數(shù)學(xué)建模-建筑變形問題

-.z.第十一屆"創(chuàng)新杯〞大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號(hào)專用頁論文編號(hào)(競賽組織者編寫)：題號(hào)：C題—建筑物的變形問題**：**：：學(xué)院：土木與交通學(xué)院專業(yè)：土木工程：建筑物的變形問題摘要論文編號(hào)：本文針對建筑體變形問題，將數(shù)據(jù)模型化，采用替代法，用控制點(diǎn)代表建筑整體，用控制點(diǎn)的中心代表整體建筑的中心。通過對控制點(diǎn)及中心點(diǎn)的量化研究，分析整個(gè)建筑的各種變形情況。 對于問題1，給出確定此類建筑物各層中心位置的通用方法，并對題中的建筑物算出其各層中心的具體坐標(biāo)。我們采用CAD制圖軟件，先確定出建筑的大體形狀，建立建筑物的模型，再對各層的變形進(jìn)展分析，然后確定中心點(diǎn)應(yīng)滿足的條件，最后用數(shù)據(jù)求解。 對于問題2,分析該建筑物傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，并對其變形趨勢進(jìn)展研究。我們在問題1的根底上，將建筑的變形模型化，分為隨各層中心點(diǎn)的平動(dòng)及繞中心點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，平動(dòng)表現(xiàn)為傾斜，而繞中心的轉(zhuǎn)動(dòng)又分為繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和繞平面上過中心點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。前者表現(xiàn)為扭曲，后者表現(xiàn)為彎曲。通過的數(shù)據(jù)對模型進(jìn)展定量計(jì)算，推測其未來的變形趨勢。在分析現(xiàn)有數(shù)據(jù)時(shí)，我們對明顯錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)展了舍棄，對建筑物的突然出現(xiàn)的大變形進(jìn)展了合理假設(shè)。 在對以上兩問題研究時(shí)，我們建立模型后，僅用E*cel就完成了數(shù)據(jù)的分析和對變形的預(yù)測，并未動(dòng)用其它數(shù)學(xué)軟件。關(guān)鍵詞：〔3-5個(gè)〕 替代平動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)傾斜扭轉(zhuǎn)彎曲第十一屆_2021_"創(chuàng)新杯〞數(shù)學(xué)建模競賽建筑物的變形問題2021年5月20日-.z.1目錄問題的重述………2問題的分析………2模型假設(shè)…………2建模過程…………21)、問題一………2 1、建立模型………………2 2、模型求解………………32)、問題二……………………6〔1〕傾斜………6 1、定義符號(hào)說明…………6 2、建立模型………………6 3、模型求解………………10〔2〕彎曲………11 1、定義符號(hào)說明…………11 2、建立模型………………11 3、模型求解………………12〔3〕扭曲………12 1、定義符號(hào)說明…………12 2、建立模型………………12 3、模型求解………………12變形趨勢…………13建模的優(yōu)缺點(diǎn)……………………13參考文獻(xiàn)…………13問題的重述高層建筑物長期承受各種荷載，會(huì)發(fā)生下沉、傾斜、彎曲、扭曲等各種變形。為了解其變形情況，人們會(huì)對其進(jìn)展屢次觀測。現(xiàn)有4次觀測數(shù)據(jù)，要求根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，給出此類建筑各層中心的計(jì)算方法，并用此方法計(jì)算出各層的中心坐標(biāo)。然后分析其傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，并對其變形趨勢進(jìn)展研究。問題的分析由題意可知，此題的目的是建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型，用以研究建筑物的各種變形情況。對于問題一，首先，由數(shù)據(jù)著手，建立對建筑整體的模型，然后分析中心點(diǎn)的性質(zhì)，比方每一層都隨中心點(diǎn)平動(dòng)、繞中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。以此為約束條件，建立函數(shù)模型，最后帶入數(shù)據(jù)，求出各中心點(diǎn)的坐標(biāo)。對于問題二，我們用各層中心點(diǎn)連線的變形反映建筑的整體變形情況。對于傾斜問題，我們以一層的中心點(diǎn)為相對點(diǎn)，用E*cel表格統(tǒng)計(jì)出各層中心點(diǎn)偏離一層中心點(diǎn)的水平距離。然后將水平距離和高度擬合成曲線，此曲線是傾斜與彎曲的疊加。對第一層的點(diǎn)出求斜率，再化為角度值，即為建筑的傾斜程度。將曲線減去傾斜直線，即可得到彎曲模型。結(jié)合這四次的數(shù)據(jù)，可預(yù)測未來的變形趨勢。對于扭轉(zhuǎn)問題，我們用同一層上所有點(diǎn)繞中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角的均值表示，點(diǎn)在只隨中心點(diǎn)平動(dòng)而不轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下的坐標(biāo)可以求出，然后用三角函數(shù)求出各個(gè)轉(zhuǎn)角。由此三個(gè)數(shù)據(jù)，可對未來扭轉(zhuǎn)情況進(jìn)展預(yù)測。