橢圓與拋物線

北京四中高數(shù)高綜復(fù)專二一一知網(wǎng)

橢與曲二高考1.橢圓與曲線的定、標準方程與幾何性質(zhì)；2.有關(guān)圓曲線的軌（或軌跡方程）的探求；3.直線與錐曲線的題：對稱問題；最值問題；范圍問題等；4.圓錐曲的探索性題或應(yīng)用問題；5.以圓錐線為主要容的綜合問題；6.數(shù)形結(jié)、等價轉(zhuǎn)、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)學(xué)科能力一般思維力等基本能力。三知要(一橢圓

Ⅰ定義推論1定義的認知設(shè)M為橢圓上任一點，

分別為橢圓焦點，

分別為橢圓軸端點，有（）明朗的量關(guān)系：（解決焦點半徑題的首選式）（）隱蔽的等關(guān)系：，（尋求某些本量取值圍時建立等式的基本依據(jù)）2定義的論根據(jù)橢圓第定義

為橢圓

上任意一點

分別為橢圓左右焦點，有：（為點M到準線l的距離）1（為點M到準線l的距離）22由此導(dǎo)出橢的焦點半公式：Ⅱ標準程與幾何性質(zhì)1橢圓標準方程中心在原點焦點在x軸的橢圓標方程①中心在原點焦點在上的橢標準方程②（）標準方①、②中的a、b、c具有相的意義相同的聯(lián)：（）標準方①、②統(tǒng)一形式：2橢圓

的幾何性質(zhì)

（）范圍：（界曲線）（）對稱性關(guān)于x、y軸及原點對稱兩軸一中心，橢圓的共性）（）頂點與軸長頂點予a、b名稱與幾意義）

，長軸2a，短軸2b由此賦（）離心率（）準線：左焦右焦點

刻畫橢圓的平程度對應(yīng)的左準對應(yīng)的右準橢圓共性：準線垂直長軸；兩線之間的距離為；中心到準線距離為

；焦點到相準線的距為

.Ⅲ挖掘引申1具特聯(lián)系的橢圓方程（）共焦距橢圓的方程且（）同離心的橢圓的方程且2弦長式：設(shè)斜率為k的線l與圓交于不同兩點，

ii則；或。（二）雙曲Ⅰ、定義與論1定義的知設(shè)M為雙曲線上意一點，點，則有：

分別為雙曲兩焦點，

分別為雙曲實軸端（）明朗的量關(guān)系：（）隱蔽的等關(guān)系：

（解決雙焦半徑問題首選公式，（尋求某些本量的取范圍時建不等式的依據(jù)）2定義的論設(shè)為雙曲線右焦點，則，其中，推論：焦點徑公式當(dāng)點M在曲線右支時，當(dāng)點M在曲線左支時，

為焦點

上任意上點到相應(yīng)準線l的距離；。

分別為雙曲左、Ⅱ、標準方與幾何性3雙曲的標準方程中心在原點焦點在x軸的雙曲線準方程為①中心在原點焦點在上的雙線標準方程為（）標準方①、②中的a、b、c具有相的意義相同的聯(lián)：

