāng)4=0時，不符題意，

當(dāng)x=O時，y=2,

2

當(dāng)y=o時，，%=-,

a

因?yàn)橹本€7：2=0在x軸和y軸上的截距相等，

2

所以一=2,所以。=1.

a

故選：A.

4.（2021?安徽高二月考）不論加為何值，直線如-2丁-3m+1=。恒過定點(diǎn)（）

【答案】I）.

【詳解】

因?yàn)閠wc—2y—3tn+\=0,所以加（％-3）+（1-2y）=0,

令X—3=0,l-2y=0,得X=3,y=；,即定點(diǎn)為（3,g）.

故選：D.

5.（2021?大埔縣虎山中學(xué)）經(jīng)過點(diǎn)且一個方向向量為（2,_3）的直線/的方程是（）

A.3x+2y-l=0B.3x+2y+l=0

C.2x+3y+l=0D.x-2y-3=0

【答案】A

【詳解】

因?yàn)橹本€的一個方向向量為（2,-3）,所以直線的斜率為-又因?yàn)橹本€過點(diǎn)（1,-1）,由點(diǎn)斜式可得直線

的方程為3x+2y—l=0.

故選：A.

6.（2021?濟(jì)寧市兗州區(qū)第一中學(xué)高二月考）過點(diǎn)尸（-1,2）且平行于/:2x-y+l=0的直線方程為（）

A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0

C.2x-y=0D.2x-y+4=0

【答案】D

【詳解】

因?yàn)橹本€/：2x-y+l=0的斜率為2,

所以所求直線的斜率也為2，

由點(diǎn)斜式可得所求直線方程為丫-2=2（*+1）,即2x-y+4=0.

故選：D

7.（2021?深州長江中學(xué)高二月考）直線1與直線6x—2y+l=0之間的位置關(guān)系是（）

3x-y+-=0"?

A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直

【答案】B

【詳解】

由直線3尸產(chǎn)六0得6尸2尸1=0,

...直線3『戶3=0與直線6尸264=0之間的位置關(guān)系是重合.

故選：B.

8.（2021?深州長江中學(xué)高二月考）直線在y軸上的截距是一2,傾斜角為0°,則直線方程是（）

A?x+2=0B?x-2=0C-y+2=0D-y-2=0

【答案】C

【詳解】

???直線在y軸上的截距是一2,傾斜角為0°,

直線方程為y+2=0.

故選：C.

9.（2021?全國高二課時練習(xí)）無論m取何實(shí)數(shù)，直線（2+〃z）x+（l—2〃z）y+4-3m=0一定過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【詳解】

(2+m)x+(l-2m)y+4-3m=0,則(x-2y—3)加+2x+y+4=0.

取L+410'解得［-2,故直線過定點(diǎn)（T-2），必過第三象限，

故選：C

10.（2021?蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）直線和在同一平面坐標(biāo)系中的圖象可以是

abba

（）

h

VA

c,小、,

【答案】A

【詳解】

解：由截距式方程可得直線4的橫、縱截距分別為%-h,宜線右的橫、縱截距分別為b,-“，

選項(xiàng)A,由4的圖象可得。<0,。>0,由4的圖象可得。<0，。>0,故正確：

選項(xiàng)B,由4的圖象可得a>0,b<0,由4的圖象可得“<0，6>0,顯然矛盾，故錯誤；

選項(xiàng)C,由4的圖象可得a<0,b<0,由4的圖象可得a<0，b>0,矛盾，故錯誤；

選項(xiàng)D,由4的圖象可得a>0,b>0.可得直線。的橫截距為正數(shù)，縱截距為負(fù)數(shù)，

但是圖象不對應(yīng)，故錯誤.

故選：A.

11.（2021?全國高二課時練習(xí)）若直線土+?=1過第一、三、四象限，則（）

ab

A.ci>0,Z?>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

【答案】B

【詳解】

:直線過點(diǎn)第一、三、四象限，

它在x軸上的截距為正，在，軸上的截距為負(fù)，即。>0力<0.

故選:B

12.（2021?全國高二課時練習(xí)）直線人_,+1_3k=0，當(dāng)k變動時，所有直線都通過定點(diǎn)（）

A.（3,1）B.（0,1）

C.（0,0）D.⑵1）

【答案】A

【詳解】

直線可化為％（*-3）—y+l=0,令x=3,解得y=l,

所以直線恒過定點(diǎn)（3,1）.

故選：A

13.（2021?四川閩中中學(xué)高二月考（文））若直線y=^+2（ZeR）不過第三象限，則上的取值范圍是（）

A.（-<?,0）B.（-<?，0]

C.（0,+<?）D.[0,+8）

【答案】B

【詳解】

y=Ax+2過點(diǎn)（0,2）,若直線不過第三象限，則ZM0.

