精選新編奧數教程6年級-付答案

精選新編奧數教程6年級-付答案第1講邏輯推理我們常會見到這樣一類題目，沒有或很少給出什么數量關系，解決問題的主要方法不是依靠數學概念、法那么、公式進行運算，且較少用到專門的數學知識，而是根據條件和結論之間的邏輯關系，進行合理的推理，最終找到問題的答案，這就是邏輯推理問題.例1一次數學測驗，A，B，C，D，E，F中有一人得了100分，老師讓他們猜一猜是誰得了100分．A：或者是E，或者是F．B:是我得了100分．C:是D得了100分．D:不會是B得了100分．E:不會是C得了100分．F:不會是我，也不會是E．老師說：你們只有兩個人猜對了．那么，誰得了100分呢？思維點撥從這六個人的話中可以看出，A與F的話、B與D的話相互矛盾，也就是說，每一對中兩個人的話必然是一真一假．根據“只有兩個人猜對了〞這個條件，得出C與E必為假話，由E猜錯可知，是C得了100分．例2三塊正方體，它們的六個面都按相同規(guī)律標有1，2，3，4，5，6．請你判斷一下，2的對面是幾?5的對面是幾?6的對面是幾？(1)(2)(3)思維點撥從圖(1)，(3)可看出，2的對面不可能是5，6，1，4，那么2的對面一定是3．從圖(1)，(2)可以看出，5的對面不可能是2，6，1，3，那么5的對面一定是4．剩下的6的對面一定是1．例3位學者在幾年前逝世，逝世時的年齡數是他出生年份數的，這位學者在1955年主持學術會議時是多少歲？思維點撥由題意，出生年份數應是29的倍數，又因為他在1955年主持過會議，因此出生的年份應小于1955.可以把小于1955且是29的倍數的數列舉出來：1943，1914，1885，1856，…，可以分析出生在1885年或1943年均不合理．只有出生在1914年才符合事實．例4甲、乙、丙、丁四人進行有趣的會談，用了漢、英、德、俄四種語言．情況如下：(1)甲、乙、丙各會兩種語言，丁只會一種語言；(2)有一種語言，四人中有三人都會；(3)甲會俄語，丁不會俄語，乙不會英語；(4)甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；(5)沒有人既會俄語，又會德語.問甲、乙、丙、丁各會何種語言.思維點撥這是條件比擬復雜的問題，應使用列表法進行分析推理，這樣有助于解題，列表格時，在肯定的一格打“√〞在否認的一格打“×〞．例5在每個正方體的6個面上分別寫著1，2，3，4，5，6這6個數，并且任意兩個相對的面上所寫的兩個數的和都等于7，現在把5個這樣的正方體一個挨著一個地連接起來(如圖)，在緊挨著的兩個面上的兩個數之和都等于8，那么圖中打“？〞的這個面上所寫的數是幾？思維點撥根據題意容易推出1的對面是6，挨著6的面是2；2的對面是5，挨著5的面是3；3的對面是4，6的對面是1．因此第3個正方體左右兩面只能是2與5．到底左端是2還是5呢？我們不妨作出假設.假設左端是5，那么其對面是2，挨著2的面是6，6的對面是1，挨著1的面(最右邊一塊的左面)就應該是7，與題意不符．所以最左端只能是2，2的對面是5，挨著5的面是3，3的對面是4，挨著4的面是4，4的對面是3．例6有一次數學競賽，共有6道題，均是是非題，正確的畫“√〞，錯誤的畫“×〞，每題答對得2分，不答得1分，答錯得0分，王、張、趙、楊的答案如下表，楊得了多少分？思維點撥由得分情況及答題數量知，張對4道，錯1道，未答1道，王、趙各對3道，錯2道，未答1道，因為王、張有3道的答案不同，且王、張共錯3道，所以兩人的錯題只能是(3)(4)(6)3道題，由此得到剩下3題的正確答案：(1)×，(2)√，(5)√．比擬知趙的答案，(2)(5)題錯，其余已答的題都對，得(3)×，(4)√．因為張只錯1道，(4)題已錯，故(6)題正確，故(6)×，對照正確答案，楊對4道，錯2道，得8分．●課內練習1．某校運動會上，A，B，C，D，E，F六人參加百米決賽，對于誰是冠軍，甲、乙、丙、丁四人有以下猜測：甲說：冠軍不是A就是B.乙說：冠軍不是C．丙說：D，E，F都不可能是冠軍．丁說：冠軍是D，E，F中的一人，比賽結果是，這四人中只有一人的猜測是正確的．請你判斷誰得了冠軍．2．如以下圖，3塊正方體按同樣的規(guī)律涂有紅、黃、藍、白、黑、綠6種顏色．請你判斷黃、白、紅的對面分別涂什么顏色．(1)(2)(3)3．劉強、馬明、李剛三個男孩各有一個妹妹，六個人進行乒乓球混合雙打比賽．事先規(guī)定：兄妹不許伙伴，第一場：劉強和小麗對李剛和小英.第二場：李剛和小紅對劉強和馬明的妹妹．問：三個男孩的妹妹分別是誰？4．小秋的書架上有一些書，其中是故事書，是文藝書，書的本數在100～150之間，他有多少本書？5．一個正方體木塊放在桌子上，每一面都有一個數，位于對面上的兩個數之和都等于13．小張能看到頂面和兩個側面，看到的三個數之和是18.小李能看到頂面和另外兩個側面，看到的三個數之和是24.那么挨著桌子這個面的數是多少？6．A，B，C，D，E五入在一次總分值為100分的考試中，得分都是大于91的整數，如果A，B，C的平均分為95分，B，C，D的平均分為94分，A是第一名，E是第三名，得96分．那么D的得分是多少？●課外作業(yè)1．甲、乙、丙三人進行跑步比賽.A，B，C三人比照賽結果進行預測．A說：“甲肯定是第一名．〞B說：“甲不是最后一名．〞C說：“甲肯定不是第一名．〞其中只有一人比照賽結果的預測是對的．是誰預測對了？2．以下圖是標有1，2，3，4,5，6數字的同一正方體的三種不同擺法，求三個正方體朝左那一面的數字之積是多少．(1)(2)(3)3．甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他們的職業(yè)分別是工人、記者、教師．現在知道：(1)甲不在南京工作；(2)乙不在上海工作；(3)在南京工作的不是教師；(4)在上海工作的是工人；(5)乙不是記者.三人各在什么地方工作？各是什么職業(yè)？4．小糊涂對小博士說：“我想把54個圍棋子放進10個盒子，每個盒子里都有圍棋子，且每個盒子中的棋子數各不相同．〞小博士聽了，笑著說：“小糊涂你又糊涂了，你說的情況根本辦不到．〞小博士為什么能判斷出這種情況根本辦不到？5．下面的圖是飛行棋的一顆骰子，根據圖中A，B，C三種狀態(tài)顯示的數字，請你推出“？〞處的點數是幾．ABC6．甲、乙、丙三名同學參加了一次標準化考試，試題共10道，都是判斷題，正確的畫“√〞，錯誤的畫“×〞，每道題1分，總分值為10分，他們的答卷如下表：成績公布后，三人都得7分，請你給出各題的正確答案．7．甲說：“我13歲，比乙小2歲，比丙大1歲〞．乙說：“我不是年齡最小的，丙和我差3歲，丙是16歲〞，丙說：“我比甲年齡小，甲14歲，乙比甲大3歲〞，以上每人所說的三句話中，都有一句是錯誤的．請你確定甲、乙、丙三人的年齡．8．A，B，C，D四人進行乒乓球比賽，每兩個人之間都要賽一場，結果A勝了D，并且A，B，C三人勝的場數相同，問D勝了幾場．9．六(1)班共44人，從A，B，C，D，E5名候選人中選舉班長，A得票23張，B得票占第2位，C，D兩人得票相同，E得票最少，得4票．那么B得票多少張？10．，，是3個最簡真分數，A，B，C都是自然數，如果每個分數的分子都加上A，分母保持不變，得到的3個新數之和等于2，那么A,B,C各為多少？你知道嗎1918年，英國著名數學家羅素(B．A.W.Xusse11，1872～1970)引述了一個悖論．據說從前有一個村，規(guī)定理發(fā)師的職責是“專為村上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只給這樣的人刮胡子．〞按照這個規(guī)定，理發(fā)師可不可以自己刮胡子呢？理發(fā)師陷入了自相矛盾的窘境：刮也好，不刮也好，都違反規(guī)定！這種自相矛盾的言論、概念，數學上叫做“悖論〞，上面所說的就是著名的“理發(fā)師悖論〞．第2講列方程解應用題列方程解應用題是運用方程知識來解決實際問題，很多稍復雜的應用題，特別是需要逆向思維的題，運用算術方法解答有一定的困難，列方程解答就比擬容易．列方程解應用題的關鍵是正確地設立未知數，找出等量關系，從而建立方程．