②

（）標準方①、②的統(tǒng)一形式：或：（）橢圓與曲線標準方程的統(tǒng)一形式：4雙曲

的幾何性質(zhì)（）范圍：（）對稱性關(guān)于x、y軸及原點對稱兩軸一中心）（）頂點與長：頂點（由此賦予a,b名稱與幾何義）（）離心率（）準線：左焦

對應(yīng)的左準；右點

對應(yīng)的右準雙曲線共性準線垂直實軸；兩準線距離為；中心到準線距離為；焦到相應(yīng)準線的距離為（）漸近線雙曲線

的漸近線方：

22Ⅲ、挖掘與伸1具有殊聯(lián)系的雙線的方程對于雙曲線（※（）當(dāng)μ為值時）為焦點的雙曲線（系）方：c=λ+μ（

為定值時離心率亦為共近線的雙曲系程：；（）以直線

為漸近線的曲線（系方程為：特別與雙曲線（左邊相同區(qū)別僅在右邊的常）2弦長式設(shè)斜率為k的線l與曲線交于不同兩點則經(jīng)例1、

共漸近線的曲線的方為：（橢

的一個焦點等于。（）已知橢

的焦點為F、，P其上的動點，當(dāng)1

為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為。分析：

（1從此橢的標準方程切入。由題設(shè)知已得：這里由此解得（）這里b=2,∴以線段為直徑圓的方程1設(shè)又由∴

，則由點在圓上得：為鈍角得：②

①∴由①②聯(lián)立，解得：∴所求P橫坐標的值范圍為點評：注意點P對

的大小的影可用點與

相對位置關(guān)來反映，故選擇一解法。然，本題可由較。

推出

的范圍，請學(xué)們嘗試比2已知

為橢圓的兩焦點，過

的直線交橢于P、兩，

且，求橢圓的心率。分析：不防橢圓方程，

為等腰直角角形，注到這一三角含有點P處的兩條焦點徑，故想利用橢圓一定義構(gòu)建有關(guān)方程。

解：設(shè)橢圓程為設(shè)，則又由橢圓第定義得∴的周長為∴即注意到為，∴

為等腰

得：

①∴即

②②因此，①代②′得由此解得∴點評：這里條件運用頗為分：兩次運橢圓定義第一次用導(dǎo)出①，第二項用于導(dǎo)出②；兩次用

條件：第一利用

為等腰

表示出，第次利用

為

導(dǎo)出②充分利用設(shè)條件，是解題成的保障之一。3、知雙曲線

的左、右兩焦點為

，P為雙曲線上點，又，

成等比數(shù)列

，求雙曲線程。分析：這里求b的值。注意的方程或不式。由題得

，為了求，首先需從題設(shè)條件手尋找關(guān)b，為便于將設(shè)為關(guān)于b的方程，考推導(dǎo)并利

用雙曲線的點半徑公。因此，題便以判定點P置拉開序。解：這里∵，即

（的殊性），∴點P在雙曲線右上設(shè)點，則由雙線第二定以及點P在雙曲右支上①又由題設(shè)得∴①代②得

②③再注意到由

得∴∴

，即

④于是③、④

⑤而

，所以由⑤因此，所求曲線方程：點評：這里已知條件

的兩次運用第一“粗用利用4=2a的特殊判定點P在雙曲線右上；第二細用，用

（將4作為一正數(shù)）導(dǎo)出點橫坐標在的范圍：。粗細結(jié)合將已知條運用得酣暢淋漓。4、橢圓

的焦點為為橢上一點，

的最大

值為。（）求橢圓離心率；（）設(shè)直線l與橢交于M、兩點，且直l與圓心在點，半徑等于的圓相切，知線段長度最大值為4，求圓方程和直l的方。分析：

中

的最大值為

的最小值為，著特殊與一般相互存的辯證系，想到在入。解：

中運用余弦理推導(dǎo)

的最小值切（）設(shè)

，

，

，則在

中由余弦定得即

①∴

的最小值為又由題設(shè)知∴

的最大值，

的最小值為∴

即

∴（）由已知圓方程為由題設(shè)知直l不垂直于x軸設(shè)直線l的方程為設(shè)則由直線l與圓將③代入②：

相切得：

②③④∴④代⑤得∴直線l與圓相交于同兩點又由韋達定得：∴

⑤，⑥（當(dāng)且當(dāng)

，即

時等號成立∴

的最大值為2b當(dāng)

時取得）∴由題得（此時）⑦

∴a=2b=4

⑧進而由④得，即⑨因此，由⑦⑧、⑨得求橢圓方為

，直線l的程為

或點評里導(dǎo)出①式為此問題的共基礎(chǔ)設(shè)為橢

上任意一點，，則

最小值為據(jù)此若

的最大值為，（即若若

的最大值為，（即的最大值為，（即5已斜率為1的直線l與離心率兩點，又直l與y軸交于，且

的雙曲線，

交于PQ，求直線和曲線方程分析主要已知件借助向表出故主問題是認知已知條件進而根據(jù)題的具體況進行推理或化。解：由

得，∴雙曲方程為設(shè)將②代入①對于方程③

①，直線l的方程為②③恒成立

由韋達定理

④⑤∵∴即由此得又由題設(shè)得，故得⑥∴由④⑥聯(lián)立解得將⑦代入⑤

⑦⑧再注意到

得⑨∴將⑦⑧代入⑨得解得，∴因此，由①②得所求曲線方程

，

⑩所求直線方為點評：（Ⅰ）關(guān)于類直線與錐曲線相的問題，對于交點坐標的處置適當(dāng)否，成為題繁簡成敗的關(guān)鍵于是，圍著對交點標的解與設(shè)”的應(yīng)選擇，產(chǎn)生出解題策略解而不設(shè)設(shè)而不解；既設(shè)又”與不設(shè)解。在這里，我們對交點P的坐標用的是既設(shè)又解，

