2021年矩陣三角分解開題報(bào)告

矩陣三角分解開題報(bào)告矩陣三角分解開題報(bào)告范文在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)中，大量涉及矩陣?yán)碚摰闹R(shí)，很多問題都可以歸結(jié)為矩陣并最終通過矩陣來解決。經(jīng)查閱發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于矩陣三角分解的應(yīng)用研究不少，但對(duì)三角分解缺乏系統(tǒng)的研究。矩陣三角分解法是指高斯消去法解線性方程組的變形解法。其實(shí)質(zhì)就是將系數(shù)矩陣A分解為兩個(gè)三角形矩陣L和U相乘，即A二LU。一、矩陣的直接三角分解矩陣的直角三角分解即可以不經(jīng)過消元步驟，直接將矩陣進(jìn)行分解。定義1設(shè)A￡RnXn,若A能分解為一個(gè)下三角矩陣L與一個(gè)上三角矩陣U的乘積，即A=LU,則稱這種分解為矩陣A的三角分解。（1）如果A可分解為A=LDU，其中L是單位下三角矩陣，D是對(duì)角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱A可作LDU分解；(2)如果在A二LU中，L是單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，則稱此三角分解為杜利特(Doolittle)分解；(3)如果在A二LU中，L是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱此三角矩陣為克勞特(Crout)分解。定理1n階方陣A非奇異的充要條件為(或A經(jīng)行、列變換后)存在LDU分解。其中L為n階單位下三角矩陣，D為n階非奇異對(duì)角陣，U為n階單位上三角矩陣。推論1奇異矩陣不能進(jìn)行LDU分解。推論2若矩陣A有奇異主子矩陣，則A不能直接進(jìn)行LDU分解。第2章線性代數(shù)方程組數(shù)值解法1：直接法1.矩陣事實(shí)上，順序Gauss消去過程對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣的三角分解，即對(duì)Axb的順序Gauss消去過程的結(jié)果，把矩陣A分解成兩個(gè)三角矩陣L與U的乘積：ALU下面來證實(shí)這一點(diǎn).依次取第k步消元的乘法(k)(k)likaik(ik1,k2,,n)/akk(k1)(k)(k)則直接驗(yàn)證可知,第k步消元(aij)的結(jié)果等價(jià)于對(duì)Ak左乘Lk:aijlikakjA(k1)LkA(k)于是，經(jīng)過n1步消元，應(yīng)有u11u12u13u22u23Ln1L2L1AUU(2.3.1)u33這里U為上三角矩陣，另外，又容易直接驗(yàn)證Lk有下列兩個(gè)基本性質(zhì)：(1)Lk的逆陣存在，且有111lLk1,kk(2.3.2)1lLk1,kk(2.3.2)1lnk（2）逆陣Lk的乘積1l21111L1L2Ln1==L（單位下三角矩陣）（2.3.3）1ln1ln1111從而對(duì)（2.3.1）式兩端依次左乘Ln1,L2,Lk可得111U=LUAL1L2Ln1L就是⑵3.3）式所示的單位下三角矩陣。這就是矩陣的三角分解或稱LU分解。

ALU稱為A的doolittle分解ALULDU=LU稱為A的克勞特分解ALDU稱為A的LDU分解也可證明它對(duì)應(yīng)例2.3.1用直對(duì)于于有選主元和換行步驟的Gauss消去過程，于“A左乘排列矩陣P的LU分解”，即有PA=LU。也可證明它對(duì)應(yīng)例2.3.1用直232x101x12224317x3解把解法分為3個(gè)步驟：①令A(yù)二LU，用Doolittle分解，即令u11u12u132321122lluu21222341u3331l31l32考慮A的第1行，對(duì)比右邊兩矩陣的乘積，有21u11u11231u12u12321uu21313此結(jié)果即U的.第1行與A的第1行全同，這對(duì)一般情形也是適用的，因此，在分解計(jì)算中，此結(jié)果也可直接寫出。接著，再依次考慮A的第1歹U、第2行、第3歹U（除去已考慮過的元素），作同樣比較有l(wèi)211/21l21u113lul3/23111312l21u121u22u221/22l21u131u23l2332l21u131u23l2331l31u12l32u22l3274l31u13l32u231u33u332812321/211/23即得A1283/27②用前推過程解下三角方程組1y10y101/2y1得y112213/27714y3y3③用回代過程解上三角方程組x1232x102x1得x11/232228141/2x3x3下面以不包括選主元和換行的Doolittle分解為例，給出解n階方程組Axb的一般計(jì)算公式及整個(gè)求解過程（分3個(gè)步驟）①令A(yù)LU，即令a1n1u1na11a12u11u12aal1auu2121222n222nll1aaaun1n1n2nnnnn1利用矩陣乘法規(guī)則,并對(duì)比等式兩邊對(duì)應(yīng)元素，由A的第1行得a1j1u1j（j1，2，，n）a1ju1j（j1，2，，n）(2.3.5)由由A的第k列（Ikn）（除前k列元素外）得由由A的第1列（除第1行元素外）得（2.3.7）（2.3.7）ak1lk1u11（k2，3，，n）lk1ak1/u11（k2，3，，n）（2.3.6）依此類推，由A的第k列（Ikn）（除前k1列元素外）得akjlkrurjukjr1k1ukjakjlkrurj（jk，，1，，n）r1k1

aiklirurklikukkr1k1lik(aiklirurk)/ukk(ik1，，n)r1k1(2.3.8)②求解下三角方程組Lyb得y1b1i13，，n)yibiliryr(i2，3，，n)yibiliryr(i2，r1③求解上三角方程組Uxy得xnyn/unn2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1ri1這就是用直接三角分解法求解方程組的公式，其中第①步中的前兩個(gè)公式也可合并入后兩個(gè)公式；第②，③步中的前一公式也可并入后一公式，這時(shí)當(dāng)公式中出現(xiàn)和r10rn1時(shí)均不執(zhí)行計(jì)算，作零處理（在列主元Gauss消去法一節(jié)中已提過這個(gè)附注）。n3可以推出，Doolittle算法的乘除法次數(shù)大致為，與Gauss消3去法大致相同，故就計(jì)算量而言，采用Doo