模型假設(shè)假設(shè)建筑的變形只由傾斜、彎曲和扭曲變形造成，不考慮其他變形。假設(shè)除明顯有誤的數(shù)據(jù)外，其它數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的。假設(shè)測量點(diǎn)的選取是固定的，沒有變化。假設(shè)各層測量的點(diǎn)是關(guān)于本層中心點(diǎn)對稱的。建模過程問題一建立模型根據(jù)數(shù)據(jù)，用CAD軟件畫出此建筑各個(gè)點(diǎn)的等軸測圖，并連線。圖〔1〕：建筑物的空間形態(tài)由模型可以看出，此建筑為塔類建筑，各層的平面均具有對稱性。在制圖期間，我們發(fā)現(xiàn)：表格給出數(shù)據(jù)中，第13層的第5點(diǎn)在記錄時(shí)有明顯的錯(cuò)誤。故將其列為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，在所有的步驟中，不予使用。同時(shí)，在用到對稱性的地方，對與其對稱的13層1點(diǎn)的數(shù)據(jù)也不予使用。模型求解塔類建筑具有特殊性，其中心點(diǎn)的求法應(yīng)該很簡潔。當(dāng)塔體發(fā)生傾斜、彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)，中心點(diǎn)因傾斜和彎曲而發(fā)生空間上的移動(dòng)，扭轉(zhuǎn)時(shí)各點(diǎn)繞中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，中心點(diǎn)不動(dòng)。而本層上的各個(gè)點(diǎn)在傾斜時(shí)隨中心點(diǎn)平動(dòng)，彎曲時(shí)繞過中心點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，扭轉(zhuǎn)時(shí)繞中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。可以發(fā)現(xiàn)，由于各點(diǎn)是關(guān)于中心點(diǎn)對稱的，這些變形發(fā)生后，中心點(diǎn)仍然在各點(diǎn)的中間。由于對稱，各點(diǎn)必在以中心點(diǎn)為圓心的圓上，故可取各點(diǎn)坐標(biāo)平均值為中心點(diǎn)坐標(biāo)。計(jì)算公式為：， 〔1〕， 〔2〕， 〔3〕其中，分別表示中心點(diǎn)的坐標(biāo)值，分別表示第i點(diǎn)的坐標(biāo)值。n為有效點(diǎn)個(gè)數(shù)。各層中心點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下：表〔1〕：1998年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)1998年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)層數(shù)*〔m〕y(m)z(m)1265.8116208.89232.51612265.8605208.85498.60233265.9084208.818314.58084265.9464208.789019.33615265.9873208.757624.44266266.0285208.726729.40867266.0626208.712233.37068266.0960208.698237.23609266.1294208.684041.090410266.1606208.671544.739311266.2030208.636549.435012266.2451208.601454.133113266.3009208.570058.6619頂266.3300525208.476937561.185575表〔2〕：2003年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)2003年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)層數(shù)*(m)z(m)z(m)1265.8118208.89212.51132265.8613208.85408.59613265.9098208.816814.57584265.9483208.787019.33265265.9898208.755124.43766266.0315208.723729.40257266.0660208.708833.36558266.0997208.694437.22999266.1336208.679541.083110266.1652208.666944.734411266.2081208.631449.428912266.2504208.596054.128113266.3064208.564558.6568頂266.3363715208.470618561.181725表〔3〕：2021年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)2021年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)層數(shù)*(m)y(m)z(m)1265.8669208.88432.49102265.9000208.85578.58993265.9321208.828214.55554265.9581208.805719.32675265.9857208.782124.43036266.0630208.735429.38217266.0915208.716033.35718266.1371208.686937.22399266.1826208.657541.078110266.2319208.610444.727211266.2701208.575649.425912266.3080208.541354.119713266.3540208.498858.6469頂表〔4〕：2021年