2021高三數(shù)學(xué)教師用書：第2章 第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）教師用書：第2章第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)含解析第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)整合1．冪函數(shù)(1)定義:形如eq\o(□,\s\up1(01）)y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．常見的五類冪函數(shù)為y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up4（\f（1，2）)，y＝x－1。（2）常見的5種冪函數(shù)的圖象（3)性質(zhì)①冪函數(shù)在（0,＋∞)上都有定義．②當(dāng)α〉0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)（1,1)和(0,0），且在（0,＋∞）上單調(diào)遞增．③當(dāng)α〈0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1），且在（0，＋∞)上單調(diào)遞減．2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f（x)＝ax2＋bx＋c（a>0）f(x）＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞,＋∞）(－∞，＋∞)值域eq\o（□，\s\up1(02））eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a）,＋∞）)eq\o(□，\s\up1（03)）eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a）))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\o(□，\s\up1（04）)eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞）)上單調(diào)遞增在x∈eq\o(□,\s\up1（05）)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（b，2a))）上單調(diào)遞增;在x∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a），＋∞）)上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b，2a)對稱1．冪函數(shù)圖象特征（1）在(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸（簡記為“指大圖低”);(2）在(1，＋∞）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．2．二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）．(2）頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m）2＋n（a≠0）．（3）兩根式:f（x）＝a（x－x1)(x－x2）（a≠0）．3．一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0且Δ〈0"．（2）“ax2＋bx＋c<0(a≠0）恒成立"的充要條件是“a〈0且Δ<0”．4．二次函數(shù)的對稱軸二次函數(shù)y＝f（x）對定義域內(nèi)的所有x,都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱（a為常數(shù))．5．設(shè)f(x）＝ax2＋bx＋c（a>0)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間[m，n]上的最大、最小值的分布情況(1）若－eq\f(b,2a)∈［m，n],則f(x）max＝max｛f(m），f(n)｝，f（x）min＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a）)）.(2)若－eq\f(b，2a)?[m，n]，則f(x)max＝max{f（m),f（n)｝，f（x）min＝min｛f（m)，f（n)}．另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí),自變量的取值離對稱軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來,當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí),自變量的取值離對稱軸越遠(yuǎn),則對應(yīng)的函數(shù)值越?。?．已知冪函數(shù)f（x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f（\r（2），2））),則f(x)為（）A．偶函數(shù) B．奇函數(shù)C．定義域內(nèi)的增函數(shù) D．定義域內(nèi)的減函數(shù)答案D解析設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，∵其圖象過點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(\r（2)，2)）)，∴2α＝eq\f(\r（2），2)＝2－eq\s\up4（\f(1，2)），解得α＝－eq\f(1,2），∴f（x）＝x－eq\s\up4(\f(1,2）），∴f（x）在(0，＋∞）上為減函數(shù)．故選D．2．若函數(shù)y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則t的取值范圍是（）A．t≤1 B．t≥1C．t≤－1 D．t≥－1答案A解析∵函數(shù)y＝x2－2tx＋3的圖象關(guān)于直線x＝t對稱,且開口向上，∴t≤1。3．（2019·河南安陽模擬）已知函數(shù)f(x）＝－x2＋4x＋a，x∈［0,1]，若f（x）有最小值－2，則f(x）的最大值為()A．1 B．0C．－1 D．2答案A解析∵f（x）＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，當(dāng)x＝1時(shí)，f（x)取得最大值,∴f(0)＝a＝－2，f（1)＝3＋a＝3－2＝1，故選A．4．函數(shù)g(x)＝x2－2x(x∈［0,3]）的值域是________。答案[－1,3］解析∵g（x）＝（x－1)2－1，∴g（x)min＝g（1）＝－1,g（x）max＝g(3)＝3?！嗨笾涤?yàn)椋郏?,3]．5．已知α∈eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f（1,2），\f(1，2）,1，2，3））.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù),且在（0，＋∞）上遞減,則α＝________。答案－1解析∵冪函數(shù)f（x)＝xα為奇函數(shù)，∴α可取－1,1,3，又f(x）＝xα在(0,＋∞)上遞減，∴α<0，故α＝－1。6．若關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈（0,1］恒成立，則m的取值范圍為________。答案(－∞,－3]解析只需要在x∈（0，1]時(shí)，(x2－4x）min≥m即可．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2－4x在(0,1]上為減函數(shù),所以當(dāng)x＝1時(shí)，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3。核心考向突破考向一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（1）（2019·九江模擬)冪函數(shù)f（x)＝（m2－4m＋4）xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù),則m的值為（)A．1或3 B．1C．3 D．2答案B解析由題意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－4m＋4＝1，,m2－6m＋8>0，）)解得m＝1.故選B．