請同學(xué)們注品悟這里解”的分的把握。（Ⅱ）這里題的層次明，已知一轉(zhuǎn)化一代入一結(jié)論：已知式（已知式（

）→轉(zhuǎn)化→代入→結(jié)論⑧）→轉(zhuǎn)化→代→結(jié)論⑩同學(xué)們應(yīng)注學(xué)習(xí)與追這種解題明晰與漂亮。6、知，（）求點（，）的軌跡的軌跡程；（直線試求m的取值圍。

與曲線C于A點，分析：對于（1已知條件入，利用向的坐標表進行推理；對（2類關(guān)直線與圓曲線相交的比較復(fù)雜的問題要刻意基本的弦點或弦長問題轉(zhuǎn)化。解：（）由已知

，∴由

得，得∴所求P的軌跡C方程為

①（）設(shè)則將l的程代入①

，弦AB的中點

，②由題意得③

且④∴即中點M的坐為注意到點D在弦AB的垂平分線上∴∴于是將⑤代③得此時再注意由⑤得

（，且，且

））⑤或⑥⑦（關(guān)于k二次數(shù)隱含范圍發(fā)掘）于是由⑥、所求的值范圍點評：（）認知已知條，這時其向基本的長或弦中問題轉(zhuǎn)化這是解決線與圓錐曲復(fù)雜問題基本策略一；（）注意在求參數(shù)的取值范圍的過程中，對所用的二次數(shù)等有關(guān)數(shù)的值域的發(fā)掘與運用：在里，

為k的二次函數(shù)又由這里，故。此

可解關(guān)于k的次函數(shù)的值范圍知這一些，會導(dǎo)出五高真：（）擇

。這是本題出正確結(jié)的最后的障，不認的錯誤結(jié)果1.橢圓交點為，

的兩個焦點（）

，過

作垂直于x軸的直與橢圓相，一個A.B.D.4分析：由已不防設(shè)點在x正方，則

代入橢圓方得，故點，從而，故選。2.點在橢圓（的準線上點P且方向為光線經(jīng)過直y=-2反后通過圓的左焦，則這個橢圓的離心率為（）

的A.B.C.D.分析：運用射光線與射光線的理性質(zhì)，刻意運用入射光線與反射線的性質(zhì)聯(lián)系。點P，1）關(guān)于線的對稱為左焦點又方向為

的直線的斜為，設(shè)入射光線直線y=-2的交點M則由入光線與反光線傾斜角之間的關(guān)系得

∴∴，解得：c=1.再由點，）在左準上得，∴，應(yīng)選A。動點（x，）在曲線（）上變化，則

的最大值為

）A.

B.C.

D.分析：注意曲線方程次方程，考慮向二次函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化。由

得①設(shè)，則又由①中

②得，且②的稱軸為（）當(dāng)，（）當(dāng)，

時，；時，，于是由（知應(yīng)A。

4.設(shè)直線

關(guān)于原點對的直線為，若

與橢圓的交點為ABP為橢圓上動點則使的點的個為（）A.1B.2C.3D.4

的面積為分析：

的方程為

，且易知

的下方有兩滿足題設(shè)件的點。以下考察直

上方是否存滿足題設(shè)點設(shè)在

上方且與橢相切于點的直線

的方程為

，將它與橢圓程聯(lián)立，去y得由△：，取∴

與

之間的距離∴，∴直線

上方不存在足題設(shè)的P

②于是由①，知應(yīng)選B點評：運用形結(jié)合的法，解題程變得簡捷。5.已知雙線

的右焦點為F右準線與條漸近線于點A，的面積為（O為點兩漸近線的夾為（）A.30°B.45°C.60°D.分析：首先眼于尋找，b的聯(lián)系由題設(shè)知Fc，0準線方程為，并且取

點，則

，∴a=b，∴雙曲線為軸雙曲線兩漸近線角為∴應(yīng)選。6.已知雙線直線的距離為（）

的焦點為M在曲線上

軸

到A.B.C.D.分析：立足計算與推，由已知：∴∴∴

軸，∴，入橢圓方得，即當(dāng)點

到直線

的距離為h則由得，∴應(yīng)選C。點評：這里段

為半正焦弦故，利用它更方便。7.已知雙線

的焦點為，M在雙曲上且，則

M到x軸的距為（）A.B.C.分析：由已得

，，∴

①∵

，∴∴∴由①，②

②∴設(shè)所求距離h于是由

得，選。已知

是雙曲線

的兩個焦點以線段

為邊作正，若邊

的中點在雙線上，則曲線的離率為（）A.C.D.分析：從認

的特性切入尋找關(guān)于a，c的等式或方程∵

為正三角形∴點M在y上設(shè)邊

的中點為P連結(jié)

