初中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)1：解直角三角形

解直角三角形教學(xué)目標(biāo)：理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算；掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，會(huì)解直角三角形；利用解直角三角形的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算；掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，會(huì)解直角三角形；利用解直角三角形的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：

利用解直角三角形的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題，是中考必考內(nèi)容。教學(xué)過程：一、知識(shí)梳理：1、直角三角形的邊角關(guān)系（如圖）

（1）邊的關(guān)系（勾股定理）：a2+b2=c2；

（2）角的關(guān)系：∠A+∠B=∠C=900；

（3）邊角關(guān)系：①：②：銳角三角函數(shù)：∠A的正弦=；∠A的余弦=,∠A的正切=注：三角函數(shù)值是一個(gè)比值．

2、特殊角的三角函數(shù)值:

3、三角函數(shù)的關(guān)系：

(1)互為余角的三角函數(shù)關(guān)系．

sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinA

(2)同角的三角函數(shù)關(guān)系．

①平方關(guān)系：sin2A+cos2A=l

②商數(shù)關(guān)系：;4、三角函數(shù)的大小比較：(1)同名三角函數(shù)的大小比較：①正弦、正切是增函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而增大，隨角的減小而減?。谟嘞沂菧p函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而減小，隨角的減小而增大。(2)異名三角函數(shù)的大小比較：①tanA＞SinA，由定義，知tanA=，sinA=；因?yàn)閎＜c，所以tanA＞sinA②若0○＜A＜45○，則cosA＞sinA；若45○＜A＜90○，則cosA＜sinA，

5、解直角三角形解法分類：（1）已知斜邊和一個(gè)銳角解直角三角形；（2）已知一條直角邊和一個(gè)銳角解直角三角形；（3）已知兩邊解直角三角形．6、解直角三角形的應(yīng)用：（1）仰角、俯角：測量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，規(guī)定：視線在水平線上方的叫做仰角．視線在水平線下方的叫做俯角．（2）坡度（坡比）、坡角：在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度。如圖，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。記作i，即i=。坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有i＝=tana，顯然，坡角a越大，坡度就越大，坡面就越陡.（3）有以下三個(gè)步驟：①審題．按題意畫出正確的平面或截面示意圖，并通過圖形弄清已知和未知．②將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．如果沒有現(xiàn)成是直角三角形可供使用，可通過作輔助線產(chǎn)生直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形．③根據(jù)直角三角形（或通過作垂線構(gòu)造直角三角形）元素（邊、角）之間關(guān)系解有關(guān)的直角三角形．二、經(jīng)典考題剖析：例1.填空：（1）2sin60°－cos30°·tan45°的結(jié)果為。（2）化簡：；（3）已知：cos2α+sin242°=1，則銳角α=______.（4）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．則sin∠ABD的值是（）方法總結(jié)：求銳角三角函數(shù)時(shí)，必須牢記銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是：（1）確定所求的角所在的直角三角形；（2）準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)的公式，解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無直角時(shí)，必須向辦法構(gòu)造一個(gè)直角三角形。例2、如圖，在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測出塔頂?shù)难鼋菫?0o，從C點(diǎn)向塔底B走100m到達(dá)D點(diǎn)，測出塔頂?shù)难鼋菫?5o，則塔AB的高為【】A．mB．mC．mD．m【分析】根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個(gè)直角三角形，由BC=AB和BC=AB+100求解即可求出答案：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB?！逤D=100，∴BC=AB+100?！郃B+100=AB，解得AB=。例3、小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時(shí)測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時(shí)刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為【】A.（6+米米C.（4+米D．10米【分析】延長AC交BF延長線于E點(diǎn)，則∠CFE=30°。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=，在Rt△CED中，CE=2，∵同一時(shí)刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，∴DE=4?！郆D=BF+EF+ED=12+?！摺鱀CE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=（12+=6+。故選A。例4、如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，壩高BE=20米．汛期來臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的長度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【分析】在Rt△ABE中，根據(jù)坡面AB的長以及坡角的度數(shù)，求得鉛直高度BE和水平寬AE的值，從而可在Rt△BFE中，根據(jù)BE的長及坡角的度數(shù)，通過解直角三角形求出EF的長；根據(jù)AF=EF－AE，即可得出AF的長度。解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，壩高BE=20米，∴AE=BE=20米。在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20?！郃F=EF－AE=20－20≈15。∴AF的長約為15米。例5、某市正在進(jìn)行商業(yè)街改造，商業(yè)街起點(diǎn)在古民居P的南偏西60°方向上的A處，現(xiàn)已改造至古民居P南偏西30°方向上的B處，A與B相距150m，且B在A的正東方向．為不破壞古民居的風(fēng)貌，按照有關(guān)規(guī)定，在古民居周圍100m以內(nèi)不得修建現(xiàn)代化商業(yè)街．若工程隊(duì)繼續(xù)向正東方向修建200m商業(yè)街到C處，則對(duì)于從B到C的商業(yè)街改造是否違反有關(guān)規(guī)定？【分析】首先過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，然后分別在Rt△APD與Rt△BPD，求得AD與PD，BD與PD的關(guān)系，又由AB=150，即可求得BD，PD的長，從而求得答案。解：過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D。在Rt△APD中，∠APD=60°，∴tan60°=?！郃D=PD。在Rt△BPD中，∠BPD=30°∴tan30°=?！?BD=PD?！郃D=3BD?！郃B=2BD。∴2BD=150m?！郆D=75m。∴PD=75m?！?5＞100，∴不違反有關(guān)規(guī)定。例6、如圖，王強(qiáng)同學(xué)在甲樓樓頂A處測得對(duì)面乙樓樓頂D處的仰角為30°，在甲樓樓底B處測得乙樓樓頂D處的仰角為45°，已知甲樓高26米，求乙樓的高度．（≈）【分析】作AE⊥DC于點(diǎn)E，可得四邊形ABCE是矩形，得到AE=BC，AB=EC。設(shè)DC=x，在Rt△AED中，利用tan30°=