（2)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b,c,d的大小關(guān)系是(）A．d>c>b〉aB．a(chǎn)〉b>c〉dC．d〉c>a〉bD．a(chǎn)〉b>d>c答案B解析由冪函數(shù)的圖象可知在（0，1）上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸,由題圖知a>b>c〉d，故選B．冪函數(shù)的圖象特征INCLUDEPICF”(1）對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分的區(qū)域．根據(jù)α〈0,0<α〈1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．INCLUDEPICTF”（2）在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．[即時(shí)訓(xùn)練]1．已知冪函數(shù)f(x)＝（n2＋2n－2）xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞）上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或2答案B解析由于f（x）為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意．故選B．2．(2019·昆明模擬）設(shè)a＝20.3，b＝30。2，c＝70。1,則a，b,c的大小關(guān)系為(）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜a＜bC．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a答案B解析由已知得a＝80.1，b＝90.1,c＝70.1,構(gòu)造冪函數(shù)y＝x0.1,x∈（0，＋∞），根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，知c＜a＜b?？枷蚨蠖魏瘮?shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x）滿足f（2）＝－1，f(－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．解解法一:（利用一般式）設(shè)f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1,,\f(4ac－b2，4a)＝8，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－4，，b＝4，，c＝7。)）∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x）＝－4x2＋4x＋7.解法二：（利用頂點(diǎn)式)設(shè)f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．∵f(2)＝f(－1），∴拋物線的對稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f（1,2）?！鄊＝eq\f(1，2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8.∴y＝f（x）＝aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1,2)))2＋8?！遞(2)＝－1，∴aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2－\f(1，2))）2＋8＝－1,解得a＝－4，∴f(x）＝－4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2)））2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用兩根式）由已知f（x）＋1＝0的兩根為x1＝2,x2＝－1，故可設(shè)f（x）＋1＝a（x－2)(x＋1）（a≠0)，即f(x）＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值f（x)max＝8，即eq\f（4a－2a－1－a2，4a）＝8。解得a＝－4或a＝0(舍去)．∴所求函數(shù)的解析式為f（x)＝－4x2＋4x＋7。確定二次函數(shù)解析式的方法INCLUDEPICF"根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：［即時(shí)訓(xùn)練］3。已知二次函數(shù)f（x）滿足f(1＋x）＝f（1－x）,且f(0）＝0,f（1）＝1,求f(x）的解析式．解解法一：（一般式)設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(c＝0，,a＋b＋c＝1,,－\f(b，2a）＝1）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1,,b＝2，,c＝0，）)∴f(x)＝－x2＋2x.解法二：（兩根式)∵f(x）圖象的對稱軸方程為x＝1，∴f(2）＝f（0）＝0，f(x)＝0的兩根分別為0，2?！嗫稍O(shè)其解析式為f（x)＝ax(x－2)．又f(1)＝1,可得a＝－1，∴f(x)＝－x(x－2）＝－x2＋2x。解法三：（頂點(diǎn)式）由已知，可得頂點(diǎn)為（1,1），∴可設(shè)其解析式為f(x)＝a(x－1）2＋1。又由f（0)＝0，可得a＝－1，∴f(x)＝－（x－1)2＋1＝－x2＋2x。精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向,多角度探究突破考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度1二次函數(shù)的單調(diào)性例3（1）函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋3在區(qū)間［1,3]上為增函數(shù)的充要條件是（)A．a(chǎn)＝0 B．a(chǎn)<0C．0〈a≤eq\f（1,3) D．a(chǎn)≥1答案D解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x）為減函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋3圖象的對稱軸方程為x＝eq\f(1，a），要使f(x）在區(qū)間［1,3］上為增函數(shù)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a<0,,\f（1,a)≥3）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0,，\f（1，a）≤1，)）解得a≥1。故選D．(2）已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋bx，若對任意的實(shí)數(shù)t都有f（4＋t)＝f(4－t)，則f(－2），f（4),f（5)的大小關(guān)系為()A．f（5）〉f(－2）>f（4) B．f（4）>f（5）>f（－2）C．f（4)〉f（－2）〉f(5) D．f（－2)>f（4)〉f（5)答案B解析因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)t都有f(4＋t)＝f(4－t），所以函數(shù)f（x）＝－2x2＋bx的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，所以f（－2）＝f(10),又函數(shù)f（x）＝－2x2＋bx的圖象開口向下，所以函數(shù)f(x)在［4，＋∞)上是減函數(shù)，因?yàn)?<5<10，所以f（4）>f(5）〉f(10),即f(4)>f(5)〉f(－2）．INCLUDEPICF”(1）對于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．INCLUDEPICTF"(2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．［即時(shí)訓(xùn)練]4.已知函數(shù)f（x）＝x2＋2ax＋3,x∈［－4，6]．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f（x)在區(qū)間［－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(2）當(dāng)a＝1時(shí)，求f(｜x|)的單調(diào)區(qū)間．