多元函數的極值及其求法

關于多元函數的極值及其求法第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日一、多元函數的極值和最值1、二元函數極值的定義第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例1例２例３(3)(2)(1)第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日2、多元函數取得極值的條件證第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點.駐點偏導數存在的極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例4求函數的極值。解求解方程組：得駐點因此，駐點第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日因此，駐點因此，駐點第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日與一元函數類似，可能的極值點除了駐點之外，偏導數不存在的點也可能是極值點。例如，顯然函數不存在。第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日求最值的一般方法：將函數在

D內的所有駐點處的函數值及在

D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.3、多元函數的最值第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解令第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日實例：小王有

200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買x張磁盤，

y盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為

U(x,y)=lnx+lny．設每張磁盤

8元，每盒磁帶

10元，問他如何分配這

200元以達到最佳效果．問題的實質：求在條件下的極值點．三、條件極值拉格朗日乘數法第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日條件極值：對自變量有附加條件的極值．第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日求解方程組解出x,y,z,t

即得可能極值點的坐標.第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解則例6求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.

設長方體的長、寬、高為x,y，z.體積為V.則問題就是條件求函數的最大值.令下，第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日則令即由(2),(1)及(3),(2)得第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，所以，最大值就在此點處取得。故，最大值最大值一定存在，第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解則由(1)，(2)得由(1)，(3)得第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日將(5)，(6)代入(4)：于是，得這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這