列方程解應用題的一般步驟是：1．弄清題意，找出未知數，并用x表示；2．找出應用題中數量之間的相等關系，列方程；3．解方程；4．檢驗，寫出答案．例1六(1)班有58人，六(2)班有26人，從六(1)班調多少人到六(2)班，才能使六(2)班人數比六(1)班人數的2倍少9人？思維點撥我們可以設從六(1)班調x人到六(2)班，那么，調動后六(1)班有(58－x)人，六(2)班那么有(26＋x)人．再根據調動后“六(2)班人數比六(1)班人數的2倍少9人〞這個條件，就可以列出方程：26＋x＝2(58－x)－9．例2有甲、乙、丙三個數，乙數是甲數的5倍，丙數比乙數少4，且三個數的和是95，求這三個數，思維點撥這道題中有三個未知量，根據數量關系，設甲數為x，那么乙為5x，丙為5x－4，再根據三個數的和為95，就可以列出方程了．例3光明小學體育器材室里，足球的個數是排球的2倍．體育課上，每班借8個足球，5個排球，排球借完時，足球還有48個．體育器材室原有足球、排球各多少個？思維點撥我們如果設原有排球x個，那么原有足球2x個，借出的足球有(2x－48)個．用借出的球數除以每班借的球數就得到班級數，即班級數可以表示為(T÷5)，也可以表示為(21，－48)÷8，即可得方程x÷5＝(2x－48)÷8，這個方程解起來比擬麻煩．如果我們設光明小學有x個班，那么排球數為5x，足球個數為(8x＋48)，再根據“足球個數是排球的2倍〞就可以列出方程：5x×2＝8x＋48．例4一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字少1，如果十位上的數字擴大到4倍，個位上的數字減去2，那么，所得的兩位數比原來大58，求原來的兩位數.思維點撥要求原來的兩位數，就要先求出十位數字和個位數字，如果設兩位數的個位數字是x，那么十位上的數字是(x－1)，原來這個兩位數是10×(x－1)＋x，把十位數字擴大到4倍，是4(x－1)，個位上的數字減去2，是(x－2)，現在的兩位數為10×4(x－1)＋(x－2)，根據題意可列出方程.例5有—個水池，第一次放出全部水，第二次放出40立方米，第三次又放出剩下水的，池里還剩水56立方米，全池蓄水多少立方米？思維點撥如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水應為x，第二次放出的水是40立方米，第三次放出的水應是剩下的水的(x－x－40)×．有這樣的等量關系：第一次放水量＋第二次放水量＋第三次放水量＋剩余水量＝全池蓄水量．例6兩座糧倉，甲倉裝糧食100噸，如果從乙倉中運出放到甲倉，這時，乙倉的糧食比甲倉少．求乙倉原有糧食多少噸？思維點撥設乙倉原有x噸糧食．運出x噸給甲倉，甲倉就有(100＋x)噸，乙倉只剩下x噸，再根據“這時乙倉比甲倉少〞這個條件，就可以列出方程了．●課內練習1．甲倉有86噸貨物，乙倉有42噸貨物，從甲倉運多少噸貨物到乙倉，才能使乙倉的貨物比甲倉的2倍還少4噸？2．甲、乙、丙三個數的和為112，丙數比乙數多4，乙數是甲數的4倍，求這三個數．3．某小學圖書館里科技書的本數是故事書的3倍，活動課上，每班借7本科技書，5本故事書，故事書借完時，科技書還剩96本，圖書館里有科技書和故事書各多少本？4．一個兩位數，個位數字與十位數字之和為8，將個位數字與十位數字對調后，所得的新數比原來的數大54，求原來的兩位數．5．一輛汽車從甲地到乙地．第一小時行了全程的，第二小時行了80千米，第三小時行了剩下的，這時距乙地還有100千米，甲、乙兩地相距多少千米？6．甲倉有貨物52噸，從乙倉運出到甲倉，這時乙倉比甲倉多，求乙倉原有貨物多少噸．●課外作業(yè)1．甲布袋有280個玻璃球，乙布袋有40個玻璃球，從甲布袋取多少個放入乙布袋，才能使甲布袋的玻璃球比乙布袋的2倍還多35個？2．希望小學的六年級有三個班，共有153人．六(1)班人數是六(3)班的1.12倍，六(2)班比六(3)班少3人，三個班各有多少人？3．布袋里有紅球和黃球假設干個，紅球比黃球的3倍多6個，假設每次取出8個紅球和4個黃球，當黃球正好取完時，紅球還剩30個，袋子里原有紅球、黃球各多少個？4．一個六位數的左邊第一位數字是1．如果把這個數字移到最右邊，那么所得的六位數是原數的3倍，求原數．5．兩個集鎮(zhèn)之間的公路除了上坡就是下坡，沒有平路，客車上坡的速度保持為每小時15千米，下坡那么保持為每小時30千米．現知客車在兩地之間往返一次，需在路上行駛6小時，求兩地之間的距離．6．甲、乙兩班各有一個圖書室，共有303本書，甲班圖書的和乙班圖書的合在一起是95本．那么甲班圖書有多少本？7．西紅柿和黃瓜共有180千克，西紅柿的3倍比黃瓜的2倍少10千克，西紅柿和黃瓜各多少千克？8．第一個正方形的邊長比第二個正方形邊長的2倍多1厘米，它們的周長之和是88厘米，它們的面積之和是多少？9．甲、乙、丙三個數的和是218，甲數除以乙數、乙數除以丙數都是商3余2，甲、乙、丙三個數各是多少？10.甲、乙、丙、丁四人共做零件265個，如果甲多做15個，乙少做5個，丙做的個數乘以2，丁做的個數除以3，那么四個人做的零件數恰好相等，問：丙做了多少？你知道嗎列方程解應用題比闡算術方法解應用題有明顯的優(yōu)越性，即簡單、快捷、正確.什么叫方程呢?方程就是含有未知數的等式，把這個砉知數求出來，就叫做解方程．方程中的未知43通常都用x，y，x來表示，這是法國著名數學家、哲學家笛卡兒(R．Descaxtes，1596～1650)倡導使用的，常用a，b，c等表示量，用x，y，z等表示未知置．第3講巧計算在做分數計算題時，一般的分數計算題，只要能正確利用分數的根本性質、四那么運算法那么及定律，都能得到正確的結果，但有些稍難的分數計算題，假設按常規(guī)的方法計算會很麻煩，而且很難得出正確的結果，又浪費時間．所以我們必須學會某些特殊的運算技巧，合理選擇巧妙的方法使運算簡便，從而節(jié)省時間，提高運算速度和解題的正確率．例1計算：－．思維點撥用一般的通分方法計算可以算出結果，但實在是太麻煩了．仔細觀察會發(fā)現每個括號內都有，我們可以先把它看成一個整體，用一個字母來表示，使運算簡化.例2計算：．思維點撥我們先仔細觀察每個分數，它們的分子都是1，分母都可分解為兩個連續(xù)自然數的積．于是每個分數都可拆分成兩個分數的差：，，，.例3計算：．思維點撥仔細觀察后很容易發(fā)現，每個分數的分子都是2，而分母都是兩個相鄰奇數的乘積，并且分子恰好等于分母的兩個相鄰奇數的差，那么有，,，，.例4計算：．思維點撥仔細觀察后很容易發(fā)現，每個分數的分子都是1，而分母是兩個差為3的自然數組成的乘積形式．我們可以將寫成的形式，再運用乘法分配律把提取出來，就可以進行簡便計算了．例5計算：.思維點撥此題先用等差數列求和公式將各分數的分母化簡，再運用其他公式計算.例6計算：.思維點撥仔細觀察此題的特一點，每一個分數總是其后一個相鄰分數的2倍．據此特點可設原式為A，將A擴大2倍后得到2A＝，再用2A－A，便可以得到A的值了．●課內練習1．計算：．2．計算：．3．計算：．4．計算：5．計算：6．計算：●課外作業(yè)1.計算：．2．計算：．3．計算：4．計算：1－－－－－5.計算:1－－－－…－6．計算：7．計算：．8．計算：(3＋5＋7＋9)÷(1＋2＋3＋4).9.計算：.10.計算:.你知道嗎傳說德國偉大的數學家、物理學和天文學家高斯(C．F．Gauss，1777～1855)很小的時候就表現出了非凡的數學才能，他在10歲的那年還在讀小學，一次老師出了一道1＋2＋3＋…＋100＝?的數學題目，老師剛說完，高斯就能答出等于5050．令同伴們都驚訝不已!高斯不僅喜歡數學，還非常喜歡古代語，他在大學一年級創(chuàng)造了二次互反律，二年級得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作出的正多邊形的條件，解決了兩千年來懸而未決的難題，高斯的數學成就普及數學的各個領域，被譽為歷史上偉大的數學家之一．高斯還在天文學和物理學方面作出許多重要奉獻．