解(1）由于函數(shù)f（x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f（x)在[－4，6］上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6,即a≤－6或a≥4.(2)當(dāng)a＝1時(shí),f（x）＝x2＋2x＋3,∴f(｜x｜）＝x2＋2|x｜＋3，此時(shí)定義域?yàn)閤∈[－4,6]，且f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋2x＋3,x∈0,6]，，x2－2x＋3，x∈［－4，0]。）)∴f(|x|）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，6］，單調(diào)遞減區(qū)間是[－4,0]．角度2二次函數(shù)的最值問題例4(1)(2019·南昌模擬）如果函數(shù)f（x）＝x2－ax－a在區(qū)間［0,2］上的最大值為1，那么實(shí)數(shù)a＝________。答案1解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋物線，所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得．因?yàn)閒（0)＝－a，f（2)＝4－3a，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－a>4－3a，,－a＝1）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－a≤4－3a，，4－3a＝1，))解得a＝1.(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，x∈[t,t＋2]．①求f（x）的最值；②當(dāng)f(x)的最大值為5時(shí)，求t的值．解f(x）＝x2－2x－3＝（x－1)2－4，其圖象的對稱軸為直線x＝1.①ⅰ。若t〉1,則當(dāng)x＝t時(shí)，f(x）min＝f(t)＝t2－2t－3;當(dāng)x＝t＋2時(shí)，f（x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.ⅱ。若t≤1<t＋1,即0〈t≤1，則當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）min＝f(1）＝－4；當(dāng)x＝t＋2時(shí)，f(x）max＝f（t＋2)＝t2＋2t－3。ⅲ.若t＋1≤1〈t＋2，即－1<t≤0，則當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝f(1）＝－4;當(dāng)x＝t時(shí)，f（x）max＝f(t)＝t2－2t－3.ⅳ。若t＋2≤1，即t≤－1，則當(dāng)x＝t時(shí),f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3；當(dāng)x＝t＋2時(shí),f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3.②由①，可知當(dāng)t≤0時(shí)，f(x）max＝t2－2t－3；當(dāng)t〉0時(shí)，f（x）max＝t2＋2t－3，設(shè)f(x）的最大值為g(t)，則g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（t2－2t－3，t≤0,,t2＋2t－3，t〉0，）)因?yàn)間（t）＝5,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t≤0，，t2－2t－3＝5)）?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t≤0，,t＝－2或t＝4)）?t＝－2；eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(t〉0，,t2＋2t－3＝5）)?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t>0，,t＝2或t＝－4)）?t＝2.故當(dāng)f(x）的最大值為5時(shí)，t＝2或t＝－2。二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略INCLUDEPICF"（1）類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動(dòng)．INCLUDEPICTF"（2）求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．[即時(shí)訓(xùn)練］5.已知函數(shù)f(x）＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間［－1，2]上有最大值4,求實(shí)數(shù)a的值．解f（x)＝a（x＋1）2＋1－a。（1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f（x)在區(qū)間［－1，2]上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去．(2）當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)f(x）在區(qū)間［－1，2]上是增函數(shù)，最大值為f（2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f（3，8)。（3）當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x）在區(qū)間［－1,2］上是減函數(shù),最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，a的值為eq\f(3,8)或－3。角度3與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題例5（1）(2019·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f（x）＝mx2－mx－1，若對于x∈［1,3]，f（x）〈－m＋4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(）A．(－∞，0] B．eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f（5，7))）C．(－∞，0）∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(5,7）)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞，\f(5,7))）答案D解析由題意，f（x）<－m＋4對于x∈[1,3]恒成立即m（x2－x＋1)〈5對于x∈［1,3]恒成立．∵當(dāng)x∈［1，3]時(shí),x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式f（x)<－m＋4等價(jià)于m<eq\f(5,x2－x＋1）?！弋?dāng)x＝3時(shí)，eq\f(5，x2－x＋1)取最小值eq\f（5，7),∴若要不等式m〈eq\f（5，x2－x＋1)對于x∈[1,3]恒成立，則必須滿足m〈eq\f（5，7），因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5，7)))，故選D．（2）已知函數(shù)f（x)＝x2＋2(a－2）x＋4，若?x∈[－3，1],f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________。答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），4))解析因?yàn)閒（x)＝x2＋2(a－2)x＋4，其圖象的對稱軸為x＝－(a－2)，?x∈[－3，1]，f（x）>0恒成立，所以討論對稱軸與區(qū)間［－3,1]的位置關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2<－3，，f－3〉0）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－3≤－a－2≤1，，Δ〈0）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－a－2〉1，,f1>