，得，∵∴

，，①又由題設(shè)知P雙曲線左上，

∴∴①代②得

②∴（）空

，應(yīng)選D。1.若雙曲的漸近線程為。

，它的一個點是，雙曲線方程為分析：由題得：∴由

，得，∴∴所求曲線方程為2.設(shè)雙曲兩點，如

為

的右焦點為右準線l與兩條近線交于，則雙曲線離心率為。分析：設(shè)右線l與x軸于點，則，又由此解得，故得3.過雙曲

的左焦點且直于x軸的直線與曲線交于M兩點，以為直的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離率等于。

分析：設(shè)左點為

，右頂點為A，則由題意得注意到為雙曲線的焦弦，故∴由（）得

（※）由此解得。4.以下四關(guān)于圓錐線的命題中①設(shè)A、B是個定點，k為零常數(shù)，，則動P的軌道雙曲線；②過定圓上的一點A作圓的動O為坐標點若點P的軌跡為橢圓；

則動③方程

的兩根可分作為橢圓雙曲線的心率；④雙曲線

與橢圓

有相同的焦。其中真命題序號為（出所有真命題的序號分析：對各題依次辯，由雙曲定義知，①中點軌是雙曲線一支；對于②，點P軌跡是橢圓除去點A的曲線；于③，方兩根分別離心率；對④，可知真命題，上可知應(yīng)填③、④。（）答

和2，可分作為橢圓和雙曲線的1.如圖，A、分別橢圓在橢圓上，位于x軸上方

長軸的左、端點，點為橢圓右焦，點P（）求點坐標（）設(shè)M是橢圓長軸AB上一點，到直線的距離等，求橢圓上點到點M

的距離d的最小。分析：從設(shè)坐切入，解題用向量垂的充要條件列方程以解出點P坐標。解：（）這里

，

，∴設(shè)點

，，

，則

，∴由

得又點在橢圓∴∴將①②聯(lián)立，消去y得或

①②注意到y(tǒng)>0故，從而∴點P坐標為（）由（1）知，線的程為設(shè)，則M到線的距離為，∴由已得又又設(shè)橢圓上

，解得，即到點M的距離d，則

∵

，∴當(dāng)

時，d取得最小值點評：將

轉(zhuǎn)化為，從而使題辟出另一途徑。。圖，已橢圓中心原點，焦軸的交點為M，（）求橢圓程；

在x軸，長軸

的長為，左準線l與x（）若直線的坐標（m表示）分析：（）以設(shè)橢標準方程切入；（從設(shè)P坐標入易知解：（）設(shè)橢圓程為：，則，

，P為

上的動點，為銳角或零故從求

最大的點P記為Q求點的最大值突?！嘤深}意得，解得，，c=1∴所求圓方程為（）設(shè)；

（Ⅰ）當(dāng)（Ⅱ）當(dāng)∴

時，；時，為銳角

，∴只需出由題意，直

的最大值的斜率，直線∴

的斜率當(dāng)且僅當(dāng)

即

時等號成立∴

的最大值為（當(dāng)且僅

時取得）注意到正切數(shù)在∴當(dāng)且當(dāng)此時點坐標為點評：欲求

內(nèi)為增函數(shù)時，的最大值，

取得最大值為銳角時，轉(zhuǎn)化為求

的最大值。因此，欲求這一轉(zhuǎn)化是適當(dāng)。

的最大值，進入實質(zhì)計算之前要首先考察

的范圍，以定已知圓

的左、右焦分別為，離心率e直線

與x軸、y軸分別交于A、，M是直l與橢圓C一個公共點，是點

關(guān)于直線l對稱點設(shè)的值，使得（）證明：；（）確定

。

是等腰三角。分析：（）從得出A、B、的坐標切入，用兩向量等的充要條件求解；（）由題設(shè)，l為段

的垂直平分，利用這特性來判

的特殊性或然性，

為鈍角（可圖形受到發(fā)故只有

一種情況。這一等式手并將其演為關(guān)于e的程，則解題便勝利在望了。解：（）證：由設(shè)易得，由

解得∴點M坐標為∴，∴由

得故得由此解得（）解：由設(shè)知，直線l為線段

的垂直平分。

∴由∴

知為等腰三角必有

為鈍角即