第4講估算的技巧在日常生活、科學研究及工程建設中，往往會遇到比擬復雜的計算，許多情況下，我們沒有必要也不可能算出絕對精確的結果，這時，只需估算一個大致結果就可以了，估算常常運用取近似值、放與縮等技巧進行快速、近似的計算，這是一種十分重要的計算方法．熟練掌握這種算法不僅可以幫助我們解決問題，還可以用來檢驗計算結果是否正確．例1試用估算法檢驗以下計算是否正確．534×＝543思維點撥因為一個因數小于1，所以積應小于另一個因數，而543大于534,所以計算錯誤．例2某校六年級三個班舉行一次數學考試，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，這三個班每人的平均分是()分．A．81 B．82 C．83 D．85思維點撥根據平均數的意義，三個班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A，D都是錯誤的，因為六(1)班和六(3)班都是43人，假設從六(3)班每個同學中取2分補給六(1)班的每個同學，平均分正好是83分，又與六(2)班的平均分相同，所以應選C．例3計算7.8＋7.98＋7.998＋···＋7.9999999998的整數局部是多少．思維點撥這道題有10個加數，分別是7.8，7.98，7.998，…，7.9999999998，從十分位起依次多一個9，兩個9……九個9，把這十個數加起來，可以直接計算出結果，再確定整數局部是多少，但這樣太煩瑣了．實際上，和的整數局部只與十個數的個位、十分位、百分位上各數的和有關，而與百分位以下各位上的數的和沒有太多關系，這樣就可以減少計算的次數而得出和的整數局部．例4求下式的整數局部：.思維點撥先確定分母局部最小不小于幾，最大不大于幾，便可確定分母局部的值的范圍．假設這個范圍很小，就能算出該式的整數局部，因為分母局部一定比10個小，一定比10個大，從而可以得到該算式的值在200到200.9之間，從而得出該算式整數局部確實定值．例5一個四位數66能被134整除，求這個四位數除以134的商，思維點撥原四位數一定在6006到6996之間，容易求出商的范圍，再利用整除性求出這個商.例6，都是真分數，且＋≈1.38，那么＝.思維點撥先用不等式估計＋的大小，列出不定方程，從而求出整數解．●課內練習1．試用估算法檢驗以下計算是否正確．2054×1＝20362．某校六年級三個班舉行一次數學考試．五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，這三個班每人的數學平均分是()分．A．82 B．84 C．83 D．83.53．求4.5＋4.65＋4.665＋…＋4.6666666665的整數局部．4.求的整數局部．5．求40÷(0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59)的商的整數局部是多少．6．下式是用四舍五入的方法計算得到的三個真分數的和，十十≈1.35，那么，三個自然數a＝()，b＝()，c＝()．●課外作業(yè)1．試用估算法檢驗以下計算是否正確．0.865×5.43＝4.63752．某車間加工一種機器零件，4人6小時能加工104個，照這樣計算，10人加工260個零件，需要()小時．A.6B．7C．8D.103．設A＝，求A的整數局部．4.求的整數局部．5．求10÷70＋11÷71＋12÷72＋…＋20÷80的整數局部．6．有一個算式≈1.71，,算式左邊方框里都是整數，右邊答案是四舍五入后的近似值．求算式中方框里的整數分別是多少.7．六(1)班共44名學生，A，B，C，D，E五名同學競選班長．A得票最多，得23票，B第二名，C，D，E分別為三、四、五名，E得3票，問B最多得幾票．8．三個真分數≈1.35，那么x，y，y各是多少？9．比擬兩式45678÷12345和56789÷23456的大小．10．求的整數局部.你知道嗎德國數學家高斯10歲的時候就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100＝5050．那么1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝?你能很快算出來嗎?寧寧能很快算出來，答案是10000，因為他記住了一個速算的方法.請看：1＋2＋1＝4＝221＋2＋3＋2＋1＝9＝321＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42…剛有公式：1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.再看上面那道題目，它的答案就是1002＝10000.如果你記住了這個方法，那么你也能很快地算出這種類型的題目的答案了．第5講最大與最小問題在日常生活中，經常會遇到有關最大、最小、最多、最少等問題，我們把這炎問題統稱為最大與最小問題．這類問題涉及的知識面廣，題目復雜，大多數這樣的問題并沒有固定的解題模式，因此，解題時要根據題中給出的條件去分析、判斷、推理，最后才能得出正確的答案．例1下面是一個乘法算式．問：當乘積最大時所填的六個數字的和是多少？思維點撥從算式看，積是三位數，最大可是999.又一個因數是5，所以積是5的倍數，從而積最大只能是995.根據積與一個因數，就能求出另一個因數，使問題得到解決．例2把16分成幾個自然數的和，再求出這些自然數的乘積，要使得乘積盡可能大，問：這個乘積是多少？思維點撥要想使拆成的幾個自然數乘積最大，拆成的個數要盡可能多且不含1，不宜大于4，例如5，可再拆成2和3，因為2×3>5，因此，所拆成的數大于4的應再拆．還有，拆成的數中2的個數不宜多于2個，假設多于2個，比方3個2，因為2＋2＋2＝6，而6＝3＋3，3×3>2×2×2，因此應盡量多拆出3來，這樣可將16拆成4個3和2個2，即16＝3＋3＋3＋3＋2＋2.此時乘積最大為3×3×3×3×2×2＝324.例3某人有一個長20米的鐵絲網，他想借圍墻做一面，用這個鐵絲網圍成一個長方形菜地，并使這塊菜地的面積盡可能地大，問：這個菜地的最大面積是多少？思維點撥因為菜地四周有三面用這個鐵絲網圍起來，另一面借助于已有的圍墻，要使這個菜地的面積最大，即使得長與寬的乘積最大．注意長與兩個寬的和等于鐵絲網的長度20米，為定值．當長與寬的乘積最大時，長與2倍的寬乘積也最大，反之亦對，于是問題轉化為：當長與2倍寬的和為定值，即20米時，長＝2倍的寬＝10米，乘積最大，即長為10米、寬為5米時乘積最大.例4從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字中，選出五個不同的數字組成一個五位數，使它能被3，5，7和13整除，這個數最大是多少？思維點撥要使這個五位數能被3，5，7和13整除，可知這個五位數是3，5，7，13的公倍數．因為3，5，7和13的最小公倍數是3×5×7×13＝1365，這個五位數中1365的最大倍數是1365×73＝99645，但99645中有兩個9重復，不符合題意，因而可將這個99645逐個減少1365，直至找出符合題意的五位數．例5從1，2，3，…，1993，1994這些自然數中，最多可以取多少個數，才能使其中每兩個數的差不等于4？思維點撥我們設法將這些自然數分組，使得每組中兩數的差為4．由此，同組的兩數中至多取出一個數，從而給出所能取出的數的個數的上界，再設法取出這些確定的數，說明這個數是可以到達的．例6和平小學有假設干名學生參加數學競賽，每名學生的得分都是整數．參賽學生的總分為3063分，且前三名的分數分別是90，85，80，最低分數是50分，又前三名沒有得分相同的學生，其他每個分數，得分相同的學生不超過4人，問：至少有多少學生不低于60分(包括前三名)?思維點撥因為問的是得60分以上的至少有多少人，那么，我們應該讓得60分以下的人盡可能地多，得60分以下的人最多可得(50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＋57＋58＋59)×4＝2180(分)，60分以上80分以下的人共得分：3063－(90＋85＋80＋2180)＝628(分)．