人教A版三角函數(shù)中常見錯(cuò)誤剖析

三角函數(shù)中常見錯(cuò)誤剖析在三角函數(shù)的解題中，初學(xué)者很容易不知不覺(jué)解題出錯(cuò)，為了引起警覺(jué)，現(xiàn)將三角函數(shù)中常見的錯(cuò)誤總結(jié)如下：一、對(duì)三角函數(shù)的定義中的理解不準(zhǔn)例1已知角終邊過(guò)點(diǎn)，求角的正弦、余弦、正切、余切。錯(cuò)解：由定義有。錯(cuò)誤診斷：錯(cuò)誤的原因在于忽視了的符號(hào)，沒(méi)有理解算術(shù)平方根的定義，應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。正解：由定義有當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。二、忽視挖掘題中隱含條件例2已知試確定的象限。錯(cuò)解：，，是第二象限的角，，從而，，故是第三象限或是第四象限或終邊在軸負(fù)半軸上的角。錯(cuò)誤診斷：導(dǎo)出是第二象限的角是正確的，但只需，即可確定，而題中不僅給出了符號(hào)，而且給出了具體的函數(shù)值，通過(guò)其值可進(jìn)一步確定的大小，或可進(jìn)一步縮小所在區(qū)間。正解：由條件知是第二象限的角，又由，知， ，故是第四象限的角.例3已知求錯(cuò)解：由得解得或。錯(cuò)誤診斷：沒(méi)有從與的內(nèi)在聯(lián)系挖掘出對(duì)角的范圍的限制。實(shí)事上，由應(yīng)意識(shí)到所以實(shí)際上正解：法一：由得又而（由和解得法二：由得是方程的兩根，解得或故取三、求三角函數(shù)的解析式出錯(cuò)例4已知函數(shù)圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)是），如圖所示，由于這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)的圖像與軸交于點(diǎn)，試求這個(gè)函數(shù)的解析式。2462錯(cuò)解：圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)是2462,又圖像與軸交于點(diǎn)，，故函數(shù)的解析式可表示為下面確定 點(diǎn)在函數(shù)圖像上，代入上式得，解得或故所求表達(dá)式為：或錯(cuò)誤診斷：函數(shù)的圖像不過(guò)點(diǎn)），不合題意，是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。正確的答案只有，錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是在求初相“”時(shí)采用的將圖像上的一點(diǎn)坐標(biāo)代入，得出關(guān)于“”的三角方程，通過(guò)解這個(gè)三角方程求出“”，而已知三角函數(shù)求角，在一個(gè)周期內(nèi)一般總有兩個(gè)角，只有在有限定范圍內(nèi)才能得出符合題意的唯一解，因此上述解法無(wú)法唯一確定“”，導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解：同上解析式可表示為， 點(diǎn)在函數(shù)圖像上，代入上式得，把 點(diǎn)看成函數(shù)的點(diǎn)，這樣就可唯一確定，則解得，故所求函數(shù)表達(dá)式為。另：也可把點(diǎn)）代入中，這時(shí)就得把點(diǎn)）看成函數(shù)的點(diǎn)，則即則解得，故所求函數(shù)表達(dá)式為。四、忽視三角函數(shù)的有界性例5已知求的最大值。錯(cuò)解：由得又當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤診斷：上述解法雖然注意到了的有界