故選：B

題型三：直線的平行關(guān)系和垂直關(guān)系

1.（2021?江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）直線2x+（m+l）y-2=0與直線/nr+3y-2=0平行，那么，〃的

值是（）

A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3

【答案】B

【詳解】

因?yàn)橹本€2x+（〃z+l）y-2=0與直線，nr+3y-2=0平行，

2x3=/n(w+l)

所以，解得:m=-3,

—2("?+1)H—2x3

故選：B.

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）若直線4：2x-ay-l=0與直線4：x+2y=0垂直，貝l」a=（）.

A.0B.IC.。或ID.1或2

【答案】B

【詳解】

兩直線垂直滿足2xl+（-a）x2=0,解得a=1,

故選：B.

3.（2021?武漢市育才高級中學(xué)高二月考）已知過點(diǎn)A（-2,m）和點(diǎn)8（，〃,4）的直線為《，直線2x+y-l=0

為4,直線彳+利+1=0為4,若〃〃2,6上4,則實(shí)數(shù)帆+”的值為（）

A.-10B.-2C.0D.8

【答案】A

【詳解】

由題意可得直線4,4，,3的斜率存在，可分別設(shè)為勺，*

因?yàn)椤ā?，所以仁=&，即土"=—2,解得：機(jī)二一8,

m+2

因?yàn)锳，。，所以網(wǎng)名=-1，BP-2x^-1^-1,解得：〃=一2,

所以帆+〃=_8+（_2）=_10,

故選：A.

4.（2021?廣東龍華?厚德書院高二月考）已知直線4：2x+y-2=0,/2：or+4y+l=0,若川,則a的

值為（）

A.8B.2C.——D.-2

2

【答案】D

【詳解】

由題：直線4：2x+y-2=0,4：ax+4y+l=。相互垂直，

所以2a+4=0,解得：a=-2.

故選：D.

5.（2021?江蘇南京?高二月考）若直線以+丫-。+1=0與直線（a-2）x-3y+a=O垂直，則實(shí)數(shù)。的值為

（）

A.-1或3B.1或一3C.一1或一3D.1或3

【答案】A

【詳解】

由題設(shè)，4（。—2）+lx（—3）=0,即/一務(wù)3=0,解得〃=一1或0=3.

當(dāng)a=T時，直線分別為x-y-2=0、3x+3y+l=O,符合題設(shè)；

當(dāng)。=3時，直線分別為3x+y-2=0、x-3y+3=0,符合題設(shè).

故選：A

6.（2021?深州長江中學(xué)高二月考）直線5+了-3=0與直線y=；x—l垂直，則（）

A.2B.-2C.yI）.一3

【答案】A

【詳解】

因?yàn)榧褐獌芍本€垂直，所以-axg=-l,a=2.

故選：A.

7.（2021?全國）已知直線4"+州+4=0,4：（〃2T）x+2y-8=0,若心",則加的值是（）

11

--2

A.3B.2C.

【答案】A

【詳解】

解：因?yàn)?/p>

所以（〃?-1）+2，〃=0,解得m=

故選：A.

8.（2021?天津紅橋?高一學(xué)業(yè)考試）若直線4：x-y=O與直線4：x+町+2=0互相垂直，則。的值為（）

A.-1B.1

C.-2D.2

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)橹本€4：x-y=O與直線4：x+ay+2=0互相垂直，所以lxl+（—l）xa=0

解得”=1；

故選：B

9.（2021?全國高二專題練習(xí)）4、4為兩條直線，則下列說法正確的是（）

A.若直線4與直線4的斜率相等，則V〃2B.若直線“〃2,則兩直線的斜率相等

C.若直線4，4的斜率均不存在，則〃〃2D.若兩直線的斜率都存在且不相等，則兩直線不平行

【答案】I）

【詳解】

解：對于A,直線/與人斜率相等時，或/與人重合，，A錯誤；

對于B,直線人〃&時，％=%或它們的斜率不存在，；.B錯誤；

對于C,直線八、A的斜率不存在時，△〃4或義與人重合，，C錯誤；

對于D,直線/與心的斜率不相等時，Z與人不平行，，D正確.

故選：D.

10.（2021?全國高二專題練習(xí)）下列各組直線中，互相垂直的一組是（）

A.2x-3y—5=0與4x-6y—5=0B.2x-3y—5=0與4x+6y+5=0

C.2x+3y-6=0與3x-2y+6=0D.2x+3y-6=0與2x-3y-6=0

【答案】C

【詳解】

244

對于A,々/=；X[=A—1,因此/與心不垂直；

36797

2/4、4

對于B,左左=彳*|-7|=-彳4-1,因此Z與人不垂直；

23

對于C,k\k：\=—x—=—1,因此

32

224

對于D,A-,A=--X-=--^-1,因此人與人不垂直.

2339

故選：C.

11.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知直線4的傾斜角為60,直線4經(jīng)過點(diǎn)A（l，6）、B（-2,-26）,則直

線4、4的位置關(guān)系是（）

A.平行或