顯然，得這628分的假設干人應該是人數最少.628＝79×4＋78×4，這樣，我們可以求出不低于60分的同學至少有4＋4＋3＝11(人)．●課內練習1．兩個非零自然數相除商是126，余數是36，問：被除數最小是多少？2．將17拆成幾個自然數的和，并使這些自然數的乘積最大，最大的積是多少？3．用長為40米的竹籬笆圍成一塊長方形菜地，其中一面靠墻，為使菜地面積最大，應怎樣分配長與寬？最大面積是多少平方米？4．個位上的數字是4，且能被3整除的六位數有多少個？最大的六位數是多少？5．從1，2，3，…，2023中最多可以取多少個數，使得其中任意兩個數之差都不等于5？6．一次數學考試的總分值是100分，6名同學在這次考試中乇均得分是91分，這6名同學的得分互不相同，其中有1名同學僅得65分．那么，得分排在第3名的同學至少得多少分？●課外作業(yè)1．下面算式中的兩個方框內應填什么數，才能使這道整數除法題的余數最大？÷25＝109……2．將30分成假設干個互不相等的自然數的和，且使這些自然數的乘積最大，該乘積是多少？3．有一塊菜地長35米，寬25米，菜地中間留了1米的路，路把菜地分成四塊(如圖)，菜地的實際面積是多少？4．今有一隊學生(300人以內)，如果每9人排成一列，最后余下4人，如果每7人排成一列，最后余下3人，問：這隊學生最少有多少人？最多有多少人？5．從4，8，12，16，…，76這列數中，任取11個數，至少有兩個數的差為36，請你說明這是為什么．6．五名選手在一次數學競賽中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的選手得90分．那么得分最少的選手至少得多少分，至多得多少分？(每名選手的得分都是整數)7．一個三位數除以43，商是a，余數是b(a，b均為整數)，求a＋b的最大值是多少．8．如果8個人的平均年齡是48歲，在8人中沒有人大于51歲，又知最多能有3個人的年齡相同，那么年齡最小的可能是多少歲?9．一個布袋中有35個同樣大小的球，其中白色球、黃色球和紅色球各10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球．一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同色的？10.5名選手在一次數學競賽中共得412分，每人得分互不相等，并且其中最高得分為90分．那么得分最少的選手至少得多少分，至多得多少分？(得分都是整數)你知道嗎為什么油桶、水箱等裝液體的容器六都做成圓柱形的？這里有數學方面的道理，設圓柱形的底面半徑是r．高為h．可以做成2r<h，2r>h，2r＝h三種形狀的圓柱形容器，使用哪一種形狀用料最省呢?也就是上、下底面積和側面積之和最小．經過計算可以知道，當h＝2r時，即取底面圓的直徑和高相等時，用料最省，如果容器做成球形，那么比做成圓柱形還要省料，但是球形容器容易滾動，很不穩(wěn)定，而且蓋子也難做好，做成球形雖然省料，但不實用，所以一般都不做成球的形狀.第6講分數應用題分數應用題是小學數學的重點和難點之一．它的根本類型有三種：1．求一個數是另一個數的幾分之幾；2．求一個數的幾分之幾是多少；3．一個數的幾分之幾是多少，求這個數．解答分數應用題的關鍵是找到單位“1〞，建立對應關系.例1甲數比乙數多，乙數比甲數少幾分之幾？思維點撥這是“求一個數是另一個數的幾分之幾〞類型的分數應用題．解答這類題的方法是：看誰和單位“1〞比，就用誰除以單位“1〞，此題是求乙數比甲數少幾分之幾，所以是用“乙數比甲數少的〞除以甲數.例2小明看一本小說，第一天看了全書的還多16頁，第二天看了全書的少2頁，全書有144頁．小明這兩天共看了多少頁？思維點撥此題的單位“1〞是全書的頁數，已經告訴我們全書有144頁，所以這道題是“求單位1的幾分之幾是多少〞的類型．例3小明看一本書，第一天看了全書的，第二天看了40頁，第三天看的頁數是前兩天看的總數的，這時還剩下全書的沒有看．問：全書共有多少頁？思維點撥第三天看的頁數是前兩天看的總數的，就是指第三天看的頁數是全書的×加上40頁的，由此可知，數量(40＋40×)的對應分率是(1－－×－)．例4甲、乙兩數之和是270，甲數的等于乙數的．甲、乙兩數各是多少？思維點撥題中有甲數、乙數兩個單位“1〞，需統一單位“1〞．把甲數看做單位“1〞，那么乙數就是甲數的÷，即甲數的．這樣與和270相對應的具體分率是1＋，由此可求出單位“1〞.例5向前小學六年級有學生480人，其中女生占，后來轉來了一些女生，這樣女生占六年級總人數的，轉來的女生有多少人？思維點撥在此題中，女生人數、六年級總人數都發(fā)生了變化，但男生人數卻沒有變化，因此可抓住男生人數這個不變量求出后來的總人數，從而推出轉來的女生人數，例6為了慶祝六一兒童節(jié)，學校買來紅氣球和黃氣球共200個，紅氣球的比黃氣球的多14個．學校買來紅氣球和黃氣球各多少個？思維點撥設學校買來紅氣球1個，黃氣球就有(200－x)個，根據題目中的條件“紅氣球的比黃氣球的多14個〞，可以列出下面的等量關系式：紅氣球的－黃氣球的＝14．●課內練習1．甲數比乙數少，乙數比甲數多幾分之幾？2．一堆煤1050噸，一季度燒了還多10噸，二季度燒了原總煤量的少5噸，還剩多少噸？3．一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時行了50千米，第二小時行了全程的，第三小時行的是前兩小時行的總和的，這時還剩下全程的，甲、乙兩地相距多少千米？4．小華和小紅共有910元存款，小華存款的和小紅存款的相等，她們倆入各有存款多少元？5．某校六(2)班有48人，女生占，轉走幾名女生后，女生，轉走了幾名女生？6．師徒兩人合作加工400個零件，師傅加工的比徒弟加工的還多8個，師徒兩人各加工了多少個？●課外作業(yè)1．六(1)班星期二這天出勤39人，缺勤1人，求六(1)班這天的出勤率．2．甲、乙兩城相距960千米，自行車隊從甲城出發(fā)去乙城，第一天行了全程的多15千米，第二天行了全程的多20千米，第三天行了全程的．自行車隊三天共行了多少千米？3．王師傅加工一批零件，第一天加工了40個，第二天加工了這批零件的，第三天加工的比前兩天加工的總和的還多20個，這時還剩下這批零件的沒有加工，這批零件共有多少個？4．甲、乙兩個倉庫共有510噸貨物，從甲倉運走，從乙倉運走后，兩倉庫剩下的貨物正好相等，甲、乙兩個倉庫原有貨物各多少噸？5．數學興趣小組中，女生人數占，后來又有8名女同學參加，這時，女生人數占數學興趣小組人數的，求這個數學興趣小組現在共有多少人．6．王偉和李剛共有800元存款，王偉取出自己存款的，李剛取出自己存款的，這時兩人還共有存款170元，王偉和李剛原來各有存款多少元？7．紅山小學六年級舉行數學和語文競賽，參加的人數占全年級總人數的，參加語文競賽的占競賽人數的，參加數學競賽的占競賽人數的，兩項都參加的有12人，全年級共有多少人？8．甲、乙、丙、丁四人共有存款假設干，其中甲有480元，乙的存款是其余三人的，丙的存款是其余三人的，丁的存款是其余三人的，甲、乙、丙、丁四人共有存款多少元？9．有一家糧店運進一批大米，第一天賣出總量的，第二天賣出總量的，第三天賣出剩下的，此時只剩下100千克，問：原運進大米多少？10.有一個水池，第一天放出全部水的，第二天放出40立方米，第三天放出全部水的，此時水池中還有水56立方米，試問：這個水池一共有水多少？你知道嗎關于乘法的記號.人類很早就掌握了乘法運算，我國古代就出現了“九九〞乘法表，在西方還出現過格子乘法，乘法的記號“×〞是1631年由英國數學家奧特雷德(W.Oughtxed，1574～1660)倡用的，由于容易和拉丁字母“x〞相混，17世紀豐經萊布尼茲(G．W.1eibnix，1646～1716,德國數學家)提出改闡“·〞．在我國，這兩種記號都采用，數字的乘法用記號“×〞，而數字和字母相乘或是字母之間相乘，那么用記號“·〞或省略不寫．