2021高三數(shù)學(xué)第8章 第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）課時(shí)作業(yè)：第8章第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)含解析課時(shí)作業(yè)1．若α,β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若α⊥β，m?α，則m與β平行、相交或m?β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β,m?α,則α⊥β,必要性成立，故選B。2．（2019·重慶模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β,m?α，n?β,則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β答案D解析若α⊥β,m?α,n?β,則m與n可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；若α∥β，m?α，n?β,則m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤;若m⊥n，m?α，n?β,則α與β可能相交,也可能平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由m⊥α,m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D正確．故選D。3．(2020·煙臺(tái)摸底）已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β,給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l,則α⊥β；④若m∥l,則α⊥β。其中是真命題的是(）A．①④ B．③④C．①② D．①③答案A解析對(duì)于①，若α∥β,m⊥α，l?β,則m⊥l，故①是真命題，排除B；對(duì)于④，若m∥l，m⊥α,則l⊥α，又因?yàn)閘?β,所以α⊥β.故④是真命題．故選A.4．（2019·襄陽(yáng)模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M,N分別是BC1，CD1的中點(diǎn),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行答案D解析如圖所示，連接C1D，因?yàn)镸,N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，所以MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正確;又因?yàn)锳C⊥BD，所以MN⊥AC,B正確；又因?yàn)锳1B1∥AB，AB與BD相交，所以MN與A1B1不平行,故

5．(2020·福建質(zhì)量檢查)如圖，AB是圓O的直徑，VA垂直圓O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)A．MN∥ABB．MN與BC所成的角為45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案D解析依題意，得MN∥AC，又因?yàn)橹本€AC與AB相交，因此MN與AB不平行，A錯(cuò)誤；因?yàn)锳B是圓O的直徑,所以AC⊥BC，因此MN與BC所成的角是90°,B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€OC與AC不垂直，因此OC與平面VAC不垂直,C錯(cuò)誤；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC,D正確．故選D.6．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起得到空間四面體ABCD(如圖2）,則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(）A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直答案C解析因?yàn)樵陬}圖1中，AD是等腰直角三角形ABC斜邊BC上的中線，所以AD⊥BC.在題圖2的四面體ABCD中,AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC。又AD與BC是異面直線,所以AD與BC的位置關(guān)系是異面且垂直．7．在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是(）答案A解析A中,CD⊥AB;B中,AB與CD成60°角；C中，AB與CD成45°角；D中,AB與CD夾角的正切值為eq\r（2）.故選A。8．如圖,在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°,∠BAD＝90°。將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD,則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是（）A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,所以BD⊥CD，又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD,所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又因?yàn)锳D⊥AB,AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，即平面ABC⊥平面ADC,故選D.9．(2019·成都診斷)如圖，正四棱錐P－ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn),則直線BE與平面PAC所成的角為(）A．60° B．30°C．45° D．90°答案A解析如圖，正四棱錐P－ABCD中，根據(jù)底面積為6，得BC＝eq\r(6）。連接BD，設(shè)交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO為正四棱錐P－ABCD的高,根據(jù)其體積為2可得,PO＝1。因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又因?yàn)锽D⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC。連接EO，則∠BEO為直線BE與平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因?yàn)镻O＝1，OA＝eq\r(3）,所以PA＝2，OE＝eq\f(1，2）PA＝1，在Rt△BOE中，因?yàn)锽O＝eq\r（3），所以tan∠BEO＝eq\f(BO，OE)＝eq\r(3)，所以∠BEO＝60°.故選A.10．（2020·平頂山摸底）如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4,E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,給出下列四個(gè)結(jié)論:①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，則上述結(jié)論可能正確的是()A．①③ B．②③C．②④ D．