《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)設(shè)計(jì)】

第四章數(shù)列《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并會(huì)應(yīng)用其解決相關(guān)問題；2.體會(huì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；3.借助等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：國(guó)際象棋起源于古印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.國(guó)王一共應(yīng)該給發(fā)明者多少顆麥粒？分析：設(shè)國(guó)王一共應(yīng)該給的麥粒顆數(shù)為S64S64=11，提問：如何進(jìn)行等比數(shù)列的求和呢？設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)際情境引入等比數(shù)列的求和問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲．二、新知探究問題1：如何計(jì)算S64呢分析：S1S2S3S4……S64猜想：S64追問1：將“S64=1+2+答案：將等式的兩邊各項(xiàng)分別乘以2.因?yàn)镾64=1+所以2S64=追問2：觀察①式和②式，發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)了嗎？答案：兩個(gè)等式的右邊除首項(xiàng)與末項(xiàng)不同外，其余各項(xiàng)均相同.追問3：如何能消去這些相同的項(xiàng)呢？答案：用②式減去①式可以將這些相同的項(xiàng)全部消掉.快去試一試吧?、冢伲肧64問題2：能否將上述方法推廣到一般的等比數(shù)列求和問題的解決過程中？答案：對(duì)于首項(xiàng)為a1，公差為q(q≠0)的等比數(shù)列aSn=①式的兩邊同乘q，得qSn①－②，得Sn即Sn追問：要想求出Sn，能否將上式的兩邊同時(shí)除以1答案：不能，要分情況討論.當(dāng)1?q≠0即q≠1時(shí)，等比數(shù)列anSn很明顯，當(dāng)1?q=0即q從而，等比數(shù)列an的前nSn公式變形：當(dāng)q≠1時(shí)，Sn思考：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共涉及哪幾個(gè)相關(guān)量？這幾個(gè)量有什么實(shí)際意義？這幾個(gè)相關(guān)量中，已知幾個(gè)可以求出其他幾個(gè)？答案：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量：首項(xiàng)a1，公比q，項(xiàng)數(shù)n，末項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn，這五個(gè)量可以“練一練：在等比數(shù)列an中（1）已知a1=?4，q（2）已知a1=1，a分析：根據(jù)已知條件選擇合適的求和公式計(jì)算即可.解：（1）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得S10（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得Sk=思考：如何選擇公式能讓運(yùn)算過程更簡(jiǎn)便呢？答案：當(dāng)q≠1時(shí)，已知首項(xiàng)a1，公比q，項(xiàng)數(shù)n，選擇公式S已知首項(xiàng)a1，公比q，末項(xiàng)an，選擇公式當(dāng)q=1時(shí)，選擇公式Sn設(shè)計(jì)意圖：通過問題探究讓學(xué)生了解等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．三、應(yīng)用舉例例1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=72分析：先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列方程（組）求出a1和q，再求a解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.若q=1，則S6=2S3，這與已知S3=從而S3S6=將上面兩個(gè)等式的兩邊分別相除，得1+解得q=2，由此可得因此an例2求數(shù)列1+12，2+思考1：觀察這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)有什么特征？答案：這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和.思考2：如何求這種數(shù)列的和呢？答案：分組求和.解：S=1+2+3=n(n+1)=n(n+1)2例3已知等比數(shù)列an的公比q≠?1，前n項(xiàng)和為Sn證明：（方法1）當(dāng)q=1時(shí)，SnS3n所以Sn，S當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=S3n所以S因?yàn)楫?dāng)n確定時(shí)，qn所以Sn，S（方法2）因?yàn)镾nS2nS3n所以S因?yàn)楫?dāng)n確定時(shí)，qn所以Sn，S小結(jié)：等比數(shù)列an的公比q≠?1，前n項(xiàng)和為Sn，則設(shè)計(jì)意圖：通過例題，進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的求和公式，掌握利用等比數(shù)列的求和公式解決相關(guān)問題．四、課堂練習(xí)1.在等比數(shù)列an(1)S2=30，(2)a1+a32.已知等比數(shù)列an中，a1=2，S3.等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠?1)，則數(shù)列a3，a6，…，aA．a(chǎn)11?C．a(chǎn)31?4.等比數(shù)列an中，前5項(xiàng)和S5=10，前10項(xiàng)和S10=參考答案：1.解：(1)由題意知a解得a1=5從而Sn=1(2)由(a得q3=1又因?yàn)閍1+a所以a1=82.解：若q=1，則S3=若q≠1時(shí)，則S3=a解得q=?2綜上a3的值為2或3.解：等比數(shù)列中，序號(hào)成等差數(shù)列，項(xiàng)仍成等比數(shù)列，則a3，a6，…，a3n…是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為再用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解，得a314.解：由等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10?又S5=10所以S15所以S15五、課堂小結(jié)求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行處理，1.“