第7講百分數應用題在日常生活中會遇到很多百分數問題，如溶液的質量分數問題、商品的打折出售、利潤率的計算、儲蓄的利息等，其中常用的數量關系有：溶液的質量分數＝＝利潤＝售價－本錢，利潤率＝×100%，售價＝本錢×(1＋利潤率)，單利息＝本金×利率×時間.例1有含鹽10%的鹽水50千克，要配制成含鹽25%的鹽水200千克，需加鹽和水各多少千克？思維點撥先求出含鹽25%的鹽水200千克中有多少千克鹽和水，再求出含鹽10%的鹽水中有多少千克鹽和水，再用含鹽25%的鹽和水分別減去含鹽10%的鹽和水，就可以求出需要加鹽和水各多少千克了.例2甲、乙兩種酒精的質量分數分別為80%和60%，現在要配制質量分數為65%的酒精4000克，應當從這兩種酒精中各取多少克？思維點撥配制溶液的過程中，前、后溶液中的溶質沒有改變，利用這個關系列出方程解答．例3某商品按20%的利潤定價，然后按八八折賣出，獲得利潤56元．這件商品的本錢是多少元？思維點撥把這件商品的本錢看做單位“1〞，商品的定價就是本錢的1＋20%＝120%．因為商品按八八折賣出，所以商品的售價就相當于本錢的120%×88%＝105.6%，而獲得的利潤就相當于本錢的105.6%－1＝5.6%.例4某商品按定價出售，每個可以獲得利潤50元．現在按定價八折出售8個與按定價每個減價40元出售12個所能獲得的利潤一樣．這種商品每個定價多少？思維點撥每個減價40元出售12個共可獲利潤(50－40)×12＝120(元)，也是八折出售8個所得的利潤，所以八折出售每個獲利為120÷8＝15(元)．八折每個商品少獲利50－15＝35(元)，八折就是每件商品少賣定價的1－80%＝20%，這樣我們可知定價的20%是35元，從而可以求出定價.例5本錢為3.5元的筆記本4000本，按50%的利潤定價出售，當賣掉80%后，剩下的筆記本打折扣出售，結果獲得的利潤是預定的88%，問：剩下的筆記本出售時是按定價打了什么折扣？思維點撥由題意，可得如下關系式：本錢×(1＋50%)×80%＋本錢×(1－80%)×(1＋50%)×折扣＝本錢×(1＋50%×88%)．例6小華到商店買紅、藍兩種筆共66支，紅筆每支定價5元，藍筆每支定價9元．由于買的數量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價85%付錢，藍筆按定價80%付錢．如果她付的錢比按定價少付了18%，那么她買了紅筆多少支？思維點撥由題意我們可知，她付的錢比定價少了18%，我們可以理解為紅筆是定價的1－18%＝82%，藍筆也是定價的82%，相當于紅筆付錢時每支是5×82%＝4.1(元)，藍筆付錢時是每支9×82%＝7.38(元)．實際上紅筆每支5×85%＝4.25(元)，藍筆每支9×80%＝7.2(元)．由于所付的總錢數不變，因此紅筆多付的錢與藍筆少付的錢一樣多.●課內練習1．有含鹽15%的鹽水40千克，要配制含鹽25%的鹽水100千克，需加鹽和水各多少千克？2．將20%的鹽水與J%的鹽水混合，配成15%的鹽水300克，需要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克？3．某商品按20%的利潤定價，然后按九折賣出，共得利潤64元，這件商品的本錢是多少元？4．一種商品按定價出售每個可獲利60元，現在按定價的75%出售10個與按每個減價40元出售5個所獲得的利潤同樣多，這種商品每個定價是多少元？5．本錢為4.2元的某商品共600件，按40%的利潤定價出售，當賣掉80%后，剩下的商品打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%．問：剩下的商品出售時是按定價打了什么折扣？6．趙師傅以每只2.80元的價格購進一批玩具狗，然后以每只3.60元的價格賣出，當賣出總數的時，不僅收回了全部本錢，還盈利24元，趙師傅一共購進多少只玩具狗？●課外作業(yè)1．在質量分數為25%的食鹽水20千克中參加10%的食鹽水和白開水各假設干千克，參加的食鹽水是白開水的2倍，得到了質量分數為20%的食鹽水，求參加10%的食鹽水多少千克．2．質量分數為20%，18%和16%的三種鹽水混合后得到100克18.8%的鹽水．如果18%的鹽水比16%的鹽水多30克，三種鹽水各有多少克？3．一件商品按30%的利潤定價，然后按七折賣出，結果虧損了18元，這件商品的本錢是多少元？4．一種商品，甲店進貨價比乙店廉價12%，兩店同樣按20%的利潤定價，售出這樣的一件商品乙店要比甲店多收入24元，求甲店的定價是多少元．5．某商店有兩件商品，其中一件商品按本錢增加25%出售，另一件商品按本錢減少20%出售，售價恰相同，那么()．6．某文體商店用2200元進了一批籃球和足球，籃球比足球多15個，商店出售足球的定價是20元，籃球的定價比足球增加20%，這批球售完后共得利潤1020元，足球和籃球各有多少個？7．在質量分數為30%的300克鹽水中參加多少鹽就能得到質量分數為40%的鹽水？8．甲容器中有質量分數為10%的鹽水400克，乙容器中有質量分數為15%的鹽水240克，往甲、乙兩容器中倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的質量分數相同，每個容器應參加多少水？9．姜老師于2023年3月15日將10000元錢存入銀行，存期為1年，年利率為4.5%．2023年3月15日姜老師到銀行辦了本息續(xù)存1年的手續(xù)，年利率未變，2023年3月15日姜老師又到銀行辦了本息續(xù)存1年的手續(xù)，年利率仍為4.5%．問：姜老師到2023年3月15日可拿到本息共多少？10.某商店出售一種商品，每售出1件可獲利潤18元，售出40%后每件減價10元出售，全部售完，共獲利3000元．問商店共售出這種商品多少件．你知道嗎通常我們說甲比乙多多少和乙比甲少多少是一樣的，例如，甲比乙多10千克，那么乙就比甲少10千克．但是用分數來表示時情況就不一樣了．因為甲比乙多百分之幾的意思是，乙比甲少百分之幾的意思是里，兩個式子分子相同，分母卻是不同的，因此結果就不同了．例如甲比乙多25%，剛乙比甲少百分之幾呢？我們選乙做標準，也就是乙為100%，因甲比乙多25%，所以甲是125%．乙比甲少百分之幾．就是＝＝＝20%,即乙比甲少20%,兩者不同．你可以自己再算幾個．第8講工程問題工程間題是分數摩用題的特倒，因此解分數應用題的根本思想和解工程問題是一致的，工程問題是研究王作效率、王作時間和工作憨量之間相互關系的一類問題．它的根本數量關系式是：工作效率×工作越間＝工作總量．在工程問題中，常常把工作總量看做單位“1〞，工作效率那么用“每天完成工作量妁幾分之幾〞來表示．例1甲、乙兩隊合修一條公路．甲隊單獨修要15天修完，乙隊單獨修要20天修完，現在兩隊同時修了幾天后，由甲隊單獨修了8天修完，求乙隊修了幾天．思維點撥把公路全長看做單位“1〞，從單位“1〞中減去甲隊8天修的，剩下的就是甲、乙兩隊同時修的，用剩下的工作量除以甲、乙兩隊的工作效率之和，等于甲、乙兩隊合修的天數，也就是乙隊修的天數．例2一項工程，甲、乙兩隊合作12天完成，乙、丙兩隊合作18天完成，甲、丙兩隊合作需9天完成，現在三隊合作，需多少天完成？思維點撥根據題意，甲、乙兩隊每天完成這項工程的，乙、丙兩隊每天完成這項工程的，甲、丙兩隊每天完成這項工程的．(＋＋)就是甲、乙、丙三隊合作2天共完成了這項工程的幾分之幾，容易求出甲、乙、丙每天完成這項工程的幾分之幾，進而求出三隊合作完成這項工程需要多少天，例3一件工作，甲單獨完成需要20天，乙單獨完成需要15天，假設甲先做假設干天后乙接著做，共用了18天完成，求甲工作了多少天．思維點撥由于甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲比乙的工作效率慢，所以18天完不成這件工作．用乙的一天工作量換成甲的一天工作量，那么每天又可多完成－＝．這樣甲18天內完不成的工作量里有幾個，乙就應替換甲幾天，也就是乙工作的時間．例4師徒兩人合作一件工作，要20天完成，如果讓徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨做，還要26天才能完成，師傅單獨做這件工作需要多少天完成？