③④答案B解析對(duì)于①，因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直,則①不成立；對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，所以②正確;對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)D在平面BCF上的射影P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確;對(duì)于④,因?yàn)辄c(diǎn)D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．11．（2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題:________。答案②③?①(或①③?②）解析②③?①。證明如下：∵m∥α,∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n?α，使得m∥n.又l⊥α，∴l(xiāng)⊥n，∴l(xiāng)⊥m。①③?②.證明如下：∵l⊥m，l⊥α，m是平面α外的直線,∴m∥α.12．(2019·西安模擬）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD。答案BM⊥PC（或DM⊥PC）解析∵△PAB≌△PAD,∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，當(dāng)BM⊥PC時(shí),有DM⊥PC，此時(shí)PC⊥平面MBD,∴平面MBD⊥平面PCD。故填BM⊥PC（或DM⊥PC)．13．（2019·泉州模擬)點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1。其中正確的命題序號(hào)是________．答案①②④解析VA－D1PC＝VP－AD1C,點(diǎn)P到平面AD1C的距離即為BC1與平面AD1C的距離，為定值，故①正確；因?yàn)槠矫鍭1C1B∥平面ACD1，所以A1P∥平面ACD1,故②正確；由于當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí)，DB不垂直于BC1，即DP不垂直于BC1,故③錯(cuò)誤;由于B1D⊥平面ACD1，所以平面PDB1⊥平面ACD14．（2019·四川綿陽(yáng)模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點(diǎn)，以AE為折痕將△DAE向上折起，D變?yōu)镈′，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1）求證：AD′⊥EB；（2)求點(diǎn)E到平面ABD′的距離．解（1）證明：∵AE＝BE＝2eq\r（2）,AB＝4，∴AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥EB。取AE的中點(diǎn)為M，連接MD′,∵AD′＝D′E＝2，∴MD′⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，MD′?平面D′AE，平面D′AE∩平面ABCE＝AE,∴MD′⊥平面ABCE，∴MD′⊥EB,又AE∩D′M＝M，∴EB⊥平面AD′E，∴AD′⊥EB.(2）由(1）知MD′⊥平面ABCE,且MD′＝eq\r（2），S△AEB＝4，易知BM＝eq\r(10），BD′＝2eq\r(3）,AD′＝2，AB＝4，S△ABD′＝2eq\r（3）.設(shè)點(diǎn)E到平面ABD′的距離為d，由VE－ABD′＝VD′－ABE，得eq\f（1,3）×2eq\r(3)d＝eq\f(1,3)×4×eq\r(2），∴d＝eq\f（2\r（6），3)。15．(2018·全國(guó)卷Ⅱ）如圖,在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2），PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．（1)證明:PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離．解(1)證明：因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3）。連接OB,因?yàn)锳B＝BC＝eq\f（\r（2)，2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1，2）AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB。由OP⊥OB,OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC。(2）作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH,又因?yàn)镺P∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2,CM＝eq\f（2，3）BC＝eq\f（4\r(2），3)，∠ACB＝45°。在△OCM中根據(jù)余弦定理可求得OM＝eq\f(2\r(5），3),所以CH＝eq\f（OC·MC·sin∠ACB,OM）＝eq\f(4\r（5）,5).所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f（4\r（5)，5).16．（2018·全國(guó)卷Ⅲ）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧Ceq\x\to（D）所在平面垂直，M是Ceq\x\to（D）上異于C，D的點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．解（1）證明:由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因?yàn)镸為Ceq\x\to(D）上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM。又因?yàn)锽C∩CM＝C,所以DM⊥平面BMC。而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD.證明如下：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OP。因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),所以MC∥OP.又因?yàn)镸C?平面PBD,OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.17．（2019·河北省級(jí)示范性高中聯(lián)考）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面ABC，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝eq\r(3)，AA1＝AB＝2AD＝2.（1）證明：平面ADB1⊥平面BB1C(2）若BD＝CD，試問(wèn)：A1C是否與平面ADB1平行？若平行，求三棱錐A－A1B1D解（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因?yàn)锳D?平面ABC，所以AD⊥BB1.在△ABD中，因?yàn)锳B＝2，AD＝1，BD＝eq\r（3），所以AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BC，又因?yàn)锽C∩BB1＝B,所以AD⊥平面BB1C因?yàn)锳D?平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面BB1C(2）A1C與平面ADB1平行證明如下：取B1C1的中點(diǎn)E，連接DE,CE，A1E因?yàn)锽D＝CD，所以DE∥AA1,且DE＝AA1，所以四邊形ADEA1為平行四邊形，則A1E∥AD.同理可證CE∥B1D。因?yàn)锳1E∩CE＝E，