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)2021年各層中心點(diǎn)坐標(biāo)層數(shù)*(m)y(m)z(m)1265.8670208.88422.48962265.9001208.85548.56963265.9324208.828514.54964265.9584208.805319.30725265.9863208.781624.42436266.0636208.734829.37507266.0922208.715333.34878266.1379208.686137.22039266.1835208.656741.054510266.2329208.609444.708511266.2711208.574649.417412266.3092208.540154.102313266.3552208.497658.6417頂自2021年往后，頂層只有一個(gè)觀測點(diǎn)。推測應(yīng)該是2021年地震影響，其余三點(diǎn)被破壞。問題二〔1〕傾斜定義符號(hào)說明：第i層中心點(diǎn)與第一層中心點(diǎn)的*，y坐標(biāo)差；：第i層中心點(diǎn)與第一層中心點(diǎn)的水平距離：在圖中擬合函數(shù)里用*代替:第i層中心點(diǎn)距第一層中心點(diǎn)的高度；在圖中擬合函數(shù)里用y表示。：建筑物的傾斜角建立模型將各層中點(diǎn)與第一層的中點(diǎn)相比擬，以中心點(diǎn)到第一層中心點(diǎn)的水平距離為橫軸，以中心點(diǎn)相對于第一層中心點(diǎn)的高度為縱軸，用E*cel軟件畫出散點(diǎn)圖并擬合為曲線。,,,， 〔4〕表〔5〕：1998及2003年各層l與dz的值1998年2003年層數(shù)ldzLdz1000020.0037908170.0615696140.0038949240.06240932330.0148575190.1218914220.0152747290.12359097440.028831970.1697997930.02966411100490082420.2213780520.05040.22458688860.0744539590.2728625280.0766225360.27680775970.0954319230.3089205780.0982149030.31339257180.1185447080.3443032210.1219704720.34924271290.1443709310.3799617490.1487356750.385662645100.1705613340.4129907180.1755772240.41901936110.2186483630.4675985060.2250303320.474373621120.2724952840.5220218080.2800594470.529206431130.3432880260.5859078650.3519301090.593236976頂0.4413278720.6643251250.4527975980.672902369表〔6〕：2021及2021年各層l與dz的值2021年2021年層數(shù)ldzLdz1000020.0019160470.0437726690.0019273980.04390214430.0074015980.0860325430.0073835320.08592748340.0144944210.1203927760.0145878980.12078037150.0245686010.1567437430.02476270100606113730.2461937710.0609805280.24694235770.0788071180.2807260550.0792825240.28157152580.1120066660.334673970.1126089230.33557253190.1511416510.3887694060.1519344240.389787666100.2082896080.4563875630.2093959820.457598058110.257847990.5077873470.2591034990.509022101120.3123270780.5588623070.3139749650.56033469130.3858717840.6211857890.3878085420.622742757頂用E*cel畫出散點(diǎn)圖，并擬合為多項(xiàng)式曲線：圖〔2〕：1998年中心點(diǎn)的擬合函數(shù)圖〔3〕：2003年中心點(diǎn)的擬合函數(shù)圖〔4〕：2021年中心點(diǎn)的擬合函數(shù)圖〔5〕：2021年中心點(diǎn)的擬合函數(shù)此擬合函數(shù)即代表建筑物的變形函數(shù)。模型求解對各個(gè)擬合函數(shù)求導(dǎo)，在處的倒數(shù)即為斜率k〔5〕此即為建筑的傾斜角。表〔7〕：傾斜角值表1998200320212021105.9104.6149.6149.6由表可知，1998到2003年傾斜度在極緩慢的增加，但經(jīng)過2021年地震以后，建筑自身重新平衡，2021年到2021年傾斜情況不變。故預(yù)測，今后假設(shè)不遇見地震等特殊災(zāi)害，傾斜度將保持在不變。彎曲定義符號(hào)說明：:建筑物的變形函數(shù)，即中心點(diǎn)的擬合函數(shù)。：傾斜函數(shù)：彎曲函數(shù)建立模型將建筑的變形函數(shù)減去其傾斜的函數(shù)，即為建筑的彎曲函數(shù)。建筑的變形函數(shù)已經(jīng)求出，傾斜函數(shù)即為， 〔6〕故有其彎曲函數(shù)的表達(dá)式：=-， 〔7〕做出表現(xiàn)彎曲的散點(diǎn)圖圖〔6〕：1998年建筑彎曲情況圖〔7〕2003年建筑彎曲情況：圖〔8〕：2021年建筑彎曲情況圖〔9〕：2021年建筑彎曲情況模型求解分析圖表可知，建筑的底層幾乎不彎曲，頂層彎曲較大。在未來的幾年內(nèi)，頂層會(huì)繼續(xù)發(fā)生微微彎曲。 〔3