思維點撥這里可以把“徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨做，還要26天才能完成〞轉化為“師徒兩人合作8天后，師傅再做26－8＝18(天)才能完成〞來考慮．例5加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，現在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的40%沒有完成，甲每天比乙多加工5個零件，求這批零件共有多少個．思維點撥甲、乙合作的效率和為，“甲先做16天，然后乙再做12天〞可理解為“甲、乙合作12天后，甲再單獨做16－12＝4(天)〞，這樣甲4天完成的工作量為1－40%－×12＝，于是，可以求出甲的工作效率為÷4＝，乙的工作效率為－＝，從而求出5個零件占這批零件的擊－＝.例6一項工程，單獨做，甲要12小時完成，乙要9小時完成．如果先由甲干1小時，然后乙接替甲干1小時，再由甲接替乙干1小時……兩人如此交替工作，需要幾小時完成任務？思維點撥甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲工作1小時，乙再工作1小時，即一個循環(huán)，完成工作量為＋＝．由1÷＝5知，最多可以有5次循環(huán)，而5次循環(huán)將完成工作量×5＝，還剩下1－＝的工作量，剩下的工作量由甲做，還需要÷＝(小時)．●課內練習1．一項工程，甲單獨完成需要8天，乙單獨完成需要12天．現在甲、乙兩人合作假設干天后，乙有事請假，由甲單獨干了3天完成，甲共干了多少天？2．一件工作，甲、乙兩人合作需24天完成，乙、丙兩人合作需40天完成，甲、丙兩人合作需30天完成，假設由甲、乙、丙獨做，各需多少天完成？3．一項工程，甲獨做要30天完成，乙獨做要20天完成，假設由甲做了假設干天后，由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用了26天，求甲、乙兩人各做了多少天，4．一件工作，甲、乙兩人合作30天完成．如果甲單獨做20天后，乙再參加工作，兩人合作12天后，甲因事離開，由乙繼續(xù)做了15天才完成，這件工作如果由甲單獨完成，需要多少天？5．修一條公路，甲、乙兩隊合修需12天完工，現在由甲隊先修8天，然后由乙隊再工作6天，還剩下這條路的詈沒有修，剩下的路由甲隊修，還需要多少天？6．一件工作，由甲單獨做要14小時完成，乙單獨做要20小時完成．如果按甲先乙后，每人每次1小時輪流工作，需要多少小時完成任務？●課外作業(yè)1．一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了60天才完成，如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？2．一項工程，甲、乙兩隊合作需30天完成，乙、丙兩隊合作需40天完成，丙、丁兩隊合作需120天完成．甲、丁兩隊合作需多少天完成？3．一件工作，甲獨做要50天完成，乙獨做要60天完成．現在甲、乙兩人合作，乙中途休息了假設干天，到完成工作時，用了30天，求乙中途休息了幾天．4．一條公路，甲、乙兩隊同時修5天可以修完，乙、丙兩隊同時修4天可以修完，如果甲、丙兩隊同時修2天，還需乙隊修6天才能修完．假設乙隊獨修幾天可以修完？5．王師傅和張師傅共同加工一批零件需30天完成，王師傅先干22天，兩人再合作12天，剩下的張師傅單獨還要干16天才能全部完成，又知王師傅每天比張師傅少加工14個零件．問：照這樣，完成任務時，張師傅共做了多少個零件？6．蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需5小時，要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時．現在池內有池水．如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序輪流翻開1小時，問：多少小時后水開始溢出水池？7．修一條公路，甲隊獨修24天完成，乙隊獨修30天完成，甲、乙兩隊合修假設干天后，乙隊停工休息，甲隊繼續(xù)修了6天完成，乙隊修了多少天？8．師徒兩人加工一批零件，由師傅獨做需37小時完成，徒弟每小時能加工30個零件．現在師徒兩人同時加工，完成任務時徒弟加工的個數是師傅的，這批零件共有多少個？9．一項工程，甲、乙合作6天能完成工程的，假設單獨做，甲完成總工程的與乙完成總工程的所需的時間相等，甲、乙單獨做各需要多少天？10.一水池，甲、乙兩管同時開5小時放滿，乙、丙兩管同時開4小時放滿．現在先開乙管6小時，還需要甲、丙兩管同時開2小時才能將水池放滿．乙單獨開多少小時可以放滿水池？你知道嗎?九章算術?是中國古代的一部數學專著．現傳本?九章算術?的成書年代大約是公元一世紀．后世的數學家大都是從?九章算術?開始學習和研究數學的．許多人曾為它作過注釋，最著名的有劉徽、李淳等人．?九章算術?共收有246個數學問題，分為九章，萁中絕大多數內容與當時的社會生活密切相關．它在數學方面的成就是多方面的，在算術、幾何、代數諸方面均有很多奉獻．在唐、宋兩代，?九章算術?是國家規(guī)定的教科韋．在北宋，還由政府進行過印刷，這是世界上最早的印刷本數學書，?九章算術?在隋唐時期傳入日本、朝鮮，現已被譯成曰、俄、德、法等多種文字．第9講比擬大小分子相同或分母相同的分數大小的比擬同學們都巳熟練掌握了，較難的是分子、分母都不相同的分數的大小比擬，比擬這一類分數的大小時，一般可以利用分數的根本性質或倒數、差數、中間數、化成小數等方法進行比擬．例1將以下分數由小到大排成一列不等式：，，，.思維點撥比擬分數大小的一般方法是：先通分，使各分數的分母相同，再比擬分子的大小．但對于此題，分子的最小公倍數比擬容易求得，應通過分數的根本性質，使各分數的分例2A×1＝B×60%＝C÷70%＝D×＝E÷1，把A,B,C,D，E這5個數從小到大排列起來．思維點撥為了便于比擬，我們需要做兩件事：(1)把“÷〞統一為“×〞；(2)把百分數化為分數，并保持等式成立．這樣，原來題目中的條件就變形為：A×1＝B×＝C×＝D×＝E×，然后，我們設它們的運算結果為1，這樣可以分別求出A，B，C，D，E的值，然后就可以比擬大小了．例3比擬以下三個分數的大?。?,.思維點撥對于這三個分數，無論化分母為相同，還是化分子為相同都不太容易求解．這里可以先討論它們的倒數，倒數愈大，原分數反而愈小.例4有兩個分數：A＝，B＝，試比擬A和B的大小．思維點撥這兩個分數的分子和分母的位數都比擬多，用通分的方法比擬大小顯然不可?。屑氂^察這兩個分數，容易發(fā)現，這兩個分數都接近1，且分母都比分子大2，可以采取用標準數減原數，求差來比擬，用1減去這兩個分數，差的分子都是2，就容易比擬出兩個差的大?。?的差小那個數就大，和1的差大那個數就小，例5比擬與的大小．思維點撥根據此題兩個分數的數字特點，我們可以采用兩個分數比擬大小的規(guī)律進行比擬．一個真分數(a>b)的分子、分母分別同時加上同一個數，所得新分數大于原分數．寫成字母式為：假設a>b，那么>，其中a,b,c都為非零自然數．我們依據這一規(guī)律比擬這兩個分數的大小就容易多了．例6用A表示乘積：．問：A與0.003比，哪個大？思維點撥題目中所給的式子不容易化簡，要判斷它與0.003誰大誰小就比擬困難，我們應當想方法進行化簡．如果在式中添上，，，…這樣一些分數，那么經過約分，式子就簡單多了，●課內練習1．將以下分數由小到大排成一列：,,,.2．A×1＝B×90%＝C÷75%＝D×0.8＝E÷1.2把A,B,C,D,E這5個數從小到大排列起來．3．比擬以下三個分數的大?。?,.4．比擬和的大?。?．比擬和的大?。?．比擬與的大小.●課外作業(yè)1.將以下分數由小到大排成一列不等式：，，，，.2．有8個數，，，，，，是其中的6個．如果按從小到大的順序排列，第4個數是；如果按從大到小的順序排列，第4個數是多少？3．比擬三個分數的大小：，，．4．比擬和的大?。?．比擬和的大?。?．比擬與的大小．7．比擬和的大?。?．<<，□里可填哪些數字？9．比擬周長均為100厘米的正方形、長方形、圓的面積的大?。?0.有3個圓柱體，圓柱體I的底面圓半徑為3厘米，高為13厘米，圓柱體Ⅱ的底面圓半徑為4厘米，高為8厘米，圓柱體Ⅲ的底面圓半徑為6厘米，高為2厘米．請比擬它們的外表積和體積的大小．你知道嗎劉徽是我國魏晉期間杰出的數學家，中國古典數學理論的奠基者之一．他全面論述了?九章算術?所載的方法和公式，指出并糾正了其中的錯誤，在數學方法和數學理論上作出了杰出的奉獻．劉徽創(chuàng)造的運用極限思想證明圓面積公式及計算圓周率的公式，就是著名的“割圓術〞．用一個圓內接正多邊形去接近圓，邊數越多越接近圓，證明了圓面積的公式：故以半周乘半徑而為圓冪．劉徽從圓周率接正6邊形開始割圓，求出圓內接正96、正192邊形的面積，用已證明的圓面積公式．得到圓周率為，并計算了3072邊形的面積，驗證了這個公式．劉徽提出的計算圓周率的科學方法．奠定了此后一千多年中國圓周率計算在世界上的領先地位，祖沖之后來將圓周率的可靠數字推進到八位．劉徽還用無限分割的方法在解決錐體體積、球的體積上作出杰出奉獻．他還給出了“率〞.“冪“(面積)的定義,提出并開展了一些重要的數學思想，促進了數學的開展．第10講抽屜原理把4個蘋果放到3個抽屜里，雖然有好幾種不同的放法，但不管你怎么放，肯定有一個抽屜至少放進了2個蘋果．這種思考問題的方法，我們稱之為抽屜原理，抽屜原理可以這樣表述：把m個物體，任意放進行(n<m≤2n)個抽屜，那么其中一定有一只抽屜里至少有2個物體．運用抽屜原理可以解決許多有趣的數學問題，運用抽屜原理解題時，要從最不利的情況去考慮，所以抽屜原理也叫最不利原理，例1一個布袋里有紅色和黃色的襪子各20只．問：要拿出多少只襪子，才能保證其中至少有2雙不同顏色的襪子？思維點撥最不好的情況是拿同一種顏色的襪子，當某種顏色的20只襪子都拿出來后，第一種顏色的襪子已經有一雙了，這時我們只要再從布袋里拿出2只就能保證拿出2雙不同顏色的襪子了，例2某校六(2)班第一小組有13名同學，其中至少有幾名同學的生日是在同一個月？思維點撥一年有12個月，把這12個月看做12個抽屜，再把13名同學出生的月份放入這12個抽屜中.例3有大小相同的紅、黃、藍3種顏色的小球各20個，每人隨意拿出2個，至少有多少人才能保證他們當中一定有2個人所拿到的2個球的顏色是相同的？思維點撥2個小球的花色可以有2個紅色、2個黃色、2個藍色、1個紅色1個黃色、1個紅色1個藍色、1個黃色1個藍色共6種情況，把這6種情況看做6個抽屜，只要物體的個數比抽屜的個數多1個就可以有題目中所要的結果．例4把134本書分給六(3)班學生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個班最多有多少人？思維點撥這道題我們可以將它變變形式，因為是把書分給學生，所以學生是“抽屜〞，書是物體，此題可以變?yōu)椋?34個物體放入假設干個抽屜，無論怎樣放，至少有一個抽屜中放有4件物品，求最多有幾個抽屜，這是反著用抽屜原理，例5證明：任取7個自然數，必有兩個數的差是6的倍數，思維點撥在與整數有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數a，6，它們除以自然數m的余數相同，那么它們的差a－b是m的倍數．根據這個性質，此題只需證明這7個自然數中有2個自然數，它們除以6的余數相同，例6在邊長為1的正方形內任意放入九個點，求證存在三個點，以這三個點為頂點的三角形面積不超過.思維點撥正方形的邊長是1，那么面積也是1，把它平均分成4份，每份的面積為的小正方形(如圖)．●課內練習1．一個布袋里有紅色、黃色、黑色的襪子各30只，問：要拿出多少只襪子，才能保證其中至少有2雙不同顏色的襪子？2．某校2023年入學的一年級新生中，有145人是2023年出生的．這些新生中，至少有多少人是在2023年的同一個月出生的？3．幼兒園買來不少汽車、火車、飛機、輪船等兒童玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么至少幾個小朋友中才能保證有兩人選的玩具相同？4．有45名學生，老師至少要準備多少本書，隨意發(fā)給學生，才能使得至少有1名學生得到5本或5本以上的書？5．證明：任何5個自然數，必有兩個數的差是4的倍數．6．邊長為1的正方形內，任意給出13個點，求證：必有4個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形面積不超過．●課外作業(yè)1．一個布袋里有紅色、黃色、白色的乒乓球各40個，問：要拿出多少個乒乓球，才能保證拿出的乒乓球3種顏色都有？2．某校有61名學生是在6月份出生的，那么其中至少有幾名學生的生日是在同一天？3．商店有各種糖果18種，如果每人買1種或2種，至少有多少人購置，才能保證有2人購置的種類相同？4．在一副撲克牌中取牌，至少取多少張，才能保證其中必有3張牌的點數相同？5．對于任意5個自然數，證明其中一定有3個數，它們的和能被3整除．6．有一個面積為8的長方形，在這個長方形內任意加9個點，那么，其中必定有3個點所構成的三角形的面積不大于1，為什么？7．前進小學2023年入學的一年級新生中有133人是2023年出生的，試問：這些新生中至少有多少人是在同一個月出生的？8．把45個蘋果分給一群小朋友，如果其中至少有1個小朋友分到至少3個蘋果．這群小朋友最多有多少個人？9．口袋里有大小相同的紅色的球30個，黃色的球30個，白色的球30個，問：要拿出多少個球，才能保證其中至少有3個不同顏色的球？10.有大小相同的紅色、黃色、藍色、白色四種小球各20個，每人任意拿去2個，至少要多少人才能保證他們當中一定有2個人拿到的2個球的顏色是相同的？你知道嗎祖沖之(429～500)是中國南北朝時期杰出的數學家，在數學上的主要奉獻是關于圓周率的計算，他在劉徽割圓術的根底上算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到圓周率的真值在3.1415926和3.1415927之間．這兩個近似值已準確到，小數點后第7位，是當時世界上最先進的成就，直到15世紀，阿拉伯數學家卡西和16世紀法國數學家F．韋達才得到更精確的結果．祖沖之又創(chuàng)造新的方法，得到圓周率的兩個分數值，即約率和密率，這一工作使中國在圓周率計算方面比西方領先約一千年之久．祖沖之還和他兒子祖眶一起圓滿解決了球體積的計算，得到正確的球體積公式，并且提出后人所稱的“祖日恒原理〞，在天文歷法方面，祖沖之創(chuàng)制了?大明歷?，是中國古代歷法的重大進步．第11講解決問題的策略(1)(倒推法)有些應用題，如采用通常的方法，按照題目的條件一步一步地列式解答，既煩瑣又困難，這時我們可以從最后的結果出發(fā)，從后往前一步一步倒著來推算，這種解題的思路，稱為倒推法．例1一個數加上8，乘以8，減去8，除以8，結果仍是8，這個數是多少？思維點撥原來的步驟是加、乘、減、除得8，求原數，只要反過來，把8乘8加8除以8減8即可．例2有甲、乙兩堆小球，各有假設干個，按下面的要求移動小球：先從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放入乙堆，再從乙堆拿出和這時甲堆同樣多的小球放入甲堆．這時甲、乙兩堆的小球恰好都是40個，求最初甲、乙兩堆各有多少個小球．思維點撥從“最后甲、乙兩堆的小球都是40個〞出發(fā)倒推，甲堆所以有40個小球，是從乙堆拿出和甲堆同樣多的小球放入甲堆后才有的，未放前甲堆有40÷2＝20(個)，乙堆有40＋20＝60(個)．乙堆的60個小球是從甲堆里拿出和乙堆同樣多的小球放入乙堆后才有的，未拿前乙堆有60÷2＝30(個)，甲堆有30＋20＝50(個)．例3一位大媽賣西瓜，第一次賣了全部的一半又半個，第二次賣了余下的一半又半個，第三次賣了第二次余下的一半又半個，第四次賣了第三次余下的一半又半個，最后還剩下一個西瓜，問：這位大媽原來有多少個西瓜？思維點撥幫于最后剩下一個西瓜，所以第三次賣后剩下的西瓜個數為2×(1＋)＝3(個)．第二次賣后剩下的西瓜個數為2×(3＋)＝7(個)．第一次賣后剩下的西瓜個數為2×(7＋)＝15(個)．原來的西瓜個數為2×(15＋)＝31(個)．例4食堂運來一批大米，第一天吃了這批大米的，第二天吃了余下的，第三、第四天都吃了第二天余下的，第五天吃了余下的，這時還剩40千克，這批大米共有多少千克？思維點撥由于第五天吃了余下的后，還剩40千克，那么，第四天吃后(第五天吃之前)應有40÷(1－)＝80(千克)，第三天吃之前應有80÷(1－－)＝160(千克)，第二天吃之前應有160÷(1一)＝200(千克)，第一天吃之前應有200÷(1－)＝450(千克)．例5某人騎自行車從甲地趕往乙地，第一小時行了這條路的還多2千米，第二小時行了余下的少1千米，第三小時行了余下的還多1千米，這時距乙地還有20千米，求甲、乙兩地的距離．思維點撥第三小時行了余下的還多1千米，那么剩下的(20＋1)千米正好是第二小時余下的(1－)，即21÷＝28(千米)；第二小時行了余下的少1千米，那么剩下的(28－1)千米正好是第一小時行后余下的(1－)，應該余下27÷＝40(千米)；第一小時行這條路的還多2千米，那么應剩下(40＋2)千米，正好是全路的一半，由此便可以求得甲、乙兩地的距離了．例6甲、乙、丙三個油桶各有假設干千克油，第一次把甲桶的一局部油倒入乙、丙兩桶，使乙、丙兩桶內的油分別增加到原來的2倍；第二次從乙桶把油倒入丙、甲兩桶，使丙、甲兩桶內的油分別增加到第二次倒油之前桶內油的2倍；第三次從丙桶把油倒入甲、乙兩桶，使甲、乙兩桶內的油分別增加到第三次倒油之前桶內油的2倍，這樣，各桶的油都為40千克，求甲、乙、丙三個油桶原來各有油多少千克，思維點撥采用倒推法列表解答.●課內練習1．一個數加上6，乘以6，減去6，除以6，結果還是6，這個數是多少？2．有甲、乙兩堆乒乓球，各有假設干個，按下面的要求移動：先從甲堆拿出和乙堆同樣多的乒乓球放入乙堆；再從乙堆拿出和這時甲堆同樣多的乒乓球放入甲堆；再從甲堆拿出和這時乙堆同樣多的乒乓球放入乙堆；這時甲、乙兩堆恰好都是80個．求最初甲、乙兩堆各有多少個乒乓球．3．某人拿了一筐橘子到市場上去賣．第一位顧客嘗了一個后，買余下的；第二位顧客也嘗了一個后，再買余下的；第三位顧客再嘗了一個后，又買余下的，這時，筐里還剩8個，原來筐里有橘子多4．小華媽媽買來一筐橘子，小華家第一天吃了這筐橘子的，第二天吃了余下的，第三、第四天都吃了第二天余下的，第五天吃了余下的，第六天吃了余下的最后6個橘子，這筐橘子共有多少個？5．運輸隊運一批貨物，第一天運的比總數的多40噸，第二天運的比余下的少25噸，第三天運的比剩下的多30噸，這時還剩5噸．問：這批貨物有多少噸？6．甲、乙、丙三人各有假設干個蘋果，第一次甲先拿出一局部蘋果給乙和丙，使乙、丙兩人蘋果的個數分別增加到原來的2倍；第二次乙拿出一局部蘋果給丙、甲，使丙和甲蘋果的個數分別增加到原來的2倍；第三次丙拿出一局部蘋果給甲、乙，使甲、乙兩人蘋果的個數分別增加到原來的2倍，這樣，甲、乙、丙三人蘋果的個數恰好都是16個．問：甲、乙、丙原來各有蘋果多少個？●課外作業(yè)1．如果10＋9－8×7÷□＋6－5×4＝3，那么□中所表示的數是幾？2．有甲、乙、丙三個數，從甲數取出25加到乙數，從乙數取出28加到丙數，從丙數取出20加到甲數，這時三個數都是200，原來三個數各是多少？3．三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了這堆桃的一半少1個，第二只猴子又拿了余下桃子的一半多1個，小猴子分得余下的8個桃，桃子就被全局部完了．問：這堆桃子共多少個？4．小紅5天做完老師布置的作業(yè)，第一天做完全部習題的，第二天做完余下的，第三天做完余下的，第四天做完余下的，第五天做了6道題，這樣全都做完．問：老師共布置了多少道題？5．學校將一批糖果發(fā)給甲、乙、丙、丁四個班．先將全部糖果的再減去千克給甲班，再把余下的加上千克給乙班，又把余下的一半給丙班，最后把剩余的一半加上千克給丁班，這時學校還剩5千克．這批糖果有多少千克？6．甲、乙、丙三人各有郵票假設干枚，甲先拿出自己所有郵票的一半平分贈送給乙、丙，然后乙也拿出現有郵票的一半平分贈送給丙、甲，最后丙也拿出現有郵票的一半平分贈送給甲、乙，這時三人的郵票張數恰好相等，那么三人至少共有郵票多少枚？7．食堂有煤假設干噸，第一次用了存煤的一半，第二次用了450噸，第三次又用了剩下煤的一半又50噸，結果還剩下600噸．食堂原有煤多少噸？8．甲、乙、丙三人分一些蘋果．甲分得全部的又8個，乙分到甲分完后剩下的又8個，丙分到甲、乙兩人分后剩下的又8個，正好分完．原來一共有蘋果多少個？9．工地運來一批水泥，第一次用去一半又半噸，第二次用去余下的一半又半噸，第三次用去最后剩下的一半又半噸，正好用完，這批水泥一共有多少噸？10.修一條路，第一天修了這條路的還多2千米，第二天修余下的少1千米，第三天修余下的還多1千米，這樣還剩下20千米沒有修完，求這條路的長度．你知道嗎中國古代數學有著光芒繁榮的歷史，公元960年北宋王朝建立后，結束了五代十國割據的局面，農業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術得到廣泛應用．從11～14世紀的300年間出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲(11世紀中期)的?黃帝九章算法細草?，劉益(12世紀中期)的?議古根源?，秦九韶的?數學九章?(1247)，李冶的?測圓海鏡?(1248)和?益古渲段?(1259)．楊輝的?詳解九章算法?(1261)、?日用算法?(1262)和?楊輝算法?(1274～1275)，牛世杰的?算法啟蒙?(1299)和?四元玉鑒?(1303)等，很多領域到達古代數學的頂峰，其中一些成就也是當時世界數學的頂峰．中國的數學體系在宗無時期到達頂峰以后陷于停頓，且?guī)字料В跉W洲，經過文藝復興、宗教革命、資產階級革命等一系列的變革，導致了工業(yè)革命與技術革命，科學研究得到快速開展，數學上誕生了解析幾何和微積分，成為數學開展的一個轉折點．第12講解決問題的策略(2)(假設法)應用題千變萬化，解答方法也多種多樣，這一講我們將向同學們介紹用假設法解應用題的方法．所謂假設法，就是根據題目中的條件或結論作出某種假設，可以假設某兩種量是同一種量，也可以假設某種情況沒有發(fā)生，從而使問題得以順利解決．例1有一個飼養(yǎng)小組，養(yǎng)了假設干只雞和兔，共有39個頭和106只腳．問：這個飼養(yǎng)小組雞和兔各有多少只？思維點撥我們假設39只全部是雞，那么39只雞共有39×2－78(只)腳，而題目共有106只腳，這說明假設的結論比題目中的條件減少了106－78＝28(只)腳，原因是把兔當成了雞，而一只雞比一只兔少2只腳，所以由28只腳就可以求出兔的只數．例2雞、兔同籠，雞比兔多20只，共有腳226只．問：雞和兔各有多少只？思維點撥假設雞和兔同樣多，那么雞應減少20只，這時腳的總數應減少20×2＝40(只)，還剩226－40＝186(只)．由于1只雞和1只兔共有2＋4＝6(只)腳，可求出兔的只數186÷6＝31(只)，這樣雞就有31＋20＝51(只)．例3文具店里的鉛筆是鋼筆的2倍，每天賣出鋼筆15支，鉛筆20支，假設干天后，鋼筆賣完，鉛筆還有80支，文具店里原有鋼筆和鉛筆各多少支？思維點撥假設每天賣出的鉛筆支數是鋼筆的2倍(15×2＝30(支))，那么同時賣完，實際每天鉛筆賣出20支，這樣每天可剩下30－20＝10(支)鉛筆，可算出賣的天數80÷10＝8(天)，從而可以解題．例4一項工程，甲獨做需要20天完成，乙獨做需要15天完成，假設甲先做假設干天后由乙接著做，共用18天完成，問：甲做了多少天？思維點撥假設這18天全由乙來做，那么將超出工作總量×18－1＝，這是因為其中有甲做的，把乙做一天換成甲做一天，工作量就減少了－＝，里有多少個，甲就工作了多少天．例5某校六年級有學生210人，男生的和女生的參加了興趣小組，參加興